数学（文）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班第三次质检（2017

数学（文）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班第三次质检（2017

衡阳八中 2017 届高三年级第三次质检试卷 文科数学（试题卷） 注意事项： 1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。其中共 23 题，满分 150 分， 考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即 向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。 ★预祝考生考试顺利★ 第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分） 本卷共 12 题，每题 5 分，共 60 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。 1.设 U=R，A={x|2x＜2}，B={x|log2x＜0}，则 A∩（∁UB）=（ ） A．∅ B．{x|x≤0} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x ＜1} 2.复数 的共轭复数的虚部是（ ） A． B． C．﹣1 D．1 3.已知{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a3=6，S3=12，则公差 d 等于（ ） A．1 B． C．2 D．3 4.将函数 f（x）= sin（ωx﹣ ）的图象向左移动 之后的图象与原图象的对称中心 重合，则正实数ω的最小值是（ ） A． B． C． D． 5.已知实数 x，y 满足 ，记 z=mx+y，若 z 的最大值为 f（m），则当 m∈[2，4]时， f（m）最大值和最小值之和为（ ） A．4 B．10 C．13 D．14 6.已知 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f（x）=log x．设 a=f（ ），b=f（ ）， c=f（ ） 则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ） A．7 B．9 C．10 D．11 8.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为 A. 2 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 2 9.已知函数 f（x）=x2﹣ ，则函数 y=f（x）的大致图象是（ ） A． B． C． D． 10.球 O 与棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的各个面均相切，如图，用平行于底面的平面截 去长方体 A2B2C2D2﹣A1B1C1D1，得到截面 A2B2C2D2，且 A2A= a，现随机向截面 A2B2C2D2 上撒一 粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为（ ） 1 2 俯视图 正视图 侧视图 1 A． B． C． D． 11.过双曲线 的左焦点 F（﹣c，0），（c＞0），作圆：x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ），则双曲线的离心率 为（ ） A． B． C． D． 12.已知 x∈（0，2），关于 x 的不等式 ＜ 恒成立，则实数 k 的取值范围为 （ ） A．[0，e+1） B．[0，2e﹣1） C．[0，e） D．[0，e﹣1） 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，共 20 分） 13.在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2，点 D 为 AC 中点，点 E 满足 ，则 = ． 14.函数 y=loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上， 其中 m＞0，n＞0，则 + 的最小值为 ． 15.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球 面上，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC 且 AB=BC=1， SA= ，则球 O 的表面积是 ． 16.以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，| |﹣| |=k，则动点 P 的轨迹为双曲线； ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB，O 为坐标原点，若 = （ + ），则动点 P 的 轨迹为椭圆； ③方程 2x2﹣5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 ﹣ =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点． 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三.解答题（共 7 题，共 70 分） 17.（本题满分 12 分） 已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn= （n∈N），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 18.（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD， AB=2AD=2CD=2，E 是 PB 上的点． （Ⅰ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）若 E 是 PB 的中点，若 AE 与平面 ABCD 所成角为 45°，求三棱锥 P﹣ACE 的体积． 19.（本题满分 12 分） 某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调 查研究．全年级共有 1350 人，男女生比例为 8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每 人被抽到的概率均为 ，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下 2x2 列联表： 支持 反对 总计 男生 30 女生 25 总计 （I）完成列联表，并判断能否有 99.9%的把握认为态度与性别有关？ （II）若某班有 6 名男生被抽到，其中 2 人支持，4 人反对；有 4 名女生被抽到，其中 2 人 支持，2 人反对，现从这 10 人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持 一人反对的概率． 参考公式及临界表： K2= P（K2≥k0） 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706% 3.841 6.635 7.879 10.828 20.（本题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．若点 M（x0，y0） 在椭圆 C 上，则点 称为点 M 的一个“椭点”． （I）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点的“椭点”分别为 P，Q， 以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值； 若不为定值，说明理由． 21.（本题满分 12 分） 已知函数      21 1 ln2f x ax a x x a R      ． （1）当 0a  时，求函数  f x 的单调递减区间； （2）当 0a  时，设函数      2 2g x xf x k x    ．若函数  g x 在区间 1 ,2    上有 两个零点，求 实数 k 的取值范围． 选做题 考生请从 22、23 题任选一题作答，共 10 分 22.选修 4-4.坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α为参数），以原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=3 （1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程； （2）设 P1，P2 分别为曲线 C1、C2 上的两个动点，求线段 P1P2 的最小值． 23.选修 4-5.不等式选讲 已知函数 f（x）=|2x﹣a|+a． （1）若不等式 f（x）≤6 的解集为[﹣2，3]，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n，使得 f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数 m 的取值 范围． 衡阳八中 2017 届高三年级第三次质检参考答案文科数学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A D B B C A B C D 13.-2 14.8 15.4π 16.③④ 17. （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴ ，解得 a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn= =n2+2n． （Ⅱ） = = = ， ∴Tn= = = ． 18.证明：（Ⅰ）∵PC⊥平面 ABCD，AC ⊂ 平面 ABCD， ∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=1， ∴AC=BC= ． ∴AC2+BC2=AB2， ∴AC⊥BC． 又 BC ⊂ 平面 PBC，PC ⊂ 平面 PBC，BC∩PC=C， ∴AC⊥平面 PBC， 又∵AC ⊂ 平面 EAC， ∴平面 EAC⊥平面 PBC． 解：（Ⅱ）取 BC 的中点 F，连接 EF，AF， ∵E，F 是 PB， BC 的中点， ∴EF∥PC， 由 PC⊥平面 ABCD， ∴EF⊥平面 ABCD． ∴∠EAF 为 AE 与平面 ABCD 所成角．即∠EAF=45°． ∵AF= = ， ∴EF=AF= ． ∵E 是 PB 的中点， ∴VP﹣ACE=VE﹣ABC= = = ． 19. （Ⅰ）列联表如下： 支持 反对 总计 男生 30 50 80 女生 45 25 70 总计 75 75 150 计算得 K2= ≈10.714＜10.828， 所以没有 99.9%的把握认为态度与性别有关． （Ⅱ）随机抽取一男一女所有可能的情况有 24 种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况 有 2×2+4×212 种，所以概率为 P= ． 20. （I）由题意知 e= = ，a2﹣b2=c2， 即 又 ， 可得 a2=4，b2=3， 即有椭圆的方程为 + =1； （II）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ， 由于以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，所以 ，即 ， 由 得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0， △=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为 3+4k2﹣m2＞0． x1+x2=﹣ ，x1x2= ， y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 =k2• +km（﹣ ）+m2= ， 代入 ，即 ， 得： ，2m2﹣4k2=3， ， O 到直线 l 的距离为 ， △ABO 的面积为 ， 把 2m2﹣4k2=3 代入上式得 21. ②当 1a  时，恒有   0f x  ， ∴  f x 的单调递减区间为 0, ． ③当  1,a  时， 1 1a  ，由   0f x  ，得 1x  或 1x a  ． ∴当  10, , 1,x xa       时，  f x 单调递减． ∴  f x 的单调递减区间为  10, , 1,a      ． 综上，当  0,1a 时，  f x 的单调递减区间为  10,1 , ,a     ； 当 1a  时，  f x 的单调递减区间为 0, ； 当  1,a  时，  f x 的单调递减区间为  10, , 1,a      ． 当  1,x  时，有   0p x  ，即   0h x  ，∴  h x 单调递增． ∵  1 9 ln 2 , 1 12 10 5h h       ，   102 10ln 2 102 10 23 110 12 12 3 2h h          ， ∴ k 的取值范围为 9 ln 21,10 5     ． 22. （1）∵曲线 C1 的参数方程为 （α为参数），∴cosα= ，sinα= ， ∵cos2α+sin2α=1，∴ + =1．即曲线 C1 的普通方程为 + =1． ∵曲线 C2 的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=3 ，即 ρsinθ+ ρcosθ=3 ， ∴ρsinθ+ρcosθ=6， ∵ρsinθ=y，ρcosθ=x， ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x+y﹣6=0． （2）设 P1（2cosα， sinα），则 P1 到直线 C2 的距离 d= = ， ∴当 sin（θ+φ）=1 时，d 取得最小值 =3 ﹣ ． ∴线段 P1P2 的最小值为 3 ﹣ ． 23. （1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a， ∴ ， 解得 a﹣3≤x≤3． 再根据不等式 f（x）≤6 的解集为[﹣2，3]，可得 a﹣3=﹣2， ∴a=1． （2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n）， ∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1）， ∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m， ∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2= ， ∴ymin=4， 由存在实数 n，使得 f（n）≤m﹣f（﹣n）成立， ∴m≥4，即 m 的范围是[4，+∞）．