2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（理）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ）
A.π4 B.π2 C.π D.2π
2. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点．那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
3. 函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是（ ）
A.y=(x+1)3(x≥-1) B.y=-(x+1)3(x≥-1)
C.y=(x+1)3(x≥0) D.y=-(x+1)3(x≥0)
4. 已知函数y=tanωx在(-π2，π2)上是减函数，则（ ）
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1
5. 设a、b、c、d∈R，若a+bic+di为实数，则（ ）
A.bc+ad≠0 B.bc-ad≠0 C.bc-ad=0 D.bc+ad=0
6. 已知双曲线x26-y23=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（ ）
A.365 B.566 C.65 D.56
7. 锐角三角形的内角A、B满足tanA-1sin2A=tanB，则有（ ）
A.sin2A-cosB=0 B.sin2A+cosB=0 C.sin2A-sinB=0 D.sin2A+sinB=0
8. 已知点A(3, 1)，B(0, 0)C(3, 0)．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC→=λCE→，其中λ等于（ ）
A.2 B.12 C.-3 D.-13
9. 已知集合M={x|-4≤x≤7}，N={x|x2-x-6>0}，则M∩N为（ ）
A.{x|-4≤x<-2或3
3} D.{x|x<-2或x≥3}
10. 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v→=(4, -3)（即点P的运动方向与v→相同，且每秒移动的距离为|v→|个单位．设开始时点P的坐标为(-10, 10)，则5秒后点P的坐标为（ ）
A.(-2, 4) B.(-30, 25) C.(10, -5) D.(5, -10)
11. 如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ）
A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5 C.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5
12. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )
A.3+263 B.2+263 C.4+263 D.43+263
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 圆心为(1, 2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为________．
14. 设a为第四象限的角，若sin3asina=135，则tan2a=________．
15. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．
16. 下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题，17~20、22每题12分，21题14分，满分74分）
17. 设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|，求使f(x)≥22的取值范围．
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18. 已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn=1a2n，n=1，2，3，…．
(I)证明{bn}为等比数列；
(II)如果无穷等比数列{bn}各项的和S=13，求数列{an}的首项a1和公差d．
（注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限）
19. 一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经验，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数（不计甲负乙的局数），求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）．
20. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．
（1）求证：EF⊥面PAB；
（2）若AB=2BC，求AC与面AEF所成的角．
21. P，Q，M，N四点都在椭圆x2+y22=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF→与FQ→共线，MF→与FN→共线，且PF→⋅MF→=0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
22. 已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)ex．
(I)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
(II)设f(x)在[-1, 1]上是单调函数，求a的取值范围．
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参考答案与试题解析
2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.D
3.B
4.B
5.C
6.C
7.A
8.C
9.A
10.C
11.B
12.C
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.(x-1)2+(y-2)2=4
14.-34
15.192
16.①，④
三、解答题（共6小题，17~20、22每题12分，21题14分，满分74分）
17.解：由于y=2x是增函数，f(x)≥22等价于|x+1|-|x-1|≥32①
(1)当x≥1时，|x+1|-|x-1|=2，∴ ①式恒成立．
(2)当-10，则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,12，12)，EF→=(0,12,12)，PB→=(2a,1,-1)，AB→=(2a,0,0)，EF→⋅PB→=0，∴ EF⊥PB，AB→⋅EF→=0，∴ AB⊥EF
又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB=B，∴ EF⊥⊂平面PAB
（2）解：由AB=2BC，得a=22，
可得AC→=(2,-1,0)，PB→=(2,1,-1)
cos⟨AC→，PB→>=|AC→|⋅|PB→|˙=36，
则异面直线AC，PB所成的角为arccos36，
AF→=(22,-12,12)，∴ AF→⋅PB→=0，AF⊥PB，
又PB⊥EF，AF为平面AEF内两条相交直线，
∴ PB⊥平面AEF，∴ AC与平面AEF所成的角为π2-arccos36(=arcsin36)，
即AC与平面AEF所成的角为arcsin36．
21.解：∵ PF→⋅MF→=0⇒PF→⊥MF→．即MN⊥PQ．
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当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵ F(0, 1)
∴ MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0
分别代入椭圆x2+y22=1中得：|MN|=2，|PQ|=22．
S四边形PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×2×22=2
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，
设MN的方程为y=kx+1(k≠0)，
代入椭圆x2+y22=1中得：(k2+2)x2+2kx-1=0，
∴ x1+x2=-2kk2+2，x1⋅x2=-1k2+2
∴ |MN|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[(2kk2+2)2+4k2+2]=22(1+k2)k2+2
同理可得：|PQ|=22(1+k2)2k2+1，
S四边形PMQN=12|MN|⋅|PQ|=2×2k4+4k2+22k4+5k2+2=2(1-k22k4+5k2+2)=2(1-12(k2+1/k2)+5)≥169
（当且仅当k2=1k2即k=±1时，取等号）．
又S四边形PMQN=2(1-k22k4+5k2+2)<2，∴ 此时169≤S四边形PMQN<2．
综上可知：(S四边形PMQN)max=2，(S四边形PMQN)min=169．
22.解：(1)令f'(x)=0即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0∴ x2-2(a-1)x-2a=0
∵ △=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0∴ x1=a-1-a2+1，x2=a-1+a2-1
又∵ 当x∈(-∞, a-1-a2+1)时，f'(x)>0；
当x∈(a-1-a2+1, a-1+a2+1)时，f'(x)<0；
当x∈(a-1+a2+1, +∞)时，f'(x)>0．
列表如下：
x
(-∞, a-1-a2+1)
a-1-a2+1
(a-1-a2+1, a-1+a2+1)
a-1+a2+1
(a-1+a2+1, +∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴ x1，x2分别为f(x)的极大值与极小值点．
又∵ limx→-∞f(x)=0；当x→+∞时，f(x)→+∞．
而f(a-1+a2+1)=2(1-a2+1)ea-1+a2+1<0．
∴ 当x=a-1+a2+1时，f(x)取得最小值．
(2)f(x)在[-1, 1]上单调，则f'(x)≥0（或≤0）在[-1, 1]上恒成立．
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而f'(x)=[x2-2(a-1)x-2a]ex，令g(x)=x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1)．
∴ f'(x)≥0（或≤0）即g(x)≥0（或≤0）．
当g(x)≥0在[-1, 1]上恒成立时，有
①当-1≤a-1≤1即0≤a≤2时，g(x)min=g(a-1)=-(a2+1)≥0（舍）；
②当a-1>1即a≥2时，g(x)min=g(1)=3-4a≥0∴ a≤34（舍）．
当g(x)≤0在[-1, 1]上恒成立时，有
①当-1≤a-1≤0即0≤a≤1时，g(x)max=g(1)=3-4a≤0，∴ 34≤a≤1；
②当02时，g(x)max=g(-1)=-1≤0，∴ a>2．
故a∈[34, +∞)．
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