2019年高考数学练习题汇总高考填空题分项练6 函数与导数
高考填空题分项练6 函数与导数
1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 －2
解析 ∵y＝＝1＋，∴y′＝－.
∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
2．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
答案 4
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
所以f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
3．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f′(x)＝，且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立，∴a≤.
当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．
∴a<.
4．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为________．
答案 0
解析 令f(x)＝＋ln x，x∈，
则f′(x)＝，
当x∈时，f′(x)<0，当x∈[1,2]时，f′(x)≥0，
∴f(x)在上单调递减，在[1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a的最大值为0.
5．若函数f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m为常数，且m>0)有极大值9，则m的值是________．
答案 2
解析 由f′(x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m)＝0，得x＝－m或x＝m，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m
m
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9，解得m＝2.
6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．
当a>0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f(x)单调递减，
所以当0<<1，即0
0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．
对于①式，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．
经验证，②③④均不符合题意．
8．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是_____．
答案 －
解析 ∵f′(x)＝3x2－3x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
∴在[－1,1]上，当x∈[－1,0)时，f′(x)>0，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
∴x＝0是f(x)的极大值点，也是最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝a＝2，
∴f(x)＝x3－x2＋2.
又f(－1)＝－，f(1)＝，
∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－.
9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2,2)
解析 令f(x)＝0，得a＝3x－x3，
于是y＝a和y＝3x－x3应有3个不同交点，
令y＝g(x)＝3x－x3，则g′(x)＝3－3x2.
由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1，
∴g(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，
∴当x＝－1时，g(x)取得极小值－2，当x＝1时，g(x)取得极大值2.
画出y＝3x－x3的图象如图，若y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，则－20，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为
a≥－.
设g(x)＝－，x∈(0,1]，则g′(x)＝.
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；
当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.所以a＝4.
11．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________千米/时．
答案 20
解析 设航速为v千米/时(0≤v≤30)，每小时的燃料费为m元，则m＝kv3，
∵当v＝10时，m＝25，代入上式，得k＝，
则总费用y＝·m＋×400＝20v2＋，
∴y′＝40v－.令y′＝0，得v＝20.
经判断知当v＝20时，y最小．
12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．
答案 ②③
解析 方法一 由f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，
得f′(x)＝3x2－12x＋9.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.
当x<1时，f′(x)>0；
当13时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)有极大值，
当x＝3时，f(x)有极小值．
∵函数f(x)有三个零点，
∴f(1)>0，f(3)<0，
且a<10，得a>0，因此f(0)0.
故正确结论的序号是②③.
方法二 由题设知f(x)＝0有3个不同零点．如图所示．
设g(x)＝x3－6x2＋9x，
∴f(x)＝g(x)－abc，f(x)有3个零点，需将g(x)的图象向下平移至如图所示位置．
观察图象可知，f(0)f(1)<0且f(0)f(3)>0.
故②③正确．
13．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．
14．(2018·苏州模拟)如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi－2|f(xi)＝1(i＝1,2,3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质 Ω，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由题意知，若f(x)具有性质Ω，则在定义域内|x－2|f(x)＝1有3个不同的实数根，
∵ f(x)＝aex，∴ ＝|x－2|·ex，
即方程＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根．
设g(x)＝|x－2|·ex＝
当x≥2时，g′(x)＝(x－1)·ex>0，即g(x)在[2，＋∞)上单调递增；
当x<2时，g′(x)＝(1－x)·ex，g(x)>0，
∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又∵ g(1)＝e，g(2)＝0，
∴方程＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根即函数g(x)与y＝的图象有3个交点．
∴0<.
