高考数学专题复习练习：8-9 专项基础训练

高考数学专题复习练习：8-9 专项基础训练

‎ 1．(2016·四川)如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．‎ ‎【解析】 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．‎ 延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：‎ 由已知，BC∥ED，且BC＝ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形．‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE，‎ ‎(2)方法一 由(1)及已知，CD⊥PA，PA⊥AB，CD⊥AD，PA∩AD＝A，AB∩CD＝M，所以CD⊥平面PAD，PA⊥平面ABCD.‎ 从而CD⊥PD，PA⊥AD.‎ 所以∠PDA是二面角PCDA的平面角．‎ 所以∠PDA＝45°.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.‎ 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过点A作AQ⊥PH于点Q，则AQ⊥平面PCE.‎ 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．‎ 在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝.‎ 在Rt△PAH中，PH＝＝，‎ 所以sin∠APH＝＝.‎ 方法二 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.‎ 从而∠PDA是二面角PCDA的平面角．‎ 所以∠PDA＝45°.‎ 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，‎ 所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2)．‎ 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 取x＝2，得n＝(2，－2，1)．‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则sin α＝＝＝.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎2．(2017·长春模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．‎ ‎(1)求证：直线AF∥平面PEC；‎ ‎(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值．‎ ‎【解析】 (1)证明 如图，作FM∥CD交PC于M，连接ME.‎ ‎∵点F为PD的中点，‎ ‎∴FM＝CD.‎ ‎∴AE＝AB＝FM，‎ ‎∴AEMF为平行四边形，‎ ‎∴AF∥EM.‎ ‎∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，‎ ‎∴直线AF∥平面PEC.‎ ‎ (2)连接DE，∵∠DAB＝60°，‎ ‎∴DE⊥DC.‎ 如图所示，建立坐标系，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，E，A，B，‎ ‎∴＝，＝(0，1，0)．‎ 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)．‎ ‎∵n·＝0，n·＝0，‎ ‎∴ 取x＝1，则z＝，∴平面PAB的一个法向量为n＝.‎ ‎∵＝(0，1，－1)，设向量n与所成的角为θ，‎ ‎∴cos θ＝＝＝－，‎ ‎∴PC与平面PAB所成角的正弦值为.‎ ‎3．(2017·兰州模拟)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.‎ ‎(1)求证：AD1⊥BC；‎ ‎(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．‎ ‎【解析】 (1)证明 连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，‎ ‎∴D1C⊥BC.‎ 在等腰梯形ABCD中，连接AC，‎ ‎∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴BC⊥AC，‎ ‎∴BC⊥平面AD1C，∴AD1⊥BC.‎ ‎(2)方法一 ∵AB∥CD，∴∠D1DC＝，‎ ‎∵CD＝1，∴D1C＝.‎ 在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D1M，则D1M⊥AB，‎ ‎∴∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角．‎ 在Rt△D1CM中，CM＝，D1C＝，‎ ‎∴D1M＝＝，∴cos∠D1MC＝，‎ 即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.‎ 方法二 由(1)知AC，BC，D1C两两垂直，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠D1DC＝，‎ ‎∵CD＝1，∴D1C＝.‎ 在等腰梯形ABCD中，∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，‎ ‎∴AC＝，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，)，‎ 设平面ABC1D1的法向量n＝(x，y，z)，‎ 由得 可得平面ABC1D1的一个法向量n＝(1，，1)．‎ 又＝(0，0，)为平面ABCD的一个法向量，‎ 因此cos〈，n〉＝＝，‎ ‎∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.‎ ‎4．(2016·浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.‎ ‎(1)求证：BF⊥平面ACFD；‎ ‎(2)求二面角BADF的平面角的余弦值．‎ ‎【解析】 (1)证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．‎ 因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK.因此，BF⊥AC.‎ 又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又AC∩CK＝C，‎ 所以BF⊥平面ACFD.‎ ‎(2)方法一 过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.‎ 因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.‎ 所以∠BQF是二面角BADF的平面角．‎ 在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，‎ 得FQ＝.‎ 在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，得 QB＝，cos∠BQF＝.‎ 所以二面角BADF的平面角的余弦值为.‎ 方法二 如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形．‎ 取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC.‎ 又因为平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.‎ 以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.‎ 由题意得B(1，0，0)，C(－1，0，0)，K(0，0，)，A(－1，－3，0)，E，F.因此＝(0，3，0)，＝(1，3，)，＝(2，3，0)．‎ 设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2)．‎ 由得 取m＝(，0，－1)；‎ 由得取n＝(3，－2，)．‎ 于是cos〈m，n〉＝＝.‎ 所以二面角BADF的平面角的余弦值为.‎ ‎5．(2017·山西模拟)如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.‎ ‎(1)求证：平面FBC⊥平面ACFE；‎ ‎(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)证明 在四边形ABCD中，‎ ‎∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，∴AB＝2，‎ ‎∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝3，‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC.‎ ‎∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.‎ 又因为BC⊂平面FBC，所以平面FBC⊥平面ACFE.‎ ‎ (2)由(1)知可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系Cxyz，令FM＝λ(0≤λ≤)，‎ 则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，‎ ‎∴＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1)．‎ 设n1＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，‎ 由得 取x＝1，则n1＝(1，，－λ)．‎ ‎∵n2＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，‎ ‎∴cos θ＝＝ ‎＝.‎ ‎∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cos θ有最小值，‎ 当λ＝时，cos θ有最大值，∴cos θ∈.‎ ‎6．(2017·浙江十校联合体联考)如图(1)所示，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，AD＝6，DC＝BC＝3.过点B作BE⊥AD于点E，P是线段DE上的一个动点．将△ABE沿BE向上折起，使平面AEB⊥平面BCDE.连接PA，PC，AC(如图(2))．‎ ‎(1)取线段AC的中点Q，问：是否存在点P，使得PQ∥平面AEB？若存在，求出PD的长；若不存在，说明理由．‎ ‎(2)当EP＝ED时，求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【解析】 (1)存在．当P为DE的中点时，满足PQ∥平面AEB.取AB的中点M，连接EM，QM.‎ 由Q为AC的中点，得MQ∥BC，且MQ＝BC.‎ 又PE∥BC，且PE＝BC，所以PE∥MQ，PE＝MQ，所以四边形PEMQ为平行四边形，故ME∥PQ.‎ 又PQ⊄平面AEB，ME⊂平面AEB，所以PQ∥平面AEB.‎ 从而存在点P，使得PQ∥平面AEB，此时PD＝.‎ ‎(2)由平面AEB⊥平面BCDE，交线为BE，且AE⊥BE，所以AE⊥平面BCDE.又BE⊥DE，所以以E为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，则E(0，0，0)，B(3，0，0)，A(0，0，3)，P(0，2，0)，C(3，3，0)，‎ 所以＝(3，1，0)，＝(0，－2，3)．‎ 平面AEB的一个法向量为n1＝(0，1，0)．‎ 设平面APC的法向量为n2＝(x，y，z)，‎ 由得取y＝3，得n2＝(－1，3，2)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，即平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为.‎