【数学】2018届一轮复习人教A版 正弦定理和余弦定理 学案
第6讲 正弦定理和余弦定理
最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B. C.2 D.3
解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.
答案 D
3.(2017·湖州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝( )
A.－ B.
C.－ D.
解析 由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos＝，故选B.
答案 B
4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B.
C.2 D.2
解析 因为S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，
所以BC＝.
答案 B
5.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
6.(2017·绍兴调研)已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则角B＝________，AC＝________.
解析 ∵钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，
∴＝×1××sin B，解得sin B＝，∴B＝或，
∵当B＝时，由余弦定理可得
AC＝
＝＝1，
此时，AB2＋AC2＝BC2，可得A＝，此△ABC为直角三角形，与已知矛盾，舍去.
∴B＝，由余弦定理可得AC＝
＝＝.
答案
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A.1个 B.2个
C.0个 D.无法确定
(2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________.
(3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
解析 (1)∵bsin A＝×＝，∴bsin A0，∴sin A＝1，即A＝.
答案 B
【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析 法一 由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π0)，由余弦定理可得
cos C＝＝＝－<0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈，∴△ABC为钝角三角形.
答案 C
【迁移探究3】 将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状.
解 法一 利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，
由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.
又由余弦定理得cos A＝，
∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.
又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.
法二 利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0，
又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.
又由a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
又0°
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