数学卷·2018届江西省上饶市横峰中学高二上学期期中考试数学（理）试卷 （解析版）

数学卷·2018届江西省上饶市横峰中学高二上学期期中考试数学（理）试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江西省上饶市横峰中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．某班的75名同学已编号1，2，3，…，75，为了解该班同学的作业情况，老师收取了学号能被5整除的15名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（　　）‎ A．简单随机抽样法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．抽签法 ‎3．不等式＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}‎ C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}‎ ‎4．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则不等式f（）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎6．一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得到的一组数据的方差是（　　）‎ A．1 B．27 C．9 D．3‎ ‎7．取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图程序输出的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎9．设x＞0，y＞0，x+y=1，则≤a恒成立的a的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（　　）‎ A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 ‎11．给出30个数：1，2，4，7，…其规律是 第1个数是1；‎ 第2个数比第1个数大1；‎ 第3个数比第2个数大2；‎ 第4个数比第3个数大3；…‎ 以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（　　）‎ A．i≤29；p=p+i+1 B．i≤30；p=p+i﹣1 C．i≤30；p=p+i D．i≤31；p=p+i ‎12．若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．某校高中生共有1000人，其中高一年级500人，高二年级300人，高三年级200人，现采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为　　．‎ ‎14．已知2a+3b=4，则4a+8b的最小值为　　．‎ ‎15．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是　　．‎ ‎16．已知二次函数f（x）=ax2+x．对于∀x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 三．解答题（本题包括6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．‎ 试利用频率分布直方图求：‎ ‎（1）这50名学生成绩的众数与中位数． ‎ ‎（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0.1）‎ ‎18．（12分）（1）计算C104﹣C73A33；‎ ‎（2）解关于x的方程：3A8x=4A9x﹣1．‎ ‎19．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字，‎ ‎（1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；‎ ‎（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数．‎ ‎20．（12分）设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=x2+ax+b，‎ ‎（1）若b=1，且f（x）＞0解集为R，求a的取值范围．‎ ‎（2）若方程f（x）=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一解，求2a﹣b的取值范围．‎ ‎22．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点是﹣1，且满足[f（x）﹣x]•[f（x）﹣]≤0恒成立．‎ ‎（1）求f（1）的值；‎ ‎（2）求f（x）的解析式．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省上饶市横峰中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】简化模型，只考虑第999次出现的结果，有两种结果，第999次出现正面朝上只有一种结果，即可求 ‎【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现，故所求概率为 故选D ‎【点评】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎2．某班的75名同学已编号1，2，3，…，75，为了解该班同学的作业情况，老师收取了学号能被5整除的15名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（　　）‎ A．简单随机抽样法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．抽签法 ‎【考点】收集数据的方法．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；演绎法；概率与统计．‎ ‎【分析】当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．‎ ‎【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．‎ 某班的78名，每个班学生的学号都是1～75，‎ 收取了学号能被5整除的15名同学的作业本，‎ 这里运用的抽样方法是系统抽样，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查系统抽样，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．‎ ‎　‎ ‎3．不等式＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}‎ C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．‎ ‎【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0‎ 利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由于 x＞0，利用基本不等式求得函数 的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，‎ 故函数的最小值是4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则不等式f（）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的图象；函数单调性的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先利用函数图象，将不等式等价转化为分式不等式＜1，再进行等价转化，即可得此不等式的解集 ‎【解答】解：f（）＞0⇔＜1‎ ‎⇔＜0‎ ‎⇔﹣2＜x＜1‎ ‎∴不等式f（）＞0的解集为（﹣2，1）‎ 故选 B ‎【点评】本题主要考查了函数与不等式间的关系，简单分式不等式的解法，转化化归的思想方法，属基础题 ‎　‎ ‎6．（2011秋•南雄市校级期末）一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得到的一组数据的方差是（　　）‎ A．1 B．27 C．9 D．3‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都扩大到原来的3倍，方差扩大9倍，从而求出所求．‎ ‎【解答】解：由题意知，原来这组数据的平均数为，这组新数中的每个数据都扩大到原来的3倍，则这组新数的平均数为3，‎ 原来的方差s12=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=3，‎ 现在的方差s22=[（3x1﹣3）2+（3x2﹣3）2+…+（3xn﹣3）2]‎ ‎=[9（x1﹣）2+9（x2﹣）2+…+9（xn﹣）2]=9×[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]‎ ‎=9s12‎ ‎=9×3‎ ‎=27，方差扩大9倍，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题说明了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变，若数据都扩大到原来的a倍，则方差就是原来的a2倍．‎ ‎　‎ ‎7．（2010•广东模拟）取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出豆子落入正方形外对应图形的面积，及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：设正方形的边长为1，‎ 由已知易得：S正方形=1‎ S外接圆=‎ 故豆子落入正方形外的概率P==‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是几何概型的意义，解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．‎ ‎　‎ ‎8．如图程序输出的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】根据流程图，模拟程序的运行过程，判定是否满足条件S＜65，满足条件则执行循环体，不满足条件终止循环，输出n的值．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行情况如下：‎ n=5，S=0，S=2×0+5=5＜65，‎ n=4，S=2×5+4=14＜65，‎ n=3，S=2×14+3=31＜65，‎ n=2，S=2×31+2=64＜65，‎ n=1，S=2×64+1=129≥65；‎ 终止循环，输出n=1﹣1=0．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了伪代码与循环结构的应用问题，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．设x＞0，y＞0，x+y=1，则≤a恒成立的a的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】利用=x+y+2≤x+y+x+y=2，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，‎ ‎∴=x+y+2≤x+y+x+y=2，‎ ‎∴．当且仅当x=y=时取等号．‎ ‎∵≤a恒成立，‎ ‎∴．‎ ‎∴≤a恒成立的a的最小值是．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化，‎ ‎　‎ ‎10．（2013•深圳一模）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（　　）‎ A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】先设满足题意的“六合数”为，根据“六合数”的含义得a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分四种情形，再对每一种情形求出种数，即可得出“六合数”中首位为2的“六合数”共有多少种．‎ ‎【解答】解：设满足题意的“六合数”为，则a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：‎ ‎（1）一个为4，两个为0，共有3种；‎ ‎（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有A=6种；‎ ‎（3）两个为2，一个为0，共有3种；‎ ‎（4）一个为2，两个为1，共有3种．‎ 则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本小题主要考查排列、组合及简单计数问题等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（2014•安徽模拟）给出30个数：1，2，4，7，…其规律是 第1个数是1；‎ 第2个数比第1个数大1；‎ 第3个数比第2个数大2；‎ 第4个数比第3个数大3；…‎ 以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（　　）‎ A．i≤29；p=p+i+1 B．i≤30；p=p+i﹣1 C．i≤30；p=p+i D．i≤31；p=p+i ‎【考点】循环结构．‎ ‎【专题】计算题；压轴题；阅读型．‎ ‎【分析】由已知中程序的功能是给出30个数：1，2，4，7，…其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…以此类推，要计算这30个数的和，我们可以根据循环次数，循环变量的初值，步长计算出循环变量的终值，得到①中条件；再根据累加量的变化规则，得到②中累加通项的表达式．‎ ‎【解答】解：由于要计算30个数的和，‎ 故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30‎ 即①中应填写i≤30；‎ 又由第1个数是1；‎ 第2个数比第1个数大1；‎ 第3个数比第2个数大2；‎ 第4个数比第3个数大3；…‎ 故②中应填写p=p+i 故选C ‎【点评】本题考查的知识点是循环结构，其中在循环次数=（循环终值﹣初值）÷步长+1，是循环次数，终值，初值，步长的知三求一问题，唯一公式，要求熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎12．（2006•重庆）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式 ‎【解答】解：若a，b，c＞0且，‎ 所以，‎ ‎∴，‎ 则（2a+b+c）≥，‎ 故选项为D．‎ ‎【点评】本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．某校高中生共有1000人，其中高一年级500人，高二年级300人，高三年级200人，现采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为　50，30，20　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．‎ ‎【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，‎ 则在高一年级抽取的人数是500×=50人，高二年级抽取的人数是300×=30人，‎ 高三年级抽取的人数是200×=20人，‎ 故答案为：50，30，20．‎ ‎【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．‎ ‎　‎ ‎14．已知2a+3b=4，则4a+8b的最小值为　8　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式．‎ ‎【分析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，结合题意2a+3b=4，代入可得答案 ‎【解答】解：∵2a+3b=4‎ ‎∴4a+8b=22a+23b≥2=2•=8，当且仅当a=，b=‎ ‎∴4a+8b的最小值为8，‎ 故答案为：8‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．‎ ‎　‎ ‎15．（2012•宁波模拟）在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是　　．‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，．试验发生包含的基本事件有C52种结果，其中至少有一个红球的事件包括有两个红球或有一个红球和一白球两种结果，根据古典概型公式得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的基本事件有C52=10种结果，‎ 其中至少有一个红球的事件包括C22+C21C31=7个基本事件，‎ 根据古典概型公式得到P=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率 P（A），然后利用P=1﹣P（A）求解．‎ ‎　‎ ‎16．（2010•赣榆县校级模拟）已知二次函数f（x）=ax2+x．对于∀x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论．‎ ‎【分析】本题可以从a的正、负入手，考虑a＞0与a＜0两种情况，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解，根据二次函数图象与性质进行讨论即可．‎ ‎【解答】解：由|f（x）|≤1得﹣1≤ax2+x≤1，x∈（0，1]，‎ ‎（1）当a＞0时，函数f（x）=ax2+x的图象开口方向向上，对称轴为，‎ 且经过原点（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!‎ ‎（2）当a＜0时，函数f（x）=ax2+x的图象开口方向向下，对称轴为，‎ 且经过原点（0，0），f（1）=a+1＜1，‎ ‎（i）当，即a＜﹣1时，需满足 及f（x）min=f（1）=a+1≥﹣1，即；‎ ‎（ii）当，即时，需满足，‎ 即，‎ ‎∴；‎ ‎（iii）当，即，需满足f（x）max=f（1）=a+1≤1，这显然成立；‎ ‎（3）a=0的时候，不是二次函数 不合题目要求．‎ 综上，实数a的取值范围是[﹣2，0）．‎ ‎【点评】分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．本解法比前一解法虽然复杂不少，但是其中所蕴涵的分类讨论思想与数形结合思想却是处理很多疑难问题的“利剑”．‎ ‎　‎ 三．解答题（本题包括6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）（2016春•娄底期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．‎ 试利用频率分布直方图求：‎ ‎（1）这50名学生成绩的众数与中位数． ‎ ‎（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0.1）‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．‎ ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．‎ ‎（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．‎ ‎【解答】（12分）‎ 解：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．‎ 在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，‎ 所以由频率分布直方图得众数应为75．‎ 由于中位数是所有数据中的中间值，‎ 故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．‎ 因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．‎ ‎∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，‎ ‎∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，‎ ‎∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，‎ ‎∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7．‎ ‎（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，‎ 即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．‎ ‎∴平均成绩为45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．‎ ‎【点评】本题考查众数、中位数、平均成绩的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（1）计算C104﹣C73A33；‎ ‎（2）解关于x的方程：3A8x=4A9x﹣1．‎ ‎【考点】组合及组合数公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】（1）利用组合数公式和排列数公式求解．‎ ‎（2）利用组合数公式和排列数公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）C104﹣C73A33‎ ‎=﹣×‎ ‎=﹣7×6×5‎ ‎=0．‎ ‎（2）∵3A8x=4A9x﹣1．‎ ‎∴3×=4×，‎ ‎∴3=，‎ ‎（9﹣x）（10﹣x）=12，‎ 解得x=6或x=13（舍），‎ ‎∴x=6．‎ ‎【点评】本题考查组合数、排列数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用组合数公式和排列数公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字，‎ ‎（1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；‎ ‎（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；排列组合．‎ ‎【分析】（1）利用乘法原理，可得结论；‎ ‎（2）分类讨论，利用排列知识可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）5×6×6×6×3=3 240（个）．‎ ‎（2）当首位数字是5，而末位数字是0时，有A31A32=18（个）；‎ 当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有A21A43=48（个）；‎ 当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有A31A21A31A312=108（个）；‎ 故共有18+48+108=174（个）．‎ ‎【点评】本题考查排列知识的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015秋•新疆校级期末）设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【专题】转化思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎（2）根据几何概型的概率公式，求出对应区域的面积，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，‎ 则基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），‎ ‎（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．‎ 设事件A为“方程x2+ax+b2=0有实根”．‎ 则判别式△=a2﹣4b2≥0，即a≥2b，‎ 若a=0，则b=0，‎ 若a=1，则b=0，‎ 若a=2，则b=0或b=1，‎ 若a=3，则b=0或b=1共有6个，则对应的概率P=．‎ ‎（2）记事件B=“方程x2+ax+b2=0有实根”．‎ 由△=a2﹣4b2≥0，得：a≥2b 全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，‎ 其面积为S=3×2=6．‎ 构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，‎ 则D（3，）‎ 其面积为S′=×3×=，‎ 对应的概率P==．‎ ‎【点评】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，根据相应的公式进行求解是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=x2+ax+b，‎ ‎（1）若b=1，且f（x）＞0解集为R，求a的取值范围．‎ ‎（2）若方程f（x）=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一解，求2a﹣b的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．‎ ‎【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）f（x）＞0，即x2+ax+1＞0的解集为R，则△=a2﹣4＜0，解得即可，‎ ‎（2）由已知中方程x2+ax+b=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一个根，根据方程的根与对应零点之间的关系，结合二次函数图象的性质，易得到f（1）＜0，f（2）＞0，f（0）＞0．画出约束条件表示的可行域，即可求解2a﹣b的范围．‎ ‎【解答】解：（1）b=1，且f（x）＞0，即x2+ax+1＞0的解集为R，‎ ‎∴△=a2﹣4＜0，‎ 解得﹣2＜a＜2，‎ 故a的范围为（﹣2，2）‎ ‎（2）∵函数f（x）=x2+ax+b，且方程f（x）=0在区间（0，1）和（1，2）上各有一解，‎ 则函数f（x）=x2+ax+b在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点，‎ 又∵f（x）=x2+ax+b是开口向上的抛物线，∴f（1）＜0，f（2）＞0，f（0）＞0．‎ ‎∴f（1）=a+b+1＜0…①，‎ f（2）=4+2a+b＞0…②，‎ f（0）=b＞0…③‎ 画出约束条件①②③表示的可行域如图：则2a﹣b=z，‎ 经过可行域的A点即，解得A（﹣2，3）时取得最小值为：﹣8，‎ 经过B即B（﹣1，0），2a﹣b取得最大值﹣2，‎ ‎2a﹣b的取值范围用区间表示为（﹣8，﹣2）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，其中根据方程的根与对应零点之间的关系，线性规划的应用是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点是﹣1，且满足[f（x）﹣x]•[f（x）﹣]≤0恒成立．‎ ‎（1）求f（1）的值；‎ ‎（2）求f（x）的解析式．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）利用均值不等式以及函数恒成立，推出1≤f（1）≤=1，得到结果．‎ ‎（2）由函数零点为﹣1，推出a﹣b+c=0，利用f（x）﹣x≥0恒成立，推出ac≥，结合a+c=，求出a=c=，即可得到函数的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）由均值不等式得≥=x，‎ 若[f（x）﹣x]•[f（x）﹣]≤0恒成立，‎ 即x≤f（x）≤恒成立，‎ 令x=1得1≤f（1）≤=1，故f（1）=1．‎ ‎（2）由函数零点为﹣1得f（﹣1）=0，即a﹣b+c=0，‎ 又由（1）知a+b+c=1，所以解得a+c=b=．‎ 又f（x）﹣x=ax2+x+c﹣x=ax2﹣x+c，‎ 因为f（x）﹣x≥0恒成立，所以△=﹣4ac≤0，‎ 因此ac≥①‎ 于是a＞0，c＞0．再由a+c=，‎ 得ac≤=②‎ 故ac=，且a=c=，‎ 故f（x）的解析式是f（x）=x2+x+．‎ ‎【点评】本题考查函数恒成立问题，解析式的求法，均值不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎