黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题2

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黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题2

1 黑龙江省安达七中 2020 届高三数学上学期寒假考试试题(2) 一、选择题 1.已知集合  1,3,4,5,7,9U  ,  1,4,5A  ,则 U A ð ( ) A. 3,9 B. 7,9 C. 5,7,9 D. 3,7,9 2.已知 i 是虚数单位,复数 1 (2 )im m   在复平面内对应的点在第二象限,则实数 m 的取 值范围是( ) A. , 1  B. 1,2 C. 2, D.   , 1 2,   3.某车间生产 , ,A B C 三种不同型号的产品,产量之比分别为 5 : : 3k ,为检验产品的质量,现 用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本进行检验,已知 B 种型号的产品共抽取了 24 件,则 C 种型号的产品抽取的件数为( ) A.12 B.24 C.36 D.60 4.要得到函数 πcos(2 )4y x  的图象,只需要将函数 cosy x 的图象( ) A.向左平行移动 π 8 个单位长度,横坐标缩短为原来的 1 2 倍,纵坐标不变. B.向左平行移动 π 4 个单位长度,横坐标缩短为原来的 1 2 倍,纵坐标不变. C.向右平行移动 π 8 个单位长度,横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变. D.向右平行移动 π 4 个单位长度,横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变. 5.设直线 ,m n 是两条不同的直线,  , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) 2 A. ,m n m n ∥ ∥ ∥ B. , ,m n m n        C. ,m m   ∥ ∥ ∥ D. ,m m     ∥ 6.已知 4 1 2ln33 3 32 , e , 3a b c   ,则( ) A. c b a  B.b a c  C. c a b  D.b c a  7.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.函数 ln( ) 1 xf x x   的图像大致是( ) A. B. C. D. 9.已知 π(0, )2   ,且 2 23sin 5cos sin 2 0     ,则 sin 2 cos2   ( ) A.1 B. 23 17  C. 23 17  或 1 D.-1 10.如图,在 t ABCR  中, π 2C  , π 6B  , 4AC  ,D 在 AC 上且 : 3:1AD DC  ,当 AED 最 大时, AED 的面积为 ( ) 3 A. 3 2 B.2 C.3 D. 3 3 11.已知函数 ( ) 4 ln 3f x a x x  ,且不等式 ( 1) 4 3exf x ax ≥ ,在 (0, ) 上恒成立,则实数 a 的取值范围( ) A. 3( , )4  B. 3( , ]4  C. ( ,0) D. ( ,0] 二、填空题 12.在等差数列{ }na 中,若 1 = 2a , 2 3+ = 10a a ,则 7 =a __________. 13.若函数 2( ) = xf x x axe - - 在区间 0 +, 单调递增,则 a 的取值范围是_________. 14.在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 ABC 的面积为 4, 4, 8b BA AC    , 则 a=__________. 15.若函数 ( ) af x x ax   - 在区间  0,2 上为减函数,则满足条件的 a 的集合是________. 三、解答题 16.在 ABC 中, , ,a b c 分别为内角 , ,A B C 的对边,且满足 5cos ( )cos3a C b c A  . (1)若 1sin 5C  , 10a c  ,求 c; (2)若 4a  , 5c  ,求 ABC 的面积 S. 17.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,满足 2 2n nS a  . (1)求数列 na 的通项公式; (2)设 (2 1)n nb n a  ,求数列 nb 的前 n 项和 nT . 18.已知函数 3 2 21 3( ) 24 2 af x x x bx a    . (1)若 1b  ,当 0x  时, ( )f x 的图象上任意一点的切线的斜率都非负,求证: 3 3a   ; (2)若 ( )f x 在 2x   时取得极值 0,求 a b . 4 19.手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计职工一天行走步数(单位:百步)得到 如下频率分布直方图: 由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为 125(百步),其中同一组中的 数据用该组区间的中点值为代表. (1)试计算图中的 a、b 值,并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值  ; (2)为鼓励职工积极参与健康步行,该单位制定甲、乙两套激励方案: 记职工个人每日步行数为 ω,其超过平均值  的百分数 ×100ω με μ -= ,若 (0,10]  ,职工获 得一次抽奖机会;若 (10,20]  ,职工获得二次抽奖机会;若 (20,30]  ,职工获得三次抽 奖机会;若 (10,20]  ,职工获得四次抽奖机会;若 超过 50,职工获得五次抽奖机会.设 职工获得抽奖次数为 n. 方案甲:从装有 1 个红球和 2 个白球的口袋中有放回的抽取 n 个小球,抽得红球个数及表示 该职工中奖几次; 方案乙:从装有 6 个红球和 4 个白球的口袋中无放回的抽取 n 个小球,抽得红球个数及表示 该职工中奖几次; 若某职工日步行数为 15700 步,试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列.若是 你,更喜欢哪个方案? 20.已知函数 ( ) lnf x x ax  . (1)讨论 ( )f x 在其定义域内的单调性; (2)若 1a  ,且 1 2( ) ( )f x f x ,其中 1 20 x x  ,求证: 1 2 1 2 3x x x x   . 5 21.如图所示,“8”是在极坐标系 Ox 中分别以 1 π(1, )2C 和 2 3π(2, )2C 为圆心,外切于点 O 的 两个圆.过 O 作两条夹角为 π 3 的射线分别交 1C 于 O、A 两点,交 2C 于 O、B 两点. (1)写出 1C 与 2C 的极坐标方程; (2)求 ΔOAB 面积最大值. 22.已知函数 ( ) 2 ,f x x t t   R , ( ) 3g x x  . (1) x  R ,有 ( ) ( )f x g x ,求实数 t 的取值范围; (2)若不等式 ( ) 0f x  的解集为 1,3 ,正数 a、b 满足 2 2 2ab a b t    ,求 2a b 的最小 值. 四、证明题 23.已知向量    1, , 2, 1m  a b ,且  a b b  ,则实数 m  ( ) A.3 B. 1 2 C. 1 2  D.-3 6 参考答案 1.答案:D 解析: 2.答案:A 解析: 3.答案:C 解析:∵某工厂生产 A. B. C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 5 : : 3k , 现用分层抽样方法抽出一个容量为 120 的样本,A 种型号产品共抽取了 24 件, ∴ 24 120 5 3 k k    ,解得 2k  , ∴C 种型号产品抽取的件数为: 24 3 362   . 4.答案:B 解析: 5.答案:B 解析: 6.答案:D 解析: 4 1 1 1 1 2 1ln3 ln33 3 3 3 3 3 32 16 , 3 , 3 9a b e e c       ∵   1 33 9 16, f x x   在 0, 上单调递增; ∴ 1 1 1 3 3 33 9 16  ∴ b c a  7.答案:C 解析: 8.答案:C 解析: 7 9.答案:A 解析:∵ 2 23sin 5cos sin 2 0     ∴ 2 23sin 5cos 2sin cos 0      ,   3sin 5cos sin cos 0      ,解得 5sin cos3    ,或 sin cos  , ∵ π0, 2      ,∴sin cos  ,解得 π 4   ,则 π πsin 2 cos2 sin cos 12 2      10.答案:C 解析: 11.答案:B 解析: 12.答案:14 解析: 13.答案:  ,2 2ln 2  解析: 14.答案: 2 10 解析: 15.答案: 4 解析: 16.答案:(1)∵ 5cos cos3a C b c A     ∴ 5sin cos sin sin cos3A C B C A     ∴ 5sin cos cos sin sin cos3A C A C B A  ,∴  5 sin cos sin sin3 B A A C B   ∵ sin 0B  ∴ 3cos 5A  ,则 4sin 5A  , 由正弦定理得, sin 4sin a A c C   ,即 4a c , 联立 10a c  ,得 2c  (2)由余弦定理可得, 2 2 2 cos 2 b c aA bc   , 8 即 2 23 5 16 ,5 6 5 55 05 2 5 b b b b      得 11 5 5b  ,则 1 22sin2 5S bc A  解析: 17.答案:(1)∵ 2 2n nS a  ,当 1n  时 1 12 2S a  ∴ 1 2a  当 2n  时 2 2n nS a  , 1 12 2n nS a   两式相减得 12 2n n na a a   ( 2)n  12 2n na a n , ∵ 1 2 0a   ∴ 1 2n n a a   , 2n  ∴ na 是以首项为 2,公比为 2 的等比数列 2n na  (2)由(1)知 (2 1)2n nb n  2 3 11 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nT n n             2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nT n n             两式相减得 2 3 12 2 2 2 2 (2 1) 2n n nT n         ( ) 3 1 1 2 1 12 (1 2 )2 (2 1) 2 2 6 (2 1) 2 (2 3)2 61 2 n n n n n nT n n n                     1(2 3)2 6n nT n    解析: 18.答案:(1) 23( ) 3 1 04f x x ax     23 1 34 x ax   3 1 34 x ax    9 ∵ 3 1 34 x x   ∴ 3 3a  ∴ 3 3a   (2) ( 2) 3 6 0f a b      2( 2) 2 6 2 2 0f a b a       解得 2 1 9 3 a a b b        或 当 1, 3a b  时 23( ) ( 2) 04f x x    ,函数无极值; ∴ 2, 9, 11a b a b    解析: 19.答案:(1) 0.012, 0.010a b  , =125.6μ (2)某职工日行步数 = 157ω (百步), 2× 4ε 157-126.5= 1001 .5 ≈26 ∴职工获得三次抽奖机会 设职工中奖次数为 X 在方案甲下 1(3, )3XB X 0 1 2 3 P 8 27 12 27 6 27 1 27 ( ) 1E X  10 在方案乙下 X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 ( ) 1.8E X  所以更喜欢方案乙 解析: 20.答案:(1) 1 1( ) axf x ax x     [1]当 0a  时, ( ) 0f x  ,则 ( )f x 在区间 0,+( )上单调递增; [2]当 0a  时, 1(0, ), ( ) 0, ( )x f x f xa   在区间 1(0, )a 上单调递增; 1( + ), ( ) 0, ( )x f x f xa   , 在区间 1( + )a , 上单调递减; (2)由(1)得:当 1a  时, ( )f x 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减, ∴ 1 20 1x x   将要证的不等式转化为 1 2 1 3 1 xx x   > ,考虑到此时, 2 1x > , 1 1 3 11 x x   > , 又当 (1, )x  时, ( )f x 递增。故只需证明 1 2 1 3( ) ( )1 xf x f x   > ,即证 1 1 1 3( ) ( )1 xf x f x   > 设 3 3 3( ) ( ) ( ) ln ln( )1 1 1 x x xQ x f x f x xx x x           . 则 2 1 4 4 1 4 1 1( ) 1 [ ]( 1) ( 1)( 3) ( 1) 1 3 xQ x x x x x x x x x              2 2 1 4 2( 1) ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)( 3) ( 3)( 1) x x x x x x x x x x x            . 当 (0,1)x 时, ( ) 0Q x < , ( )Q x 递减.所以,当 (0,1)x 时, ( ) (1) 0Q x Q > . 11 所以 1 1 1 3( ) ( )1 xf x f x   > ,从而命题得证. 解析: 21.答案:(1) 1 : 2sinC    ; 2 : 4sinC     ; (2)由(1)得 (2sin , )A   , ( 4sin( ), )3 3B      ∴ 1 2sin [ 4sin( )]2 3ABCS        33sin(2 )6 2    3 2  解析: 22.答案:(1)由 ( ) ( )f x g x ,得 2 3x t x    恒成立 ∴ 2 3x x t    ,在 x  R 时恒成立 ∴  min2 3x x t    ∵    2 3 2 3 5x x x x        ∴ 5 2 3 5x x      ∴  min2 3 5x x     ∴ 5t   ∴t 的取值范围是  , 5  方法二:根据函数 2 3y x x    的图像,找出 2 3x x   的最小值 5 (2)由 ( ) 2 0f x x t    得 2x t  解得 2 2t x t    ∴ 2 1 2 3 t t      解得 1t  将 1t  带入 2 2 2ab a b t    ,整理得 2 0ab a b   ∴ 2 1 1b a   ∴ 2 1 2 22 ( 2 ) ( ) 5 2 4 5 9a ba b a b b a b a            当且仅当 2 2a b b a  ,即 a b 时取等号 ∴ min( 2 ) 9a b  12 解析: 23.答案:D 解析:
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