2013高考理科数学全国新课标卷试题与答案word解析版

2013高考理科数学全国新课标卷试题与答案word解析版

‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ‎(全国新课标卷I)(解析在第五页)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则(　　)．‎ A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．BA D．AB ‎2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)．‎ A．－4 B． C．4 D．‎ ‎3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)．‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 ‎4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)．‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x ‎5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)．‎ A．[－3,4] ‎ B．[－5,2] ‎ C．[－4,3] ‎ D．[－2,5]‎ ‎6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)．‎ A．cm3 B．cm3‎ C．cm3 D．cm3‎ ‎7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)．‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．‎ A．16＋8π ‎ B．8＋8π ‎ C．16＋16π ‎ D．8＋16π ‎9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)．‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)．‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]‎ ‎12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)．‎ A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.‎ ‎14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______.‎ ‎15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.‎ ‎16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.‎ ‎ (1)若PB＝，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.‎ ‎18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.‎ ‎(1)证明：AB⊥A1C；‎ ‎(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．‎ ‎19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．‎ ‎(1)求这批产品通过检验的概率；‎ ‎(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．‎ ‎20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ ‎21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.‎ ‎(1)求a，b，c，d的值；‎ ‎(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎(1)证明：DB＝DC；‎ ‎(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．‎ ‎23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．‎ ‎24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.‎ ‎(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；‎ ‎(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 ‎(全国卷I新课标)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．‎ 答案：B 解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.‎ ‎∴集合A与B可用图象表示为：‎ 由图象可以看出A∪B＝R，故选B.‎ ‎2． ‎ 答案：D 解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，‎ ‎∴.‎ 故z的虚部为，选D.‎ ‎3．‎ 答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．‎ ‎4．‎ 答案：C 解析：∵，∴.‎ ‎∴a2＝4b2，.‎ ‎∴渐近线方程为.‎ ‎5．‎ 答案：A 解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．‎ 若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.‎ 故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．‎ 综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.‎ ‎6．‎ 答案：A 解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．‎ BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，‎ 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，‎ 所以球的体积为(cm3)，故选A.‎ ‎7．‎ 答案：C 解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，‎ ‎∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.‎ ‎∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.‎ ‎∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.‎ 又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.‎ ‎∴m＝5.故选C.‎ ‎8．‎ 答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.‎ ‎9．‎ 答案：B 解析：由题意可知，a＝，b＝，‎ 又∵13a＝7b，∴，‎ 即.解得m＝6.故选B.‎ ‎10． ‎ 答案：D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴‎ ‎①－②，得 ‎，即，‎ ‎∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，‎ 而＝kAB＝，∴.‎ 又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.‎ ‎∴椭圆E的方程为.故选D.‎ ‎11．‎ 答案：D 解析：由y＝|f(x)|的图象知：‎ ‎①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.‎ ‎②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.‎ 故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.‎ 当x＝0时，不等式为0≥0成立．‎ 当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.‎ ‎∵x－2＜－2，∴a≥－2.‎ 综上可知：a∈[－2,0]．‎ ‎12．‎ 答案：B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．答案：2‎ 解析：∵c＝ta＋(1－t)b，‎ ‎∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.‎ 又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，‎ ‎∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，‎ ‎0＝＋1－t.‎ ‎∴t＝2.‎ ‎14．答案：(－2)n－1‎ 解析：∵，①‎ ‎∴当n≥2时，.②‎ ‎①－②，得，即＝－2.‎ ‎∵a1＝S1＝，‎ ‎∴a1＝1.‎ ‎∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.‎ ‎15．答案：‎ 解析：f(x)＝sin x－2cos x ‎＝，‎ 令cos α＝，sin α＝，‎ 则f(x)＝sin(α＋x)，‎ 当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，‎ 即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，‎ 所以cos θ＝＝＝sin α＝.‎ ‎16．答案：16‎ 解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，‎ ‎∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，‎ 即，解得 ‎∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.‎ 由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，‎ 得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.‎ 易知，f(x)在(－∞，－2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋∞)上为减函数．‎ ‎∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]‎ ‎＝(－8－)(8－)‎ ‎＝80－64＝16.‎ f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]‎ ‎＝－3(4－16＋15)‎ ‎＝－9.‎ f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]‎ ‎＝(－8＋)(8＋)‎ ‎＝80－64＝16.‎ 故f(x)的最大值为16.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．‎ 解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.‎ 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.‎ 故PA＝.‎ ‎(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.‎ 在△PBA中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α.‎ 所以tan α＝，即tan∠PBA＝.‎ ‎18．‎ ‎(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.‎ 因为CA＝CB，所以OC⊥AB.‎ 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，‎ 故△AA1B为等边三角形，‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.‎ ‎(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.‎ 又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，‎ 所以OC⊥平面AA1B1B，‎ 故OA，OA1，OC两两相互垂直．‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.‎ 由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．‎ 则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，‎ 则即可取n＝(，1，－1)．‎ 故cos〈n，〉＝＝.‎ 所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.‎ ‎19．‎ 解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)‎ ‎＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)‎ ‎＝.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800，并且 P(X＝400)＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P EX＝＝506.25.‎ ‎20．‎ 解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.‎ 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，‎ 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，‎ 所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.‎ 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．‎ 由l与圆M相切得，‎ 解得k＝.‎ 当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.‎ 所以|AB|＝.‎ 当时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝或|AB|＝.‎ ‎21．‎ 解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.‎ 而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，‎ 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.‎ 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．‎ 设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，‎ 则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．‎ 由题设可得F(0)≥0，即k≥1.‎ 令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.‎ ‎①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．‎ 而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.‎ 故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．‎ ‎②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．‎ 从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．‎ 而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．‎ ‎③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.‎ 从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．‎ 综上，k的取值范围是[1，e2]．‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．‎ ‎ (1)证明：连结DE，交BC于点G.‎ 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.‎ 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.‎ 又因为DB⊥BE，‎ 所以DE为直径，∠DCE＝90°，‎ 由勾股定理可得DB＝DC.‎ ‎(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，‎ 故DG是BC的中垂线，所以BG＝.‎ 设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.‎ 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，‎ 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ ‎23．‎ 解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ ‎24．‎ 解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.‎ 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，‎ 则y＝‎ 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.‎ 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．‎ ‎(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.‎ 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.‎ 所以x≥a－2对x∈都成立．‎ 故≥a－2，即.‎ 从而a的取值范围是.‎ ‎2014年普通高等学校统一考试（大纲）‎ 理科（解析在15页）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设，则z的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 若向量满足：，，，则（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 ‎ ‎6. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ ‎8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 等比数列中，，则数列的前8项和等于（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎11. 已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中的系数为 .‎ ‎14. 设x、y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎15．直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .‎ ‎16. 若函数在区间是减函数，则a的取值范围是 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求B.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为，各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过F的直线与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求的方程.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，证明：.‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1. D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A ‎7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.D 二、填空题：‎ ‎13. 70 14. 5 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：由题设和正弦定理得 故 ‎ 因为 ，所以 即 ……………………………6分 所以 ‎……………8分 即 ………………………………10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由，为整数知，等差数列的公差为整数 又，故 即 ‎ 解得 ‎ 因此 ‎ 数列的通项公式为…………………………………6分 ‎（Ⅱ）………………………8分 于是 ‎ ‎……………….12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解法一：（Ⅰ）因为平面平面，故平面平面，‎ 又，所以平面，……………3分 连结，因为侧面为菱形，故 由三垂线定理得………5分 ‎（Ⅱ）平面平面，故平面平面 作为垂足，则平面 又直线平面，因而为直线与平面的距离，‎ 因为为的平分线，故………………8分 作为垂足，连结，由三垂线定理得，‎ 故为二面角的平面角 由得为中点，‎ ‎，‎ 所以二面角的大小为………………12分 解法二：以C为坐标原点，射线CA为轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设知与轴平行，轴在平面内 ‎（Ⅰ）设，由题设有，，，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎………………2分 由得，即 ‎ ①‎ 于是，所以………………………5分 ‎（Ⅱ）设平面的法向量，则，即，‎ 因为，，故，且 令，则，，点到平面的距离为 又依题设，到平面的距离为，所以 代入①解得（舍去）或 ………………………………………8分 于是 设平面的法向量，则，即，，‎ 且，令，则，，，‎ 又为平面的法向量，故 所以二面角的大小为……………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：记表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备，，‎ B表示事件：甲需使用设备，‎ C表示事件：丁需使用设备，‎ D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 ‎（Ⅰ）‎ ‎………3分 所以 ‎……………………………………6分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 ‎…………………………………………………………………10分 数学期望 ‎……………………………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设，代入得 所以 由题设得，解得（舍去）或 所以C的方程为……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为 代入得 ‎ 设，则 故的中点为 又的斜率为，所以的方程为 将上式代入，并整理得 设，则 故的中点为 ‎，…10分 由于垂直平分，故四点在同一圆上等价于，‎ 从而 即 化简得，解得或 所求直线的方程为或……………………………12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为………………….2分 ‎（ⅰ）当时，若，则，在是增函数；‎ 若，则，在是减函数；‎ 若，则，在是增函数；……………………4分 ‎（ⅱ）当时，，成立当且仅当，在是增函数；‎ ‎（ⅲ）当时，若，则，在是增函数；‎ 若，则，在是减函数；‎ 若，则，在是增函数；……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在是增函数，‎ 当时，，即 又由（Ⅰ）知，当时，在是减函数，‎ 当时，，即…………………9分 下面用数学归纳法证明 ‎（ⅰ）当时，由已知，故结论成立；‎ ‎（ⅱ）设当时结论成立，即 当时，‎ 即当时有，结论成立。‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）知对任何结论都成立……………………………12分 ‎2014年普通高等学校统一考试（大纲）‎ 理科（参考答案24页）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设，则z的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 若向量满足：，，，则（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 ‎ ‎6. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ ‎8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 等比数列中，，则数列的前8项和等于（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎11. 已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中的系数为 .‎ ‎14. 设x、y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎15．直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .‎ ‎16. 若函数在区间是减函数，则a的取值范围是 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求B.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为，各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过F的直线与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求的方程.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，证明：.‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1. D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A ‎7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.D 二、填空题：‎ ‎13. 70 14. 5 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：由题设和正弦定理得 故 ‎ 因为 ，所以 即 ……………………………6分 所以 ‎……………8分 即 ………………………………10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由，为整数知，等差数列的公差为整数 又，故 即 ‎ 解得 ‎ 因此 ‎ 数列的通项公式为…………………………………6分 ‎（Ⅱ）………………………8分 于是 ‎ ‎……………….12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解法一：（Ⅰ）因为平面平面，故平面平面，‎ 又，所以平面，……………3分 连结，因为侧面为菱形，故 由三垂线定理得………5分 ‎（Ⅱ）平面平面，故平面平面 作为垂足，则平面 又直线平面，因而为直线与平面的距离，‎ 因为为的平分线，故………………8分 作为垂足，连结，由三垂线定理得，‎ 故为二面角的平面角 由得为中点，‎ ‎，‎ 所以二面角的大小为………………12分 解法二：以C为坐标原点，射线CA为轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设知与轴平行，轴在平面内 ‎（Ⅰ）设，由题设有，，，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎………………2分 由得，即 ‎ ①‎ 于是，所以………………………5分 ‎（Ⅱ）设平面的法向量，则，即，‎ 因为，，故，且 令，则，，点到平面的距离为 又依题设，到平面的距离为，所以 代入①解得（舍去）或 ………………………………………8分 于是 设平面的法向量，则，即，，‎ 且，令，则，，，‎ 又为平面的法向量，故 所以二面角的大小为……………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：记表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备，，‎ B表示事件：甲需使用设备，‎ C表示事件：丁需使用设备，‎ D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 ‎（Ⅰ）‎ ‎………3分 所以 ‎……………………………………6分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 ‎…………………………………………………………………10分 数学期望 ‎……………………………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设，代入得 所以 由题设得，解得（舍去）或 所以C的方程为……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为 代入得 ‎ 设，则 故的中点为 又的斜率为，所以的方程为 将上式代入，并整理得 设，则 故的中点为 ‎，…10分 由于垂直平分，故四点在同一圆上等价于，‎ 从而 即 化简得，解得或 所求直线的方程为或……………………………12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为………………….2分 ‎（ⅰ）当时，若，则，在是增函数；‎ 若，则，在是减函数；‎ 若，则，在是增函数；……………………4分 ‎（ⅱ）当时，，成立当且仅当，在是增函数；‎ ‎（ⅲ）当时，若，则，在是增函数；‎ 若，则，在是减函数；‎ 若，则，在是增函数；……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在是增函数，‎ 当时，，即 又由（Ⅰ）知，当时，在是减函数，‎ 当时，，即…………………9分 下面用数学归纳法证明 ‎（ⅰ）当时，由已知，故结论成立；‎ ‎（ⅱ）设当时结论成立，即 当时，‎ 即当时有，结论成立。‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）知对任何结论都成立……………………………12分 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科 ‎（新课标卷二Ⅱ）（参考答案在35页）‎ 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=‎ ‎ （A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝‎ ‎2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a =‎ ‎ （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2‎ 3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 ‎ （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 ‎ （B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 ‎ （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 ‎ （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4.等比数列｛an｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =‎ ‎ （A）21 （B）42 （C）63 （D）84‎ ‎5.设函数f(x)=，则f (－2)+ f (log212) =‎ ‎ （A）3 （B）6 （C）9 （D）12‎ 6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 ‎ 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圆交于y轴于M、N两点，则=‎ ‎ （A）2 （B）8 （C）4 （D）10‎ ‎8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》‎ ‎ 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，‎ ‎ 则输出的a=‎ ‎ （A）0 ‎ ‎ （B）2 ‎ ‎ （C）4 ‎ ‎ （D）14‎ 9. 已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体 ‎ 积的最大值为36，则球O的表面积为 ‎ （A）36π （B）64π （C）144π （D）256π 10. 如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与 ‎ DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）‎ ‎ 的图像大致为 11. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为 ‎ 120°，则E的离心率为 ‎ (A) (B)2 (C) (D)‎ ‎12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f（-1）=0，当x>0时，x f’(x)－f (x)＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是 ‎ (A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞) ‎ ‎ (C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二.填空题 ‎13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答案)‎ ‎14.若x，y满足约束条件，则z= x＋y的最大值为____________..‎ ‎15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.‎ ‎16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=－1，an+1=Sn Sn+1，则Sn=________.‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长.‎ ‎18. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率 ‎19. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 ‎（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）‎ ‎（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值 20. 已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有 ‎ 两个交点A，B，线段AB的中点为M.‎ ‎ （I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎ （II）若l过点(，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？‎ ‎ 若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.‎ ‎21. 设函数f(x)=emx＋x2－mx.‎ ‎ (Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求m的取值范围 ‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎(22).（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 ‎ 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边 ‎ 上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. ‎ ‎ （I）证明：EF平行于BC ‎ （II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1:，其中0≤α＜π ，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=cosθ . ‎ ‎ （I）.求C2与C3交点的直角坐标 ‎ （II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值 ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 ‎ 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明：‎ ‎ （I）若ab＞cd ，则；‎ ‎ （II）是的充要条件.‎