2014年高考试题——数学理（湖北卷）解析版

2014年高考试题——数学理（湖北卷）解析版

一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. i 为虚数单位，则   2)1 1( i i （ ） A. 1 B. 1 C. i D.i 2. 若二项式 7)2( x ax  的展开式中 3 1 x 的系数是 84，则实数 a （ ） A.2 B. 5 4 C. 1 D. 4 2 3. 设U 为全集， BA, 是集合，则“存在集合C 使得 CCBCA U , 是“ BA ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 试题分析： ①当 CA  ， CCB U ，且 CB ，则 BA ，反之当 ，必有 . 4.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 5.0 0.5 0.2 0.3 得到的回归方程为 abxy ˆ ，则（ ） A. 0a  , 0b B. , 0b C. 0a  , 0b D. 0a  , 5.在如图所示的空间直角坐标系 xyzO  中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1）， （2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】 试题分析：设 )2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0( DCBA ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规 则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选 D.[来源:学科网] 考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题. 6.若函数 )(xf 、 )(xg 满足  1 1 0)()( dxxgxf ，则称 )(xf 、 )(xg 在区间 ]1,1[ 上的一组正交函数，给出 三组函数：① xxgxxf 2 1cos)(,2 1sin)(  ；② 1)(,1)(  xxgxxf ；③ 2)(,)( xxgxxf  . 其中为区间 ]1,1[ 的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.由不等式       02 0 0 xy y x 确定的平面区域记为 1 ，不等式      2 1 yx yx ，确定的平面区域记为 2 ，在 中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为（ ） A. 8 1 B. 4 1 C. 4 3 D. 8 7 【答案】D 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底 面周长 L 与高 h ，计算其体积V 的近似公式 21 .36v L h 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么近似公式 22 75v L h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A. 22 7 B. 25 8 C.157 50 D. 355 113 9.已知 12,FF是椭圆和双曲线 的公共焦点， P 是他们的一个公共点，且 12 3F PF ,则椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值为（ ） A. 43 3 B. 23 3 C.3 D.2 10.已知函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， )3|2||(|2 1)( 222 aaxaxxf  ，若 R x ， )()1( xfxf  ，则实数 a 的取值范围为（ ） A. ]6 1,6 1[ B. ]6 6,6 6[ C. ]3 1,3 1[ D. ]3 3,3 3[ 考点：函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等. 二．填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14 题） 11.设向量 )3,3(a ， )1,1( b ，若 )()( baba   ，则实数  . 12.直线 1 :l y x a和 2 :l y x b将单位圆 22:1C x y分成长度相等的四段弧，则 22ab . 13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 的 3 个数字按从小到大排成的三位数 记为  Ia，按从大到小排成的三位数记为  Da（例如 815a  ，则   158Ia ，   851Da ）.阅读如 图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 ，输出的结果b  . 14.设  xf 是定义在 ,0 上的函数，且   0xf ，对任意 0,0  ba ，若经过点 ))(,( afa ， ))(,( bfb  的直线与 x 轴的交点为 0,c ，则称 c 为 ba, 关于函数 的平均数，记为 ),( baM f ，例如，当   )0(1  xxf 时，可得 2),( bacbaM f  ，即 为 的算术平均数. （1）当   )0_____(  xxf 时， 为 的几何平均数；[来源:Z_xx_k.Com] （2）当 时， 为 的调和平均数 ba ab  2 ； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） （二）选考题 15.（选修 4-1：几何证明选讲） 如图， P 为⊙O 的两条切线，切点分别为 BA, ，过 PA 的中点Q 作割线交⊙ 于 DC, 两点，若 ,3,1  CDQC 则 PB . 16.（选修 4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线 1C 的参数方程是      3 3ty tx  为参数t ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2C 的极坐标方程是 2 ，则 与 交点的直角坐标为 . 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 17.（本小题满分 11 分） 某实验室一天的温度（单位： C ）随时间t （单位： h ）的变化近似满足函数关系； )24,0[,12sin12cos310)(  ttttf  . （1）求实验室这一天的最大温差； （2）若要求实验室温度不高于 11 ，则在哪段时间实验室需要降温？ 当 2t 时， 1)312sin(   t ；当 14t 时， 1)312sin(   t ； 于是 )(tf 在 )24,0[ 上取得最大值 12，取得最小值 8.[来源:学科网] 18.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 }{ na 满足： 21 a ，且 1a 、 2a 、 5a 成等比数列. （1）求数列 的通项公式. （2）记 nS 为数列 的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 ?80060  nSn 若存在，求 n 的最小值；若 不存在，说明理由. （2）当 2na 时， nSn 2 ，显然 800602  nn ，不存在正整数 n ，使得 80060  nSn . 19.(本小题满分12分) 如图，在棱长为2的正方体 1111 DCBAABCD  中， NMFE ,,, 分别是棱 1111 ,,, DABAADAB 的中点，点 QP, 分别在棱 1DD , 1BB 上移动，且  20  BQDP . （1）当 1 时，证明：直线 //1BC 平面 EFPQ ； （2）是否存在 ，使平面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在， 说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2） 2 21 【解析】 分别取 EF 、 PQ 、 MN 的中点为 H 、O 、G ，连结OH 、OG ， 则 PQGO  ， PQHO  ，而 OHOGO  ， 故 GOH 是平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角的平面角， 以 D 为原点，射线 1,, DDDCDA 分别为 zyx ,, 轴的正半轴建立如图 3 的空间直角坐标系 xyzD  ， （2）设平面 EFPQ 的一个法向量 ),,( zyxn ， 20.（本小题满分 12 分） 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X (年入流 量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低 于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概 率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关 系: 若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电 站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 年入流量 X 8040  X 12080  X 120X 发电量最多可运行台数 1 2 3 由此得Y 的分布列如下： 所以 86201.0150007.092002.03400 EY . 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.[来源:学科网] 考点：二项分布，随机变量的均值. 21.（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点  1,0F 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程； （2）设斜率为 k 的直线l 过定点  2,1p  ，求直线 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共 点时 k 的相应取值范围. 试题解析：（1）设点 ),( yxM ，依题意， 1||||  xMF ，即 1||)1( 22  xyx ， 整理的 )|(|22 xxy  ， 所以点 M 的轨迹C 的方程为      )0(, )0(42 xo xxy . Y 34 9200 15000 P 0.2 0.8 0.1 考点：两点间的距离公式，抛物线方程，直线与抛物线的位置关系. 22.（本题满分 14 分）  为圆周率，  71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数 x xxf ln)(  的单调区间； （2）求 3e ， e3 ， e ， e ， 3 ， 3 这 6 个数中的最大数与最小数； （3）将 ， ， ， ， ， 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.