数学高考试题——全国卷文解析版

数学高考试题——全国卷文解析版

‎2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析 科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文科)‎ 知识点检索号 新课标 题目及解析 ‎1‎ ‎（1）设集合,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求,‎ 进而求出其补集为.‎ ‎【精讲精析】选D. .‎ ‎4‎ ‎（2）函数的反函数为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。‎ ‎【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的反函数为.‎ ‎20‎ ‎（3）设向量满足,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.‎ ‎【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。‎ ‎29‎ ‎（4）若变量x，y满足约束条件，则的最小值为 ‎（A）17 （B）14 （C）5 （D）3‎ ‎【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。‎ ‎【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5. ‎ ‎24‎ ‎（5）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.‎ ‎【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。‎ ‎11‎ ‎（6）设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：‎ 利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。‎ ‎【精讲精析】选D.‎ ‎19‎ ‎（7）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。‎ ‎【精讲精析】选C. 由题,解得，令，即得.‎ ‎40‎ ‎(8) 已知直二面角，点A∈，,C为垂足，点B∈β，,D为垂足.若AB=2，AC=BD=1，则CD=‎ ‎ （A） 2 （B） （C） （D）1‎ ‎【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。‎ ‎【精讲精析】选C. 在平面内过C作，连接BM，则四边形CMBD是平行四边形，因为，所以，又,就是二面角 的平面角。.‎ 所以代入后不难求出。‎ ‎45‎ ‎(9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 ‎(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 ‎【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2人选修课程甲，第二步再把剩余两人分别选乙、丙.‎ ‎【精讲精析】选A.第一步选出2人选修课程甲有种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有种选法，根据分步计数原理，有种选法。‎ ‎6‎ ‎(10)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=‎ ‎ (A) - (B) (C) (D)‎ ‎【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间[0,1]上进行求值。‎ ‎【精讲精析】选A.‎ 先利用周期性，再利用奇偶性得: .‎ ‎42‎ ‎(11)设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=‎ ‎ (A)4 (B) (C)8 (D) ‎ ‎【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x上并且在第一象限是解决这个问题的关键。‎ ‎【精讲精析】选D.由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a>0),则,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由两点间的距离公式可求出.‎ ‎42‎ ‎(12)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。‎ ‎【精讲精析】选B.‎ 作示意图如，由圆M的面积为4，易得，‎ 中，。‎ 故.‎ ‎45‎ ‎(13)(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .‎ ‎【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.‎ ‎【精讲精析】0. 由得的系数为, x9的系数为,而.‎ ‎17‎ ‎(14)已知a∈(，)，tanα=2，则cosα= .‎ ‎【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。‎ ‎【精讲精析】 由a∈(，)，tanα=2得.‎ ‎39‎ ‎（15）已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E为C1D1‎ 的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .‎ ‎【思路点拨】找出异面直线AE与BC所成的角是解本题的关键。只要在平面A1B‎1C1D1内过E作及B‎1C1的平行线即可。‎ ‎【精讲精析】 取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则就是异面直线AE与BC所成的角。在中，。‎ ‎33‎ ‎(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .‎ ‎【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。‎ ‎【精讲精析】6.‎ 由角平分线定理得：,故.‎ ‎12‎ ‎(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 设等比数列的前n项和为,已知求和.‎ ‎【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。‎ ‎【精讲精析】设的公比为q,由题设得 解得或，‎ 当时，‎ 当时，.‎ ‎21‎ ‎（18）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知 ‎.‎ ‎ (Ⅰ)求B；‎ ‎（Ⅱ）若.‎ ‎【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。‎ ‎（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。‎ ‎【精讲精析】(I)由正弦定理得 由余弦定理得。‎ 故，因此。‎ ‎（II）‎ 故 ‎.‎ ‎46‎ ‎(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.‎ ‎ (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎ （Ⅱ）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.‎ ‎【思路点拨】此题第（I）问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。‎ ‎(II)第（II）问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n次独立重复试验发生k次的概率计算公式求解即可.‎ ‎【精讲精析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：‎ B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。‎ C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；‎ D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；‎ E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。‎ ‎（I）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.‎ ‎(II)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,‎ P(E)=.‎ ‎39‎ ‎(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形. . ‎ (I) 证明：‎ (II) 求AB与平面SBC所成角的大小。‎ ‎【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。‎ ‎(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。‎ ‎【精讲精析】证明：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。‎ 连结SE，则 又SD=1，故 所以为直角。‎ 由，得 ‎,所以.‎ SD与两条相交直线AB、SE都垂直。‎ 所以 ‎（II）由知，‎ 作，垂足为F，则,‎ 作，垂足为G，则FG=DC=1。‎ 连结SG，则 又，,故，‎ 作，H为垂足，则.‎ 即F到平面SBC的距离为。‎ 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也为。‎ 设AB与平面SBC所成的角为，则,.‎ 解法二：‎ 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）。‎ 又设S（x,y,z），则x>0,y>0,z>0.‎ ‎(I)‎ 由得 故x=1.‎ 由得，‎ 又由得，‎ 即，故。‎ 于是，‎ 故，又 所以.‎ ‎（II）设平面SBC的法向量，‎ 则 又 故 取得，又 ‎.‎ 故AB与平面SBC所成的角为.‎ ‎53‎ ‎（21）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)证明：曲线 ‎（Ⅱ）若求a的取值范围。‎ ‎【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。‎ ‎(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.‎ ‎【精讲精析】解：（I）.‎ 由得曲线在x=0处的切线方程为 由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）。‎ ‎（II）由得 ‎（i）当时，没有极小值；‎ ‎(ii)当或时，由得 故。由题设知，‎ 当时，不等式无解；‎ 当时，解不等式得 综合(i)(ii)得的取值范围是。‎ ‎35‎ ‎（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎(Ⅰ)证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。‎ 思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.‎ ‎【精讲精析】 (I)设 直线，与联立得 由得 ‎,‎ 所以点P在C上。‎ ‎（II）法一：‎ 同理 所以互补，‎ 因此A、P、B、Q四点在同一圆上。‎ 法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为…①‎ 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为…②‎ 由①②得、的交点为 ‎,‎ ‎,,‎ 故.‎ 所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.‎ ‎ ‎