考点47+条件概率与二项的分布-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点47+条件概率与二项的分布-2018版典型高考数学试题解读与变式

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点47 条件概率与二项的分布 ‎【考纲要求】‎ 了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题.‎ ‎【命题规律】‎ 条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）二项分布 例1.【2017课标II】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式1】已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得解得.‎ ‎【变式2】设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，‎ 由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，‎ 则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.‎ ‎（二）条件概率 ‎ 例2.(2014·课标Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45‎ ‎【解析】设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，‎ 则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．‎ 由条件概率可知，P(B|A)＝＝＝＝0.8，故选A.‎ ‎ 【名师点睛】计算条件概率有两种方法．‎ ‎(1)利用定义P(B|A)＝；‎ ‎(2)若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝.‎ ‎【变式1】先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【变式2】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为(　　)‎ A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75‎ ‎【答案】D ‎【解析】设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，‎ 则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，‎ 得P(A|B)＝＝＝＝0.75.‎ ‎【数学思想】‎ ‎（1）函数方程思想.‎ ‎（2）转化与化归思想.‎ ‎【温馨提示】‎ ‎（1）条件概率的问题中：①事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．②当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎（2）注意二项分布满足的条件：‎ ‎①每次试验中，事件发生的概率是相同的．‎ ‎②各次试验中的事件是相互独立的．‎ ‎③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．‎ ‎④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．‎ ③注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系.‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.（黑龙江省大庆第一中学2014届高三下学期第二阶段考试数学（理）试题） 先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且x≠y”，则概率P (B|A)=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】事件A为“为偶数”所包含的基本事件数有,，，，共18种，事件AB为“x、y中有偶数，且x≠y ，x+y为偶数”， 所包含的基本事件数有，共6种，由条件概率计算公式可得P(B|A)=.‎ ‎2. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】P(A)＝＝，P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎3.()某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45‎ ‎【答案】A ‎4.【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人限报其中一项，记事件“4名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学独报一项比赛”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，故选A．‎ ‎5. 某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为(　　)‎ A.0.6，60 B.3，12 C.3，120 D.3，1.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】X～B(5，0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120，故选C.‎ ‎6.若ξ～B(n，p)，且＝6，＝3，则P(ξ＝1)的值为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】np＝6，npq＝3，∴q＝，p＝1－q＝，n＝12.∴p(ξ＝1)＝C·＝3·2－10，故选C.‎ ‎7. 设随机变量X服从正态分布N(3,4)，若P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)，则a＝(　　)‎ A．3 B. C．5 D. ‎【答案】D ‎【解析】因为X服从正态分布N(3,4)，P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)．所以2a－3＋a＋2＝6，a＝.‎ ‎8. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎9. 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得解得p＝.‎ ‎10. 甲袋中有2个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中随机地取出一球，则取出的球是白球的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设A表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”，B表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”.‎ 所以P(A)＝，P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|A)＝.‎ P (B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝.‎ ‎11. 如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意得，P(A)＝＝，P(AB)＝＝，则由条件概率的意义可知，P(B|A)＝＝.‎ ‎12. 【2017安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到的频率分布直方图如图.‎ ‎（1）估计该技术指标值平均数；‎ ‎（2）在直方图的技术指标值分组中，以落入各区间的频率作为取该区间值的频率，若，则产品不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取件产品检测，记不合格产品的个数为，求的数学期望.‎ ‎【解析】（1） ，‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，‎ 所以，所以 ‎13. 【2017江西师大附中、临川一中联考】某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.‎ ‎（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；‎ ‎（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.‎ ‎【解析】（1）记“该考生在第一次抽到理科题为事件A”，“该考生第二次和第三次均抽到文科题为事件B”，则，.‎ 所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次抽到文科题的概率为.‎ ‎（2）的可能取值为0，10，20，30，则， ‎ ‎，‎ ， ‎ . ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 所以，的数学期望.‎ ‎14. 甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分．‎ ‎（1）求随机变量的分布列及其数学期望E；‎ ‎（2）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．‎ ‎【解析】（1）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎;;‎ ‎;,‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎,‎ ‎15. 【2017年第一次全国大联考（山东卷）】某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛，已知由1,2,3号三位男性选手和4,5号两位女性选手组成混合组参赛.已知象棋大赛共有三轮，设三位男性选手在一至三轮胜出的概率依次是；两名女性选手在一至三轮胜出的概率依次是.‎ ‎（1）若该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛，每名选手只比赛一局，共五局比赛，求该组两名女性选手的比赛次序恰好不相邻的概率；‎ ‎（2）若一位男性选手因身体不适退出比赛，剩余四人参加个人比赛，比赛结果相互不影响，设表示该组选手在四轮中胜出的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】（1）记两名女性选手比赛次序恰好不相邻为事件A，则五人不同的比赛次序为种，‎ 事件A对应的比赛次序为种，所以.‎ ‎（2）男性选手在三轮中胜出的概率为；两名女性选手在三轮中胜出的概率为.由题意可知男性选手三轮中胜出的人数；‎ 女性选手三轮比赛中胜出的人数，显然. 所以可取.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.. ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以. ‎ 另，.‎