高考数学专题复习：课时达标检测（二十四） 正弦定理和余弦定理
课时达标检测（二十四） 正弦定理和余弦定理
[练基础小题——强化运算能力]
1．在△ABC中，若＝，则B的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝( )
A．3 B．5 C．7 D．15
解析：选C 由S△ABC＝得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B
1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B. C. D.
解析：选B 由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，
故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，
又A＝＝B，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
5．(2017·渭南模拟)在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，则A＝( )
A. B. C. D.
解析：选A 因为＝2，故＝2，即c＝2b，则cos A＝＝＝＝，所以A＝.
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( )
A. B. C. D.
解析：选C 根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，故B＝.
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b＝________.
解析：因为cos A＝，所以sin A＝＝＝，所以sin C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45°＋sin 45°＝.由正弦定理＝，得b＝×sin 45°＝.
答案：
8．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．
解析：由面积公式，得S＝bcsin A，代入数据得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.
答案：2
9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴＝＝2··cos A＝2××＝2××＝1.
答案：1
10．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠ADB＝.
由题意知0°<∠ADB<60°，
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.
∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.
答案：
三、解答题
11．(2017·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．
解：(1)∵asin B＝－bsin，
∴由正弦定理得sin Asin B＝－sin Bsin，则sin A＝－sin，即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵A＝，∴sin A＝，
由S＝bcsin A＝bc＝c2，得b＝c，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，
由正弦定理得sin C＝＝.
12．(2017·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2cos2C－sin2C，化简得sin A＝，故A＝或.
(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，
所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.
因为b≥a，所以≤B＜，≤B－＜，
所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2).
