高中数学必修1教案：第四章（第1课时）角的概念推广1

高中数学必修1教案：第四章（第1课时）角的概念推广1

课 题：4.1 角的概念推广（一）‎ 教学目的：‎ ‎1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 ‎2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法 ‎3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；‎ 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示.‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：    本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的. 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．复习：初中是如何定义角的？‎ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”‎ ‎2．生活中很多实例会不在改范围 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？‎ 这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）‎ 二、讲解新课： ‎ ‎1．角的概念的推广 ‎⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．‎ 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”‎ ‎⑵．“正角”与“负角”“0角”‎ 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， ‎ ‎ ‎ 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成 ‎⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 ‎1° 角有正负之分 如：a=210° b=-150° g=660° ‎2° 角可以任意大 ‎ 实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）‎ ‎3° 还有零角 一条射线，没有旋转 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．‎ ‎2．“象限角”‎ 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）‎ 例如：30°、390°、-330°是第Ⅰ象限角，300°、-60°是第Ⅳ象限角，585°、1180°是第Ⅲ象限角，-2000°是第Ⅱ象限角等 ‎3．终边相同的角 ‎ ‎⑴观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同 ‎⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和：‎ ‎ 390°=30°+360° ‎ ‎ -330°=30°-360° ‎ ‎ 30°=30°+0×360° ‎ ‎ 1470°=30°+4×360° ‎ ‎ -1770°=30°-5×360° ‎ ‎⑶结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：‎ ‎ ‎ 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和 ‎⑷注意以下四点：‎ ‎(1) ‎ ‎(2) a是任意角；‎ ‎(3)与a之间是“+”号，‎ 如-30°，应看成+(-30°)；‎ ‎(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．‎ 三、讲解范例：‎ 例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 解：⑴∵-120º=-360º+240º，‎ ‎∴240º的角与-140º的角终边相同，它是第三象限角．‎ ‎⑵∵640º=360º+280º，‎ ‎∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．‎ ‎⑶∵-950º12’=-3360º+129º48’，‎ ‎∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角．‎ 例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来： ‎ 解：(1) ‎ S中在-360°～720间的角是 ‎-1×360°+60°=-280°；‎ ‎0×360°+60°=60°；‎ ‎1×360°+60°=420°．‎ ‎(2) ‎ S中在-360°～720间的角是 ‎0×360°-21°=-21°；‎ ‎1×360°-21°=339°；‎ ‎2×360°-21°=699°．‎ ‎(3) ‎ S中在-360°～720°间的角是 ‎-2×360°+363º14’=-356º46’；‎ ‎-1×360°+363º14’=3º14’；‎ ‎0×360°+363º14’=363º14’．‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？‎ ‎(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)‎ 总结有关角的集合表示．‎ 锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，‎ ‎0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；‎ 小于90°角：{θ|θ＜90°}．‎ ‎2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？‎ ‎(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．‎ ‎(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) ‎ ‎ ‎ 五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义. 六、课后作业：‎ ‎1.下列命题中正确的是( )‎ A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 ‎ B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 ‎ D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同 ‎2.与120°角终边相同的角是( )‎ A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ C.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ ‎3.若角α与β终边相同，则一定有( )‎ A.α＋β＝180° B.α＋β＝0° ‎ C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z ‎4.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .‎ ‎5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .‎ ‎6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).‎ ‎7.在直角坐标系中，作出下列各角 ‎(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°‎ ‎8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．‎ 求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.‎ ‎ 9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.‎ ‎(1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′‎ ‎(4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900°‎ 参考答案：1.D 2.A 3.C 4.40° 320° 5.三 六 6.－120°－1440°‎ ‎7. ‎ ‎ ‎ ‎8.A∩B＝A A∪C＝C C∩D＝｛α｜k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k≤0＝‎ A∪D＝D ‎9.(1)∵560°24′＝200°24′＋360°‎ ‎∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限 ‎(2)∵－560°24′＝159°36′＋(－2)·360°‎ ‎∴－560°24′与159°36′终边相同在第二象限 ‎(3)∵2903°15′＝23°15′＋8·360°‎ ‎∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限 ‎(4)∵－2903°15′＝336°45′＋(－9)·360°‎ ‎∴－2903°15′与336°45′终边相同在第四象限 ‎(5)∵3900°＝300°＋10·360°‎ ‎∴3900°与300°终边相同在第四象限 ‎(6)∵－3900°＝60°＋(－11)·360°‎ ‎∴－3900°与60°终边相同在第一象限 七、板书设计（略）‎ 八、课后记： ‎