高中数学必修1教案:第五章(第15课时)正弦定理、余弦定理(3)

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高中数学必修1教案:第五章(第15课时)正弦定理、余弦定理(3)

课 题:正弦定理、余弦定理(3)‎ 教学目的:‎ ‎1进一步熟悉正、余弦定理内容; ‎2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化; ‎3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状; ‎4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式 ‎1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等; ‎2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角互换作用 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ 正弦定理:‎ 余弦定理:‎ ‎ ,‎ 二、讲授新课:‎ ‎1正余弦定理的边角互换功能 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决 例1已知a、b为△ABC的边,A、B分别是a、b的对角,且,求的值 解:∵(这是角的关系),‎ ‎∴ (这是边的关系)于是,由合比定理得 例2已知△ABC中,三边a、b、c所对的角分别是A、B、C,且a、b、c成等差数列 求证:sinA+sinC=2sinB 证明:∵a、b、c成等差数列,‎ ‎∴a+c=2b(这是边的关系)① 又②‎ ‎③‎ 将②、③代入①,得整理得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系)‎ ‎2正、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:‎ 例3求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值 解:原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°‎ ‎∵20°+10°+150°=180°, ‎∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 设这三个内角所对的边依次是a、b、c,由余弦定理得:a2+b2-2abcos150°=c2(※) 而由正弦定理知:a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代入(※)式得:‎ sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=‎ ‎∴原式=‎ 例4在△ABC中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长() 分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα,可继续利用余弦定理建立关于边长的方程,从而达到求边长的目的 解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N*,又设最小角为α,则 ‎ ,①‎ 又由余弦定理可得x2=(x+1)2+(x+2)2-2(x+1)(x+2)cosα 将①代入②整理得:x2-3x-4=0 解之得x1=4,x2=-1(舍) 所以此三角形三边长为4,5,6 评述: 此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方程 例5已知三角形的一个角为60°,面积为10cm2,周长为20cm,求此三角形的各边长 分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦,其二可用面积公式S△ABC=absinC表示面积,其三是周长条件应用 解:设三角形的三边长分别为a、b、c,B=60°,则依题意得 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎ ‎ 由①式得:b2=[20-(a+c)]2=400+a2+c2+2ac-40(a+c) ④ 将②代入④得400+3ac-40(a+c)=0 再将③代入得a+c=13 由 ∴b1=7,b2=7 所以,此三角形三边长分别为5cm,7cm,8cm 评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形式的面积公式的应用 ‎(2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路,以提高自己的解方程及运算能力 三、课堂练习:‎ ‎1在△ABC中,已知B=30°,b=50,c=150,那么这个三角形是( ) A等边三角形B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形 ‎2在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则此三角形为( ) A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形 ‎3在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则secA=  ‎4△ABC中,,则三角形为  ‎5在△ABC中,角A、B均为锐角且cosA>sinB,则△ABC是 6已知△ABC中,,试判断△ABC的形状 ‎7在△ABC中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ABC的形状 参考答案:1D 2A 3 8 4等腰三角形5钝角三角形 ‎ ‎6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形 四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断 五、课后作业: ‎1在△ABC中,已知,求证:a2,b2,c2成等差数列 证明:由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)·sin(A-B) cos2B-cos2C=cos2A-cos2B2cos2B=cos2A+cos2C ‎ ∴2sin2B=sin2A+sin2C 由正弦定理可得2b2=a2+c2, 即a2,b2,c2成等差数列 ‎2在△ABC中,A=30°,cosB=2sinB-sinC ‎(1)求证:△ABC为等腰三角形;(提示B=C=75°) ‎(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点,且AB=2,求AD∶DC的值 答案:(1)略 (2)1∶‎ 六、板书设计(略)‎ 七、课后记: ‎
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