南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题11：直线与圆、圆与圆
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专题 11：直线与圆、圆与圆
目录
问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2
类型一：圆的方程 ........................................................................................................................................... 2
类型二：直线与圆相切问题 ........................................................................................................................... 5
类型三：直线与圆的相交问题 ....................................................................................................................... 6
类型四：圆上点到直线或点的距离问题 ..................................................................................................... 10
类型五：两圆的位置关系问题 ......................................................................................................................11
综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 12
一、例题分析 ................................................................................................................................................. 12
二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 17
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问题归类篇
类型一：圆的方程
一、前测回顾
1.经过三点 A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为 ．
2.一个圆经过椭圆x2
16＋y2
4＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 ．
3.已知圆 C 的圆心位于第二象限且在直线 y＝2x＋1 上，若圆 C 与两个坐标轴都相切，则圆 C 的标准方程
是 ______.
答案：1. x2＋y2－6x－2y＋5＝0 2. (x±3
2) 2＋y2＝25
4 ; 3. x＋1
3
2＋ y－1
3
2＝1
9
二、方法联想
求圆的方程
方法 1：三点代入圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解 D、E、F．
方法 2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心．
方法 3：直角三角形外接圆的直径为斜边．
优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法 3；若只涉及圆心，可用方法 2；方法 1
可直接求出圆心和半径．
三、方法应用
例 1.在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 2，
一条准线方程为 x＝2.P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q.
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 若点 P 的坐标为(0，b)，求过 P、Q、F2 三点的圆的方程；
(3) 若F1P→ ＝λQF1
→ ，且 λ∈ 1
2，2 ，求OP→·OQ→ 的最大值．
解：(1) 由题意得
2c＝2，
a2
c ＝2，解得 c＝1，a2＝2，
所以 b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆的方程为x2
2 ＋y2＝1.
(2) 因为 P(0，1)，F1(－1，0)，所以 PF1 的方程为 x－y＋1＝0.
由
x－y＋1＝0，
x2
2 ＋y2＝1，
解得
x＝0，
y＝1，或
x＝－4
3，
y＝－1
3，
所以点 Q 的坐标为 －4
3，－1
3 .
(解法 1)因为 kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2 为直角三角形．
因为 QF2 的中点为 －1
6，－1
6 ，QF2＝5 2
3 ，
所以圆的方程为 x＋1
6
2
＋ y＋1
6
2
＝25
18.
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(解法 2)设过 P、Q、F2 三点的圆为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
1＋E＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
17
9 －4
3D－1
3E＋F＝0，
解得
D＝1
3，
E＝1
3，
F＝－4
3.
所以圆的方程为 x2＋y2＋1
3x＋1
3y－4
3＝0.
(3) 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
F1P→ ＝(x1＋1，y1)，QF1
→ ＝(－1－x2，－y2)．
因为F1P→ ＝λQF1
→ ，
所以
x1＋1＝λ（－1－x2），
y1＝－λy2，
即
x1＝－1－λ－λx2，
y1＝－λy2，
所以
（－1－λ－λx2）2
2 ＋λ2y22＝1，
x22
2 ＋y22＝1，
解得 x2＝1－3λ
2λ .
所以OP→·OQ→ ＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22
＝－λ
2x22－(1＋λ)x2－λ
＝－λ
2
1－3λ
2λ
2
－(1＋λ)·1－3λ
2λ －λ
＝7
4－5
8 λ＋1
λ .
因为 λ∈ 1
2，2 ，
所以 λ＋1
λ≥2 λ·1
λ＝2，当且仅当 λ＝1
λ，即 λ＝1 时取等号．
所以OP→·OQ→ ≤1
2，即OP→·OQ→ 的最大值为1
2.
（考查椭圆方程，圆的方程，向量的坐标运算，函数最值）
例 2.设抛物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk 的直线l 与C 交于 A ， B 两点，| | 8AB ．
（1）求 l 的方程
（2）求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得 1,0F ， l 的方程为 –1y k x ， 0k ．
设 11,A x y ， 22,B x y ．由
2
1
4
y k x
yx
得 2 2 2 22 4 0k x k x k ．
故
2
12 2
24kxx k
．
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D
C
B
A
O
y
x
所以
2
12 2
4411kAB AF BF x x k
．
由题设知
2
2
448k
k
，解得 1k （舍去）， 1k ．因此l 的方程为 –1yx ．
（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 3,2 ，所以 的垂直平分线方程为
23yx ，即 5yx ．设所求圆的圆心坐标为 00,xy ，则
00
2
2 00
0
5
11 162
yx
yxx
，解得 0
0
3
2
x
y
或 0
0
11
6
x
y
，
因此所求圆的方程为 223 2 16xy 或 2211 6 144xy ．
（考查抛物线定义，圆的方程）
例 3.如图，在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A(－3，4)，B(9，0)， C，D 分别为线段 OA，OB 上的
动点，且满足 AC＝BD．
（1）若 AC＝4，求直线 CD 的方程；
（2）证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点 O）．
解(1)：因为 A(－3，4)，所以 OA＝ （－3）2＋42＝5.
因为 AC＝4，所以 OC＝1，所以 C －3
5，4
5 .
由 BD＝4，得 D(5，0)，
所以直线 CD 的斜率为
0－4
5
5－ －3
5
＝－1
7，
所以直线 CD 的方程为 y＝－1
7(x－5)，即 x＋7y－5＝0.
(2) 证明：设 C(－3m，4m)(0
0)在交点处的切线互相垂直,则 r＝ ．
答案：(1) x＝1 或 5x＋12y－5＝0；2；3x＋2y－7＝0． (2)(x－3)2＋(y－1)2＝5．(3)3
二、方法联想
相切问题
(1) 位置判断：方法 1：利用 d＝r；方法 2：在已知切点坐标的
情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．
(2)如图，在 Rt△PAC 中，切线长 PA＝ PC2－R2；
当圆外一点引两条切线时，
(1)P、A、B、C 四点共圆(或 A、B、C 三点共圆)，其中 PC 为 直径；
(2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．
(3)PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段 AB．
三、方法应用
例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋(y－3)2＝2，点 A 是 x 轴上的一个动点，AP，AQ 分别切
圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 的长的取值范围是________．
(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)
答案：[2
3
14,2
2)
例 2.已知圆 M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l：x＋y－6＝0，A 为直线 l 上一点．若圆 M 上存在两点 B，C，
使得∠BAC＝60°，则点 A 横坐标的取值范围是__________．
(∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题)
答案：[1，5]
四、归类巩固
*1．在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，
半径最大的圆的标准方程为________．
(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题)
答案：(x－1)2＋y2＝2．
**2.平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在 x 轴上，从点 P 向圆 C1：x2＋(y－3)2＝5 引切线，切线长为 d1，从
点 P 向圆 C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝7 引切线，切线长为 d2，则 d1＋d2 的最小值为_____．
P A
B
C
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(求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题)
答案：5
2
解：设点 P(x，0)，则
d1＝
x2＋(－3)2－5，d2＝
(x－5)2＋42－7，d1＋d2＝
x2＋4＋
(x－5)2＋9，
几何意义：点 P(x，0)到点 M(0，2)，N(5，－3)的距离和．
当 M，P，N 三点共线时，d1＋d2 有最小值 5
2，此时 P(2，0)
***3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(1，－1)，点 P 为圆(x－4)2＋y 2＝4 上任意一点，记
△OAP 和△OBP 的面积分别为 S1 和 S2，则 S1
S2
的最小值是 ▲ ．
答案：2－
3
(数形结合利用相切情况解决最值问题)
类型三：直线与圆的相交问题
一、 前测回顾
1.已知过定点 P(1，2)的直线 l 交圆 O：x2＋y2＝9 于 A，B 两点，若 AB＝4 2，则直线 l 的方程为 ；
当 P 为线段 AB 的中点时，则直线 l 的方程为 ．
2.已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(－1，4)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边
形 ABCD 的面积为 ．
答案：1.x＝1 或 3x－4y＋5＝0；x＋2y－5＝0．2.30;
二、方法联想
相交弦问题
直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.
(1) 圆心角θ、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式．
如：(L
2)2＋d2＝R2，d＝Rcos
θ
2 ，L
2＝Rsin
θ
2 ．
(2)相交弦的垂直平分线过圆心．
(3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直．
三、方法应用
例 1．如图，某工业园区是半径为 10 km 的圆形区域，离园区中心 O 点 5 km 处有一中转站 P，现准备在园
区内修建一条笔直公路 AB 经过中转站，公路 AB 把园区分成两个区域．
(1) 设中心 O 对公路 AB 的视角为 α，求 α 的最小值，并求较小区域面积的最小值；
(2) 为方便交通，准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD，求两条公路长度和
的最小值．
解：(1) 如图 1，作 OH⊥AB，设垂足为 H，记 OH＝d，α＝2∠AOH，
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因为 cos∠AOH＝ d
10，要使 α 有最小值，只需要 d 有最大值，结合图象可得
d≤OP＝5 km，
当且仅当 AB⊥OP 时，dmax＝5 km.
此时 αmin＝2∠AOH＝2×π
3 ＝2π
3 .
设 AB 把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为 S，
根据题意可得 S＝f(α)＝S 扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，
f′(α)＝50(1－cosα)≥0 恒成立，f(α)为增函数，
所以 Smin＝f
2π
3 ＝50
2π
3 － 3
2 km2.(8 分)
答：视角的最小值是2π
3 ，较小区域面积的最小值是 50
2π
3 － 3
2 km2.
(2) 如图 2，过 O 分别作 OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是 H，H1，
记 OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知
d1∈[0，5]，
所以 d21＋d22＝OP2＝25，且
d22＝25－d21.(10 分)
因为 AB＝2 100－d21，CD＝2 100－d22，
所以 AB＋CD＝2( 100－d21＋ 100－d22)
＝2( 100－d21＋ 75＋d21)，(11 分)
记 L(d1)＝AB＋CD＝2( 100－d21＋ 75＋d21)，
可得 L2(d1)＝4[175＋2 （100－d21）（75＋d21）]，
由 d21∈[0，25]，可得 d21＝0，或 d21＝25 时，L2(d1)的最小值是 100(7＋4 3)，
从而 AB＋CD 的最小值是 20＋10 3 km.
答：两条公路长度和的最小值是 20＋10 3 km.
（考查圆的垂径定理，圆的几何性质，弓形面积求法，函数的最值的求法等等）.
例 2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (2,4)P ，圆 O： 224xy与 x 轴的正半轴的交点是 Q，
过点 P 的直线l 与圆 O 交于不同的两点 A，B．
（1）若直线 与 y 轴交于 D，且 16DP DQ，求直线 的方程；
（2）设直线 QA，QB 的斜率分别是 12,kk，求 12kk 的值；
（3）设 AB 的中点为 M，点 N 4( ,0)3
，若 13
3MN OM ，求 QAB 的面积．
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x
y
D
M
B
A
QO
P
N
解：（1）若直线l 垂直与 x 轴，则方程为 2x ，与圆只有一个交点，不合题意．
故 存在斜率，设直线 的方程为 4 ( 2)y k x
即 2 4 0kx y k ，圆心到直线 的距离
2
24
1
kd
k
，
因为直线 与圆 O 交于不同的两点 A，B，所以
2
242
1
kd
k
，解得 3
4k ．
又 (0, 2 4)Dk， (2,0)Q ，所以 (2,2 4), (2,2 )DQ k DP k
所以 4 2 (2 4) 16DP DQ k k ，解得 3k 或 1k （舍去），
所以直线 的方程是3 2 0xy ．
（2）联立 22
4 ( 2)
4
y k x
xy
得 2 2 2(1 ) 4 ( 2) (2 4) 4 0k x k k x k
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则
12 2
2
12 2
4 ( 2)
1
(2 4) 4
1
kkxx k
kxx k
所以 12
12
1 2 1 2
( 2) 4 ( 2) 4
2 2 2 2
yyk x k xkk x x x x
12
1 2 1 2 1 2
4( 4)44222 2 2( ) 4
xxkkx x x x x x
2
2
22
4 ( 2)4( 4)12 (2 4) 4 4 ( 2)2411
kk
kk k k k
kk
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4(8 4)2 2 2 1 116
kk k k ．
即 12kk 的值是 1
（3）法一：设中点 00( , )M x y ，
则由（2）知
12
0 2
00 2
4 ( 2)
21
2( 2)( 2) 4 1
xx kkx k
ky k x k
（*）
又由 13
3MN OM ，得 2 2 2 2
0 0 0 0
4 13( ) ( )39x y x y
化简得 22
0 0 06 4 0x y x ，
将（*）代入解得 1k ．
因为圆心到直线l 的距离
2
24 2
1
kd
k
，
所以 22 4 2 2AB d ，Q 到直线 的距离 22h ，
所以 1 42ABQS AB h
即 QAB 面积为 4．
法二：设中点 ( , )M x y ，
由 ，化简得 226 4 0x y x ，①
又OM PM ，所以 M 在以 OM 为直径的圆上（在圆 O 的内部）
即 22( 1) ( 2) 5xy ②
联立①②解得 ( 1, 1)M ，再求得 面积为 4．
四、归类巩固
*1.直线 l1：y＝kx＋3 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝4 相交于 M，N 两点，若 MN≥2
3，则 k 的的取值范
围是________．
(已知弦长范围，求参数取值范围)
答案： [－
3
3 ,
3
3 ]
*2.过点 P(－4,0)的直线 l 与圆 C：(x－1)2＋y2＝5 相交于 A,B 两点,若点 A 恰好是线段 PB 的中点，则直
线 l 的方程为________．
(已知弦的性质，求直线方程)
答案：x±3 y＋4＝0
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**3.已知直线 l：mx＋y＋3m－
3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线交 x 轴于
C，D 两点，若 AB＝2
3，则 CD＝ ．
(已知弦长，求直线方程及有关量的取值)
答案：4
***4.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆 C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆 C2 上
存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A，B，满足 PA＝2AB，则半径 r 的取值范围是
________．
(已知两弦长关系求参数范围问题)
答案：[5，55]
类型四：圆上点到直线或点的距离问题
一、 前测回顾
1.已知实数 x,y 满足 x2＋y2＝4， 则(x－3)2＋(y－4)2 的范围是 .
2.圆 C：x2＋(y－2)2＝R2(R＞0)上恰好存在 2 个点，它到直线 y＝ 3x－2 上的距离为 1，则 R 的取值范围
为 ．
答案：1. [9，49]; 2.1＜R＜3．
二、方法联想
圆上的点到直线的距离
(1)当直线与圆相离时，
圆上点到直线距离，在点 A 处取到最大值 d＋R，在点 B 取到最小值 d－R．
(2)当直线与圆；在圆外时，圆上的点到点的最大距离是 d＋R，最小距离是 d－R．
(1) 当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 d＋R，最小距离是 R－d.
圆上的点到点的距离
(1)当已知点在圆外时，
圆上点到已知点距离最大值 d＋R，最小值 d－R．
(2) 当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是 d＋R，最小距离是 R－d.
三、 方法应用
例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是直线 l：y＝x－2 上的动点，点 A,B 分别是圆 C1：(x＋3)2＋(y
－1)2＝4 和圆 C2：x2＋(y－3)2＝1 上的两个动点，则 PA+PB 的最小值为 .
答案： 73－3. (考查点与圆的距离问题，点关于直线的对称问题)
例 2. 已知点 A(0，2)为圆 M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆 M 上存在点 T 使得∠MAT＝45°，
则实数 a 的取值范围是________________．
答案： 3－1≤a＜1 解析：点 A(0，2)在圆 M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外，得 4－4a＞0，则 a＜1.
圆 M 上存在点 T 使得∠MAT＝45°，则AM
2 ≤r＝ 2a，即 AM≤2a，(a－2)2＋a2≤4a2(a＞0)，解得 3－1≤a.
综上，实数 a 的取值范围是 3－1≤a＜1.
（考查了点与圆的位置关系，两点之间的距离，一元二次不等式解法等内容）
例 3.已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，线段 EF 在直线 l：y＝x＋1 上运动，点 P 为线段 EF 上任意一点，若圆 C
上存在两点 A，B，使得PA→·PB→≤0，则线段 EF 长度的最大值是________．
答案： 14 (考查直线与圆的位置关系，解三角形，向量的数量积，两点间距离)
四、 归类巩固
*1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c
的取值范围是 .
C
B
A
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答案：（－13，13）
(已知圆上点到直线距离求参数范围)
**2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，圆 C 与 y 轴交于点 O,B，其中 O
为原点．设 P 为直线 l:x＋y＋2＝0 上的动点，Q 为圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标．
答案：PB+PQ 的最小值为 2 5,此时 P 点坐标为(－4
3，－2
3)
考查点圆距离与点线距离的综合问题
类型五：两圆的位置关系问题
一、 前测回顾
1.已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 和圆 C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若两圆相交，实数
m 的取值范围为 ．
2.已知圆 O1 ：x2 ＋y2 －4x－2y－4＝0，圆 O2 ：x2 ＋y2 －6x＋2y＋6＝0，则两圆的公共弦长度
为 ．
答案：1.－5＜m＜－2 或－1＜m＜2;2.4．
二、方法联想
两圆位置关系问题
位置关系 d 与 r1，r2 的关系 公切线条数
外离 d＞r1＋r2 4
外切 d＝r1＋r2 3
相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 2
内切 d＝|r1－r2| 1
内含 0＜d＜|r1－r2| 0
两圆相交问题
(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程．
(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦．
两圆相切问题
两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点．
三、方法应用
例 1. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 y＝x＋1 与 x 轴，y 轴分别交于 M,N 两点，点 P 在圆(x－a)2＋y2
＝2 上运动，若∠MPN 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是 .
答案：(－∞，－1－ 7)∪( 7－1，＋∞)
(考查两圆的位置关系)
例 2.在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，P(异于原点 O)为 y 轴上的一个定点．若
以 AB 为直径的圆与圆 x2＋(y－2)2＝1 相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为________．
答案： 3 (考查两圆的位置关系，定值问题处理方法)
例 3.已知直线l ： 20xy与 x 轴交于点 A ，点 P 在直线 上，圆C ： 22( 2) 2xy
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上有且仅有一个点 B 满足 AB BP ，则点 P 的横坐标的取值集合为 ．
答案： 1 ,53
(考查两圆的内切外切关系，计算量较大，也可以两圆相减转化为线圆相切等)
四、归类巩固
*1. 若两点 A(1，0)，B(3，2 3)到直线 l 的距离均等于 1，则直线 l 的方程为 ．
(转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段 A B 平行和过线段 A B 中点两种情况)
答案： 3x－y ＋2－ 3＝0 或 3x－y －2－ 3＝0 或 x－ 3y＋1＝0 或 x－2＝0.
**2.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线 l：y＝kx＋3 与圆 C 相交于 A，
B 两点，M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实数 k 的取值范围
为________．
(已知两圆位置关系，求参数取值范围)
答案：[－3
4,＋∞)
***3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点 P 在直线 x＋ 3y－b＝
0 上，过 P 分别作圆 O，O1 的切线，切点分别为 A，B，若满足 PB＝2PA 的点 P 有且只有两个，则实
数 b 的取值范围是________．
(已知两圆切线长的关系，求参数取值范围)
答案： (－20
3 ,4)
综合应用篇
一、例题分析
例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 上一点 P（0， 2）到椭圆 C 的右焦点的距离为 6．
*（1）求椭圆 C 的方程；
***（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1，l2，且 l1 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2 交圆 Q 于 C，D 两点，
且 M 为 CD 的中点，求△ MAB 的面积的取值范围．
解：(1)x2
8＋y2
4＝1
(2) 记△ MAB 的面积为 S，
当直线 l1 的斜率不存在时，可求得 S＝4.
当直线 l1 的斜率存在时，设为 k(k≠0),则 l1:y＝kx＋ 2，l2:y＝－1
kx＋ 2 设 A(x1，y1)， B(x2，y2) 由
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x2
8＋y2
4＝1
y＝kx＋ 2
得(1＋2k2)x2＋4 2kx－4＝0 ，则 x1＋x2＝－ 4 2k
1＋2k2，x1x2＝－ 4
1＋2k2 ，
AB＝ 1＋k2|x1－x2|＝4 (1＋k2)(4k2＋1)
2k2＋1
又圆心 Q(2， 2)到 l2 的距离 d1＝ 2
1＋k2
＜ 2 ，得 k2＞1
又 MP⊥AB，QM⊥CD，所以 M 点到 AB 的距离等于 Q 点到 AB 的距离，设为 d2，即
d2＝|2k－ 2＋ 2|
1＋k2
＝ 2|k|
1＋k2
所以△MAB 面积 S＝1
2|AB|d2＝4|k| 4k2＋1
2k2＋1 ＝4 k2(4k2＋1)
(2k2＋1)2
令 t＝2k2＋1∈(3，＋∞)，，则1
t∈(0，1
3)，S＝4 2t2－3t＋1
2t2 ＝4 1
2(1
t－3
2)2－1
8∈(4 5
3 ，4)，
综上， MAB 面积的取值范围为(4 5
3 ，4].
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法：
1.相交弦问题
直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.
○1 圆心角θ、弦长 L、半径 R 和弦心距 d 中三个量可以建立关系式．
如：(L
2)2＋d2＝R 2，d＝Rcos
θ
2 ，L
2＝Rsin
θ
2 ．
○2 相交弦的垂直平分线过圆心．
2.直线与椭圆的位置关系
3.换元法求函数的最值
（2）方法选择与优化：本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运
用圆的几何性质避开求 M 点坐标，也可以利用勾股定理求高 22,MQPM PQ MQ 即是点 Q 到 PD 的
距离，此题也可以设直线 PD 的斜率为 k，简化 PM 的形式.
例 2．在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知 A1、A2、B1、B2 是椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的四个顶点，
△A1B1B2 是一个边长为 2 的等边三角形，其外接圆为圆 M.
* (1) 求椭圆 C 及圆 M 的方程；
(2) 若点 D 是圆 M 劣弧A1B2
︵ 上一动点(点 D 异于端点 A1、B2)，直线 B1D 分别交线段 A1B2、椭圆 C 于
点 E、G，直线 B2G 与 A1B1 交于点 F.
* * * (ⅰ) 求GB1
EB1
的最大值；
* * (ⅱ) 试问：E、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
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解：(1) 由题意知，B2(0，1)，A1(－ 3，0)，
所以 b＝1，a＝ 3，
所以椭圆 C 的方程为x2
3 ＋y2＝1.
易得圆心 M
－ 3
3 ，0 ，A1M＝2 3
3 ，
所以圆 M 的方程为
x＋ 3
3
2
＋y2＝4
3.
(2) 设直线 B1D 的方程为
y＝kx－1
k＜－ 3
3 ，
与直线 A1B2 的方程 y＝ 3
3 x＋1 联立，解得点 E( 2 3
3k－1， 3k＋1
3k－1)，
联立
y＝kx－1，
x2
3 ＋y2＝1，消去 y 并整理，得
(1＋3k2)x2－6kx＝0，
解得点 G
6k
3k2＋1，3k2－1
3k2＋1 ，
(ⅰ) GB1
EB1
＝|xG|
|xE|＝
| 6k
3k2＋1|
| 2 3
3k－1|
＝3k2－ 3k
3k2＋1 ＝1－ 3k＋1
3k2＋1
＝1＋ 1
－（ 3k＋1）＋ 2
－（ 3k＋1）＋2
≤1＋ 1
2 2＋2＝ 2＋1
2 ，
当且仅当 k＝－ 6＋ 3
3 时，取“＝”，
所以GB1
EB1
的最大值为 2＋1
2 .
(ⅱ) 直线 B2G 的方程为 y＝
3k2－1
3k2＋1－1
6k
3k2＋1
x＋1＝－ 1
3kx＋1，
与直线 A1B1 的方程 y＝－ 3
3 x－1 联立，解得点 F(
－6k
3k－1， 3k＋1
3k－1)，
所以 E、F 两点的横坐标之和为 2 3
3k－1＋ －6k
3k－1＝－2 3.
故 E、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3.
〖教学建议〗
（1） 问题归类与方法：
1.求圆的方程
方法 1：三点代入圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解 D、E、F．
方法 2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心．
方法 3：直角三角形外接圆的直径为斜边．
2.联立两直线方程求交点坐标
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3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比
4.利用基本不等式求函数最值
（2）方法选择与优化：（1）问中求圆的方程方法 1 与 2 都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心，
得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“a＝2”；
（2）问中斜率 k 的范围易错，以斜率 k 为自变量时，利用基本不等式求函数最值，或者导数法.也可以
借助椭圆参数方程设 G( 3cosα，sinα)(π
2 ＜α＜π) , 上面的方法中的 k＝kGB1
＝sinα＋1
3cosα ，最后GB1
EB1
＝
sinα－cosα＋1
2 ＝
2sin(α－π
4 )＋1
2 形式比较简洁,此法也可以参考.
例 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E:x2
2＋y2＝1 ，如图，动直线l ： 1
3
2y k x交椭圆 E 于 ,AB两
点，C 是椭圆 E 上一点，直线OC 的斜率为 2k ，且 12
2
4kk ， M 是线段OC 延长线上一点，且
: 2:3MC AB ， M 的半径为 MC ， ,OS OT 是 的两条切线，切点分别为 ,ST.求 SOT 的最大值，
并求取得最大值时直线l 的斜率.
解：设 A(x1，y1)， B(x2，y2)
，联立方程
x2
2＋y2＝1
y＝k1x－ 3
2
得(4k21＋2)x2－4 3k1x－1＝0，由题意知△＞0，且 x1＋x2＝2 3k1
2k21＋1，
x1x2＝－ 1
2(2k21＋1)
，
所以|AB|＝ 1＋k21|x1－x2|＝ 2 1＋k21 1＋8k21
2k21＋1 .
由题意可知圆 M 的半径 r 为 r＝2 2
3
1＋k12 1＋8k12
2k12＋1
由题设知 k1k2＝ 2
4 ，所以 k2＝ 2
4k1
因此直线 OC 的方程为 y＝ 2
4k1
x.
联立方程
x2
2＋y2＝1
y＝ 2
4k1
x
得 x2＝ 8k21
1＋4k21
，y2＝ 1
1＋4k21
，因此|OC|＝ x2＋y2＝ 1＋8k21
1＋4k21
.
由题 sin∠SOM＝ r
r＋OC＝ 1
1＋OC
r
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OC
r ＝ OC
2
3AB
＝ 1＋8k21
1＋4k21
·3
2
1
2 1＋k21 1＋8k21
2k21＋1
＝3
2
2k21＋1
4k21＋1 2k21＋2
≥3
2
2k21＋1
(4k21＋1)＋(2k21＋2)
2
＝3
2×2
3＝1
当且仅当 4k21＋1＝2k21＋2 即 k1＝± 2
2 取等
当OC
r ＝1 时，(sin∠SOM)max＝1
2 ，y＝sinx 在(0，π
2 ) 上单调增，(∠SOT)max＝π
6
(∠SOT)max＝π
3
综上∠SOT 最大值为π
3 ，取得最大值时直线l 的斜率为± 2
2 .
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法：
1.相切问题
如图，当圆外一点引两条切线时，在 Rt△PAC 中.
PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段 AB．
2. 直线与二次曲线的弦长公式.
3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值.
（2）方法选择与优化：求 函数 最值 时 可以 通过换元法令 t＝1＋2k 21 (t＞1) 最终 化为OC
r ＝3
2
1
－(1
t－1
2)2＋9
4
此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。
例 4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆方程为
x2
4＋y2＝1，圆 C：（ x－1）2＋y2＝r2．
*（1）求椭圆上动点 P 与圆心 C 距离的最小值；
***（2）如图，直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，且与圆 C 相切于点 M，若满足 M 为线段 AB 中点的
直线 l 有 4 条，求半径 r 的取值范围．
解：（1）PCmin＝ 6
3
（2） 当 AB 的斜率不存在与圆 C 相切时，M 在 x 轴上，故满足条
件的直线有两条；
P A
B
C
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当 AB 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0) 由
x12
4 ＋y12＝1
x22
4 ＋y22＝1
两式相减得y1－y2
x1－x2
·y1＋y2
x1＋x2
＝－1
4 即 kAB·y0
x0
＝－1
4,由题可知直线 MC 的斜率肯定存在，且 kMC＝ y0
x0－1， 又
MC⊥AB ,则 kAB＝－x0－1
y0
，所以－x0－1
y0
·y0
x0
＝－1
4，x0＝4
3 ，因为 M 在椭圆内部，则x02
4 ＋y02＜1
，0＜y20＜5
9 ，所以 r2＝(x0－1)2＋y02＝1
9＋y02∈(1
9，2
3) ，故半径 r∈(1
3， 6
3 ) .
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法：
1.直线与圆相切问题
方法 1：利用 d＝r；方法 2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．
2.直线与椭圆有两交点位置关系判断
方法 1：联立方程组利用△＞0 ；方法 2：弦中点在椭圆内部.
（2）方法选择与优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线 AB 为 y＝kx＋m 联立椭圆得(1
＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0(*) ，利用韦达定理得 M(－ 4km
4k2＋1， m
4k2＋1) ，由 MC⊥AB 得 m＝－4k2＋1
3k 由
(*)△＞0 得 m2＜4k2＋1 ，将 m＝－4k2＋1
3k 代入解得 k2＞1
5 ，所以 r＝ |k＋m|
k2＋1
＝1
3 1＋1
k2∈(1
3， 6
3 ) .
二、反馈巩固
*1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在第一象限，圆 C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，且
与直线 x－y＋1＝0 相切，则圆 C 的半径为________．
答案： 2 (考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系)
*2．设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，
则 PA·PB 的最大值是________．
答案：5 (考查直线过定点问题，基本不等式求最值)
**3．在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为
圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ．
答案：4
3 (考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离)
*4．过点 P(1，3)向圆 x2＋y2＝2 的作两条切线 PA，PB，A，B 为切点，则∠APB 的正切值等于________．
答案：4
3 (考查直线与圆相切的性质，切线长的计算，二倍角的正切公式)
*5．已知直线 x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0 和 x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数 k＝________．
答案：3 (考查两直线位置关系，圆的几何性质)
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*6．设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和圆(x－6)2＋y2＝8 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 ．
答案：9 2 (考查圆的几何性质，解析几何中的最值问题)
*7．过圆 x2＋y2＝4 内一点 P(1,1)作两条相互垂直的弦 AC，BD，当 AC＝BD 时，四边形 ABCD 的面积为
________．
答案：6 (考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离)
***8．设集合 A＝{(x，y)|m
2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若 A∩B≠，
则实数 m 的取值范围是___________．
答案：[1
2，2＋ 2] (考查集合的含义，直线与圆的位置关系，不等式表示的平面区域及综合分析问题的
能力)
**9．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点 P 在以点 C 为圆心，且与直线 BD
相切的圆内运动，设AP→＝αAD→＋βAB→（α，β∈R），则 α+β 的取值范围是
答案：(1，5
3)
（考查建系法解决向量问题，圆的标准方程，线性规划解决线性问题等等，本题也可以用向量的等和线解
决范围 α+β 问题）
***10.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C:x2＋y2＝r2，点 A(3，0)，B(0，4)，若点 P 为线段 AB 上的任意点，
在圆 C 上均存在两点 M、N，使得PM→＝MN
→，则半径 r 的取值范围 ▲
答案：[4
3，12
5 )
（考查圆的定比分点问题，垂径定理，勾股定理，方程组有解，不等式恒成立问题）
11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y＝2x－4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．
* (1)若圆心 C 也在直线 y＝x－1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；
** (2)若圆 C 上存在点 M，使 MA＝2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．
答案：(1)y＝3 或 3x＋4y－12＝0；
(2)a 的取值范围为[0，12
5 ]．
x
y
A l
O B
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(考查直线与圆相切问题，求轨迹方程问题，两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题)
12． 已知以点 A(－1，2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切．过点 B(－2，0)的动直线 l 与圆 A 相交
于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l1 相交于点 P．
*(1)求圆 A 的方程；
*(2)当 MN＝2 19时，求直线 l 的方程；
** (3)BQ→ ·BP→是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
答案：(1) (x＋1)2＋(y－2)2＝20；
(2) x＝－2 或 3x－4y＋6＝0；
(3) BQ→ ·BP→为定值－5．
(考查求圆的方程，割线方程，弦长问题及定值问题)
13.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的下顶点为 B，点 M．N 是椭圆上
异于点 B 的动点，直线 BM，BN 分别与 x 轴交于点 P，Q，且点 Q 是线段 OP 的中点．当点 N 运动到
点( 3， 3
2 )处时，点 Q 的坐标为(2 3
3 ，0)．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设直线 MN 交 y 轴于点 D，当点 M，N 均在 y 轴右侧，且→
DN＝2
→
NM时，求直线 BM 的方程．
解：（1）由 N( 3， 3
2 )，Q(2 3
3 ，0)，得直线 NQ 的方程为 y＝3
2x－ 3．
令 x＝0，得点 B 的坐标为(0，－ 3)．
所以椭圆的方程为x2
a2＋y2
3＝1 ．
将点 N 的坐标( 3， 3
2 )代入，得( 3)2
a2 ＋
( 3
2 )2
3 ＝1，解得 a2＝4．
所以椭圆 C 的标准方程为x2
4＋y2
3＝1．
（2）方法一：设直线 BM 的斜率为 k(k＞0)，则直线 BM 的方程为 y＝kx－ 3．
在 y＝kx－ 3中，令 y＝0，得 xP＝ 3
k ，而点 Q 是线段 OP 的中点，所以 xQ＝ 3
2k．
所以直线 BN 的斜率 kBN＝kBQ＝0－(－ 3)
3
2k－0
＝2k．
x
y
O
B
N
M
P
Q
D
(第 13 题)
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联立
y＝kx－ 3，
x2
4＋y2
3＝1 ，消去 y，得(3＋4k2)x2－8 3kx＝0，解得 xM＝ 8 3k
3＋4k2 ．
用 2k 代 k，得 xN＝ 16 3k
3＋16k2 ．
又→
DN＝2
→
NM，所以 xN＝2(xM－xN)，得 2xM＝3xN．
故 2 8 3k
3＋4k2＝3 16 3k
3＋16k2，又 k＞0，解得 k＝ 6
2 ．
所以直线 BM 的方程为 y＝ 6
2 x－ 3．
方法二：设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由 B(0，－ 3)，得直线 BM 的方程为 y＝ y1＋ 3
x1
x－ 3，
令 y＝0，得 xP＝ 3x1
y1＋ 3．
同理，得 xQ＝ 3x2
y2＋ 3．
而点 Q 是线段 OP 的中点，所以 xP＝2xQ，故 3x1
y1＋ 3＝2 3x2
y2＋ 3．
又→
DN＝2
→
NM，所以 x2＝2(x1－x2)，得 x2＝2
3x1＞0，从而 1
y1＋ 3＝
4
3
y2＋ 3，
解得 y2＝4
3y1＋ 3
3 ．
将
x2＝2
3x1，
y2＝4
3y1＋ 3
3 ，
代入到椭圆 C 的方程中，得x12
9 ＋(4y1＋ 3)2
27 ＝1．
又 x12＝4(1－y12
3 )，所以
4(1－y12
3 )
9 ＋(4y1＋ 3)2
27 ＝1，
即 3y12＋2y1－ 3＝0，
解得 y1＝－ 3（舍）或 y1＝ 3
3 ．又 x1＞0，所以点 M 的坐标为 M(4 2
3 ， 3
3 )．
故直线 BM 的方程为 y＝ 6
2 x－ 3．
