精品人教版七年级数学上册第三章3.4实际问题与一元二次 方程

精品人教版七年级数学上册第三章3.4实际问题与一元二次 方程

第三章 一元一次方程 3.4实际问题与一元二次 方程 第1课时 1. 理解配套问题、工程问题的背景. 2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依 据的主要等量关系. (难点) 3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过 程.(重点) 学习目标 导入新课 前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课， 我们将讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多 需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、 电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的 例子吗？ 情景引入 讲授新课 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200 个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母， 为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生 产螺钉和螺母的工人各多少名？ 想一想：本题需要我们解决的问题是什么？ 题目中哪些信息能解决人员安排的问题？ 螺母和螺钉的数量关系如何？ 典例精析 产品配套问题 如果设x名工 人生产螺母， 怎 样列方程？ 列表分析： 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺钉 x 1200 螺母 2000 × ＝ 1200 x 人数和为22人 22－x 螺母总产量是螺钉的2倍 × ＝ 2000(22－x) 等量关系：螺母总量=螺钉总量×2 解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生 产螺母. 依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 所以 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产 螺母. 还有别的方法吗？ 列表分析： 产品 类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数 螺钉 x 1200 螺母 2000 1200 x 22－x 2000(22－x) 1200 x 2000(22 - ) 2 x 解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生 产螺母.依题意，得 2000(22 - ) 2000 . 2 x x 解方程，得 x＝10.所以2－x＝12. 方法归纳 生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分 关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的 思路： 1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为 列方程的依据； 2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的， 黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求 白皮，黑皮各多少块？ 变式训练 分析：由图可得，一块白皮（六边形） 中，有三边与黑皮（五边形）相连， 因此白皮边数是黑皮边数的2倍． 数量 边数 黑皮 x 5x 白皮 32-x 6(32-x) 等量关系： 白皮边数 =黑皮边数×2 解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32-x)块， 五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32-x)条． 依题意,得 2×5x=6（32-x）, 解得x=12，则32-x=20. 答：白皮20块，黑皮12块. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用 1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢 材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成 这种仪器？共配成多少套？ 分析：由题意知 B 部件的数量是 A 部件数量 的 3 倍，可根据这一等量关系式得到方程. 做一做 解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x) 立方米做 B 部件. 根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240. 解得 x = 4. 则 6－x = 2. 共配成仪器：4×40=160 (套). 答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米 钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套. 如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完 成的工作量) 为 ，x人先做 4h 完成的工作量为 ， 增加 2 人后再做 8h 完成的工作量为 ， 这两个工作量之和等于 . 例2 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部 分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工 作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；工作 总量=各部分工作量之和. 1 40 4 40 x 8( 2) 40 x 总工作量 如果设先安排 x人做4 h，你能列出方程吗？ 工程问题 人均效率 人数 时间 工作量 前一部 分工作 x 4 后一部 分工作 x＋2 8 40 1 40 4x × × ＝ 工作量之和等于 总工作量1 40 1 × ＝× 40 )2(8 x 解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系： 可列方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做4 小时. 前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 4 8( 2) 1. 40 40 x x    变式训练 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10 就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任 务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按 期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 1 20 1 10 x 12-x 1 (12 ) 20 x 1 10 x 解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正 好按期完成任务，则甲做了（12-x）天. 依题意，得 1 1(12 ) 1. 20 10 x x   解得 x=8. 答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好 按期完成任务. 想一想：若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几 天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 1 20 1 10 1 20 x 8 10 8 x 解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则 在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天. 依题意，得 1 8 1. 20 10 x   解得x=4,则8-x=4. 答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可 正好按期完成任务. 解决工程问题的基本思路： 1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. 3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1. 要点归纳 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天， 由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程 队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 做一做 分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率 为 ，乙的工作效率为 ，根据工作效率×工 作时间=工作量，列方程. 1 12 1 24 解方程，得 x = 8. 答：要8天可以铺好这条管线. 解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得： 1 1 1. 12 24 x x  当堂练习 1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20 个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30 天制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件， 则可列方程为 .2×50x = 20(30－x) 2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果 两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成， 那么所列方程为 . 8 8+ + 1 18 24 18 x  3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个 桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分 配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌 腿刚好配套，共可生产多少张方桌？(一张方桌有 1个桌面，4条桌腿) 解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立 方米的木材做桌腿. 根据题意，得 4×50x = 300(10－x)， 解得 x =6，所以 10－x = 4， 可做方桌为50×6=300(张). 答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材 做桌腿，可做300张方桌. 4. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时 完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、 乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？ 解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得： 解得x = 6. 答：剩下的部分需要6小时完成. 1 (4+ )+ 1. 20 12 xx  5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独 做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另 有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几 天才能完成？ 解：设乙队还需x天才能完成，由题意得： 解得 x = 13. 答：乙队还需13天才能完成． 1 13+ (3+ ) 1. 9 24 x  课堂小结 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 设未知数，列方程 解 方 程 检验 第三章 一元一次方程 3.4实际问题与一元二次 方程 第2课时 1. 理解商品销售中的相关概念及数量关系. (重点) 2. 根据商品销售中的数量关系列一元一次方程解决 与打折销售有关的实际问题，并掌握解此类问题 的一般思路. (难点) 学习目标 导入新课 情境引入 生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息， 你知道它们的意思吗？ 3. 某商品原来每件零售价是 a 元，现在每件降 价10%，降价后每件零售价是 　　元. 4. 某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为 a元，则该品牌彩电每台原价应为　 元. 1. 商品原价200元，九折出售，售价是 元. 5. 某商品按定价的八折出售，售价是12.8元， 则原定售价是　 元.　 2. 商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元，利润率是_____.　 讲授新课 180 30 20％ 0.9a 1.25a 16 合作探究 销售中的盈亏 以上问题中有哪些量? 这些量有何 关系? 商品利润 利润率= = 商品售价－商品进价 ●售价、进价、利润的关系： 商品利润 ●进价、利润、利润率的关系： 商品进价 ×100% 折扣数 ●标价、折扣数、商品售价的关系： 商品售价＝标价× 10 ●商品售价、进价、利润率的关系： 商品进价商品售价= ×(1+利润率) 要点归纳 你估计盈亏情况是怎样的？ A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏 例1 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件 衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖 这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? ¥60 ¥60 典例精析 思考： 销售的盈亏取决于什么？ 总售价(120元) ＞ 总成本 总售价(120元) ＜ 总成本 总售价(120元) ＝ 总成本 盈 利 亏 损 不盈不亏 现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这 两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？ 两件衣服的成本(即进价). 如果设盈利的那件衣服的进价为 x 元，根据进价、利润率、售价之间 的关系，你能列出方程求解吗？同理，如果 设另一件衣服的进价为 y 元呢？ (2) 设亏损25%的衣服进价是 y元， 依题意得 y－0.25y＝60. 解得 y＝80. (1) 设盈利25%的衣服进价是 x 元， 依题意得 x＋0.25 x＝60. 解得 x＝48. 解： 两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128 (元). 因为120－128＝－8(元) 所以卖这两件衣服共亏损了8元. 与你猜想 的一致吗？ 1. 某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元. 其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行 是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 2. 某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元， 其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易 中的盈亏情况？ 答案：这次交易盈利8元. 答案：这次琴行亏本80元. 练一练 例2 某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价 打 9 折 (即原价的 90% )，并再让利 40 元销售，仍可获利 10% ，求该商品的进价． 分析：由题目条件，易知该商品的实际售价是 ( 900×90%－40 ) 元. 设该商品的进价为每件 x元， 根据实际售价 (不同表示法) 相等列方程求解. 解：设该商品的进价为每件 x 元， 依题意，得 900×0.9－40＝10% x ＋x， 解得 x＝700. 答：该商品的进价为700元． 1. 某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出 售，仍获利10%，则该商品的标价为 元. 2. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下 调药品的价格，某种药品在 2015 年涨价 30% 后，2017年又降价 70% 至 a 元，则这种药品在 2015 年涨价前的价格为 元. 2725 100 39 a 做一做 当堂练习 1.某种商品的进货检为每件a元，零售价为每件90元， 若商品按八五折出售，仍可获利10%，则下列方程正 确的是（　　） A．85%a=10%×90 B．90×85%×10%=a C．85%(90-a)=10% D．(1+10%)a=90×85% D 2.两件商品都卖120元，其中一件赢利25%，另 一件亏本20%，则两件商品卖出后（　　） A．赢利16元 B．亏本16元 C．赢利6元 D．亏本6元 3.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七 五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将 赚20元，则这种商品的原价是（　　） A．500元 B．400元 C．300元 D．200元 D C 4. 某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于 销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保 证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出 售此商品？ 解：设商店最多可以打x折出售此商品， 根据题意，得 解得 x = 7. 答:商店最多可以打7折出售此商品. 1500 1000(1 5 ). 10 x    ％ 5. 据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20% 便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标 价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋， 应在什么范围内还价？ 高于进价50%标价 高于进价100%标价 进价 x 元 y 元 标价 (1＋50%)x (1＋100%)y 方程 (1＋50%)x＝600 (1＋100%)y＝600 方程的解 x＝400 y＝300 盈利价 400(1＋20%)＝480 300(1＋20%)＝360 答：应在360元~480元内还价. 课堂小结 商品利润 利润率= = 商品售价－商品进价 ●售价、进价、利润的关系： 商品利润 ●进价、利润、利润率的关系： 商品进价 ×100% 折扣数 ●标价、折扣数、商品售价的关系： 商品售价＝标价× 10 ●商品售价、进价、利润率的关系： 商品进价商品售价= ×(1+利润率) 第三章 一元一次方程 3.4实际问题与一元二次 方程 第3课时 1. 通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息 传递形式的多样性. 2. 会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息. (重点、难点) 3. 掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路，并会根 据方程的解的情况对实际问题作出判断. (重点、 难点) 学习目标 导入新课 你喜欢看篮球比赛吗？ 你对篮球比赛中的积分规则 有了解吗？ 情境引入 讲授新课 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 某次篮球联赛积分榜如下： 互动探究 比赛积分问题 队名 比赛 场次 胜 场 负 场 积 分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 问题1 你能从表格中了 解到哪些信息？ 每队胜场总积分＋负场总 积分＝这个队的总积分； 每队的胜场数＋负场数 ＝这个队比赛场次； 每队胜场总积分= 胜1场得分×胜场数…… 问题2 你能从表格中看 出负一场积多少分吗？ 由钢铁队得分可知负一 场积1分. 队名 比赛 场次 胜 场 负 场 积 分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 问题3 你能进一步算出 胜一场积多少分吗？ 解：设胜一场积 x 分， 依题意，得 10x＋1×4＝24. 解得 x＝2. 经检验，x＝2符合题意. 所以，胜一场积2分. 队名 比赛 场次 胜 场 负 场 积 分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 分析：设胜一场积 x 分， 根据表中其他任何一行可 以列方程求解，这里以第 一行为例. 问题4 怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间 的关系？ 解：若一个队胜 m场，则负 (14－m) 场，胜 场积分为 2m，负场积分为14－m，总 积分为： 2m + (14－m) = m +14. 即胜 m场的总积分为 (m +14) 分. 问题5 某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？ 解：设一个队胜 x 场，则负 (14－x) 场， 解得 x＝ . 14 3 注意：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是 符合实际. x 表示什么 量？它可以 是分数吗？ x 表示所胜的场数，必须是整数，所以 x＝ 不符合实际. 由此可以判定没有 哪个队的胜场总积分等于负场总积分. 14 3 例 某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分 表如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积 多少分吗? 分析：关键信息是由C队的积分得出等量关系： 胜场积分+负场积分=3. 解：由C队的得分可知，胜场积分+负场积分=27÷9=3. 设胜一场积x分，则负一场积(3-x)分. 根据A队得分，可列方程为 14x+4(3-x)=32， 解得x=2，则3-x=1. 答：胜一场积2分，则负一场积1分. 想一想：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 能. 胜6场、负12场时，胜场总积分等于它的负场总积分. 某赛季篮球甲A 联赛部分球队积分榜如下： (1) 列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系； (2) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 为什么？ 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 八一双鹿 22 18 4 40 北京首钢 22 14 8 36 浙江万马 22 7 15 29 沈部雄狮 22 0 22 22 做一做 解：观察积分榜，从最下面一行可知负一场积1分. 设胜一场积 x分，从表中其他任何一行可以列 方程，求出x的值. 例如，从第一行得出方程： 18x＋1×4＝40． 由此得出 x＝2. 所以，负一场积1分，胜一场积2分. (1) 如果一个队胜 m场，则负 (22－m) 场，胜场积 分为2m，负场积分为22－m，总积分为： 2m＋(22－m)＝m＋22. 22 . 3 x  其中，x(胜场) 的值必须是整数，所以 不 符合实际. 由此可以判定没有哪个队伍的胜场总 积分等于负场总积分. 22 3 x  当堂练习 1. 某球队参加比赛，开局 9 场保持不败，积 21 分， 比赛规则：胜一场得 3 分，平一场得 1分，则该 队共胜 ( ) A. 4场 B. 5场 C. 6场 D. 7场 C 2. 中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积 2 分，负一场积 1 分，某支球队参加了12 场比赛， 总积分恰是所胜场数的 4 倍，则该球队共胜____ 场. 4 3. 某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错 或不答要扣3分. 某选手在这次竞赛中共得 116 分， 那么他答对几道题？ 解：设答对了 x 道题，则有 (20－x) 道题答错或不 答，由题意得： 8x－(20－x)×3＝116. 解得 x＝16. 答：他答对16道题． 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 4. 把互动探究中积分榜的最后一行删去(如下表)，如 何求出胜一场积几分，负一场积. 解：可以求出. 从雄鹰队或远大队的积分可以看出胜一场与负 一场共得 21÷7 = 3 (分)，设每队胜一场积 x 分， 则负一场积 (3－x) 分，根据前进队的信息可列 方程为： 10x + 4(3－x) = 24. 解得 x = 2. 所以 3－x =1. 答：胜一场积 2 分，负一场积 1 分. 你还有其 他的方法吗？ 课堂小结 1. 解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出 的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数 学知识解决问题. 2. 用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是 否正确，且符合问题的实际意义． 第三章 一元一次方程 3.4实际问题与一元二次 方程 第4课时 1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用， 能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费 问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案. (重点、难点) 2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用 方程模型解决问题的意识和能力.(重点) 学习目标 讲授新课 互动探究 下表中有两种移动电话计费方式： 免费0.1935088方式二 免费0.2515058方式一 被叫 主叫超时 费/(元/分) 主叫限定 时间/分 月使用 费/元 电话计费问题 想一想 你觉得哪种计费方式更省钱？ 填填下面的表格，你有什么发现？ 主叫时间(分) 100 150 250 300 350 450 方式一计费(元) 方式二计费(元) 58 58 83 95.5 108 133 88 88 88 88 88 107 计费方式一 0 加超时费0.19元/分基本费88元 基本费58元 加超时费0.25元/分 150分 350分 计费方式二 哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”. 考虑 t 的取值时，两个主叫限定时间 150 min和 350 min是不同时间范围的划分点. 计费时首先要看主叫是否超过限定时间， 主叫不超过限定时间，月使用费一定； 主叫超过限定时间，超时部分加收超时费. 问题1 设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整 数)，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按 方式一和方式二如何计费. 当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二 的计费如下表： 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 350 t 等于350 t 大于350 58 88 58 88 58+0.25(t－150) 88 88108 58+0.25(t－150) 88＋0.19(t－350) 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 58 88 t 等于150 58 88 t 大于150且小于 350 58+0.25(t－150) 88 t 等于350 108 88 t 大于350 58+0.25(t－150) 88＋0.19(t－350) 问题2 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时 间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法. 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 58 88 t 等于150 58 88 ①当t ≤150时，方式一计费少(58元)； (1) 比较下列表格的第2、3行，你能得出什么结论？ < < 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 等于150 58 88 t 大于150且小于 350 58+0.25(t－150) 88 t 等于350 108 88 (2) 比较下列表格的第2、4行，你能得出什么结论？ > < 当t 大于150且小于 350时，存在某一个值，使得两种方式计费 相等. 依题意 ，得58＋0.25(t－150) = 88， 解得 t =270. 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 大于350 58＋0.25(t－150) 88+0.19(t－350) 解析：当t＞350分时，方式一的计费其实就是在108元的基 础上，加上超过350分部分的超时费[0.25(t－350)]. (3) 当t >350分时，两种计费方式哪种更合算呢？ 当t >350时， 方式一： 58＋0.25(t－150)= 108＋0.25(t－350)， 方式二： 88＋0.19(t－350)， 所以，当t ＞350分时，方式二计费少. 加超时费0.19元/分基本费88元 加超时费0.25元/分 基本费58元 3500 150 计费方式一 计费方式二 108 88 58 88 （ t 是正整数） t /分 88 88 270 综合以上的分析，可以发现： 时，选择方式一省钱； 时，选择方式二省钱； 时，方式一、方式二均可． t 小于 270 t 大于 270 t 等于 270 (1)回顾问题的解决过程，谈谈你的收获. (2)解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？ 本题中运用了哪些方法突破这些难点？ (3)电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程 解决了什么问题？ 想一想 列表分析 借助数轴 审 题 分类讨论 更 优 惠 费 用 相 同 列 方 程 用 未 知 数 表 示 费 用 设 未 知 数 如何比较两个 代数式的大小 要找不等关系 先找等量关系 例 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节 开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强 原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x （个）（x为整数）． （1）根据题意，填写下表： 攒钱的月数/个 3 6 … x 小明攒钱的总 数/元 350 … 小强攒钱的总 数/元 510 …330 500 200+50x 150+60x （2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？ 此时他们各有多少钱？ (2) 根据题意，得200+50x=150+60x， 解得x=5． 所以150+60x=450． 答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同， 此时每人有450元钱． （3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够 先买到该模型？ (3) 根据题意，由200+50x=780，解得x=11.6， 故小明在12个月后攒钱的总数超过780元. 由150+60x=780，解得x=10.5， 故小强在11个月后攒钱的总数超过780元. 所以小强能够先买到该模型． 方法总结：解决此类问题的关键是能够根据已知条 件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论， 从而得出整体选择方案. 做一做 移动公司推出两种智能手机上网流量包： 月使用费 (元) 含上网流量 (M) 流量超出部分 (元/M) A种 30 320 0.2 B种 50 550 0.1 如何选择流量包更划算？ 解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x 在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表： 使用流量 x(M) A种计费(元) B种计费(元) x小于等于320 30 50 x大于320且小于550 30+0.2(x－320) 50 x等于550 76 50 x大于550 30+0.2(x－320) 50+0.1(x－550) (1) 当 x ≤ 320 时，流量包A 计费少(30元)； (2) 当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少(＜50元)； (3) 当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元； (4) 当 420＜x＜550 时，流量包B 计费少(50元)； (5) 当 x = 550 时，流量包B 计费少(50元)； (6) 当 x＞550 时，流量包B 计费少. 综上所述， 当月使用流量小于 420 M 时，选择流量包A 划算； 当月使用流量等于 420 M 时，两种流量包费用一样； 当月使用流量大于 420 M 时，选择流量包B 划算. 1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用 水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每 吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为 44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　） A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44 当堂练习 A 2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段 计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3， 则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3， 则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年 12月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月 的用水量为_______m3.20 3. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选 其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月 (限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网 方式都得加收通信费 0.02 元/分钟． (1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种 收费方式下该用户应该支付的费用； (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x， 采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x； (2) 由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上 网时间越长，采用包月制越合算．所以， 当 0 < x < 20 时，采用计时制合算； 当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x > 20 时，采用包月制合算． 4. 用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20 时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部 分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件， 不论复印多少页，每页收费0.1元. 问：如何根据 复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？ (复印的页数不为零) 复印页数x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x 小于20 0.12x 0.1x x 等于20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2 x 大于20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x 解：设复印页数为x，依题意，列表得： (1) 当 x ＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价 格便宜； (2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜； (3) 当 x 大于20时，依题意得 2.4+0.09(x－20) ＝ 0.1x. 解得 x ＝ 60 所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜； 当x等于60时，两者价格相同； 当x大于60时，复印社价格便宜. 综上所述：当 x 小于60页时，图书馆价格便宜； 当 x 等于60时，两者价格相同； 当 x 大于60时，复印社价格便宜. 5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本.已知两商店的标 价都是每本1元，甲商店的优惠方法是：购买10本 以上时，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店 的优惠方法是：从第一本开始就按标价的80%出售. (1) 小明要买20本时，到哪家商店购买省钱； (2) 买多少本时，到两个商店花的钱一样多； (3) 小明现有24元钱，最多可买多少本练习本. 答案：(1) 小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱； (2) 买 30 本时，到两个商店花的钱一样多； (3) 小明现有 24 元钱，最多可买 30 本练习本. 课堂小结 1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省 钱”与“主叫时间”有关. 2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适 的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而 得出整体选择方案.