江苏省盐城市高考数学三模试卷

江苏省盐城市高考数学三模试卷

‎2016年江苏省盐城市高考数学三模试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7，9}，C=A∩B，则集合C的子集的个数为　　．‎ ‎2．（5分）若复数z满足（2﹣i）z=4+3i（i为虚数单位），则|z|=　　．‎ ‎3．（5分）甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为　　．‎ ‎4．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的标准差为　　．‎ ‎5．（5分）如图所示，该伪代码运行的结果为　　．‎ ‎6．（5分）以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎7．（5分）设M，N分别为三棱锥P﹣ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P﹣ABC的体积记为V1，三棱锥P﹣AMN的体积记为V2，则=　　．‎ ‎8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为　　．‎ ‎9．（5分）若f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（﹣≤θ≤）是定义在R上的偶函数，则θ=　　．‎ ‎10．（5分）已知向量，满足=（4，﹣3），||=1，|﹣|=，则向量，的夹角为　　．‎ ‎11．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足•=λ（λ为负常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是　　．‎ ‎12．（5分）若函数f（x）=ex+x3﹣﹣1的图象上有且只有两点P1，P2，使得函数g（x）=x3+的图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1、P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是　　．‎ ‎13．（5分）若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为bn，则得到一个新数列{bn}．例如，若数列{an}是1，2，3，…，n…，则数列{bn}是0，1，2，…，n﹣1，…现已知数列{an}是等比数列，且a2=2，a5=16，则数列{bn}中满足bi=2016的正整数i的个数为　　．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2﹣a2=ac，则﹣的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（共6小题，满分90分）‎ ‎15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，a+c=4．‎ ‎（1）当a，b，c成等差数列时，求△ABC的面积；‎ ‎（2）设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．‎ ‎16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．‎ ‎17．（14分）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F（不与正方形的顶点重合），连接AE，EF，FA，使得∠EAF=45°．现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？‎ ‎18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2+y2=r2（r＞0）．‎ ‎（1）若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；‎ ‎（2）若圆O的半径为，点P，Q满足kOP•kOQ=﹣，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值．‎ ‎19．（16分）已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．‎ ‎（1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）+mx2+（m2+2）x，试求g（x）的单调区间；‎ ‎（3）试给出一个实数m的值，使得函数y=f（x）与h（x）=（x＞0）的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由．‎ ‎20．（16分）已知数列{an}满足a1=m，an+1=（k∈N*，r∈R），其前n项和为Sn．‎ ‎（1）当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N*，数列{an}都满足an+2=an？‎ ‎（2）对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a2n+1+p}与{a2n+q}是同一个等比数列？若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当m=r=1时，若对任意的n∈N*，都有Sn≥λan，求实数λ的最大值．‎ ‎　‎ 四.数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）‎ ‎21．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．‎ 求证：∠DEA=∠DFA．‎ ‎　‎ B.（选修4-2：矩阵与变换）‎ ‎22．已知矩阵M=的两个特征向量a1=，a2=，若β=，求M2β．‎ ‎　‎ C．（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ ‎23．已知直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，试判断直线l与曲线C的位置关系．‎ ‎　‎ D．（选修4-5：不等式选讲）‎ ‎24．已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．‎ ‎　‎ 四.[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎25．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．‎ ‎（1）求第3局甲当裁判的概率；‎ ‎（2）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．‎ ‎26．记f（n）=（3n+2）（C+C+C+…+C）（n≥2，n∈N*）．‎ ‎（1）求f（2），f（3），f（4）的值；‎ ‎（2）当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f（n）的最大公约数，并证明．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省盐城市高考数学三模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．（5分）（2016•盐城三模）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7，9}，C=A∩B，则集合C的子集的个数为　8　．‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的交集确定出C，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：∵A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7，9}，‎ ‎∴C=A∩B={1，3，5}，‎ 则集合C的子集个数为23=8，‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•盐城三模）若复数z满足（2﹣i）z=4+3i（i为虚数单位），则|z|=　　．‎ ‎【考点】复数求模．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用复数的模的求法否则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z满足（2﹣i）z=4+3i，‎ 可得|2﹣i||z|=|4+3i|，‎ 可得|z|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•盐城三模）甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．‎ ‎【分析】先求出试验发生的总事件数是3×3=9，再求出从两盒中随机各取一个球，则没有红球的种数只有1种，根据对立事件的概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：试验发生的总事件数是3×3=9，‎ 从两盒中随机各取一个球，则没有红球的种数只有1种，‎ 故现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为1﹣=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•盐城三模）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的标准差为　2　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．菁优网版权所有 ‎【专题】对应思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】根据方差公式求出数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差，从而求出标准差．‎ ‎【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，‎ 则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是22•2=8，‎ 其标准差为：2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016•盐城三模）如图所示，该伪代码运行的结果为　11　．‎ ‎【考点】循环结构．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=25时不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为11．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 S=0，i=1‎ 满足条件S≤20，执行循环体，S=1，i=3‎ 满足条件S≤20，执行循环体，S=4，i=5‎ 满足条件S≤20，执行循环体，S=9，i=7‎ 满足条件S≤20，执行循环体，S=16，i=9‎ 满足条件S≤20，执行循环体，S=25，i=11‎ 不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为11．‎ 故答案为：11．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2016•盐城三模）以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据圆和渐近线的垂直关系建立方程条件进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意知圆心F（c，0），双曲线的渐近线为y=±x，不妨设其中一条为bx﹣ay=0，‎ ‎∵圆与渐近线相切，‎ ‎∴圆心到渐近线的距离d==b=a，‎ 即c=‎ 即离心率e==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016•盐城三模）设M，N分别为三棱锥P﹣ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P﹣ABC的体积记为V1，三棱锥P﹣AMN的体积记为V2，则=　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；等体积法；立体几何．‎ ‎【分析】由题意画出图形，利用N为棱PC的中点，且三棱锥P﹣ABC的体积记为V1，得到，再由M为棱AB的中点，得到，由等积法得到，则可求．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵N为棱PC的中点，且三棱锥P﹣ABC的体积记为V1，‎ ‎∴，‎ 又M为棱AB的中点，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 即．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•盐城三模）已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合；转化法；不等式．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合直线斜率的应用，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ ‎=，则对应的几何意义是区域内的点到点（﹣，）的斜率，‎ 由图象知AD的斜率最大，‎ 由得，即A（1，4），‎ 此时==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016•盐城三模）若f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（﹣≤θ≤）是定义在R上的偶函数，则θ=　﹣　．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有 ‎【专题】函数思想；分析法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】对f（x）化简，由偶函数得到正弦函数是需要左右平移+kπ，k∈Z个单位，得到θ的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）=2sin（x+θ﹣），‎ 是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴θ﹣=+kπ，k∈Z ‎∴θ=+kπ，‎ ‎∵﹣≤θ≤，‎ ‎∴k=﹣1时，‎ θ=﹣．‎ 故答案为θ=﹣．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•盐城三模）已知向量，满足=（4，﹣3），||=1，|﹣|=，则向量，的夹角为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】对|﹣|=两边平方，计算，代入向量的夹角公式得出夹角．‎ ‎【解答】解：||==5，‎ ‎∵|﹣|=，∴=26﹣2=21，‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴向量的夹角为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016•盐城三模）已知线段AB的长为2，动点C满足•=λ（λ为负常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是　﹣　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；作图题；数形结合；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；平面向量及应用．‎ ‎【分析】由题意建立坐标系，假设点C在圆内，B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜），从而利用坐标表示出向量，从而可得λ=﹣2rcosa+r2，从而求得．‎ ‎【解答】解：由题意建立坐标系如右图，‎ 假设点C在圆内，‎ 则B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜），‎ 则=（2﹣rcosa，﹣rsina），=（﹣rcosa，﹣rsina），‎ ‎∴λ=（2﹣rcosa，﹣rsina）•（﹣rcosa，﹣rsina）‎ ‎=﹣2rcosa+r2（cos2a+sin2a）‎ ‎=﹣2rcosa+r2，‎ ‎∴r2﹣2r≤λ≤r2+2r，‎ 故﹣＜λ＜，‎ ‎∵点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，‎ ‎∴λ≤﹣或λ≥（舍）；‎ 故实数λ的最大值是﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016•盐城三模）若函数f（x）=ex+x3﹣﹣1的图象上有且只有两点P1，P2，使得函数g（x）=x3+的图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1、P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是　{﹣}　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由关于原点对称可得Q1，Q2的坐标，分别代入f（x），g（x）的解析式，相加可得方程m=xex﹣x2﹣x有且只有两个不等的实根．令h（x）=xex﹣x2﹣x，求出导数，得到单调区间和极值，即可得到所求m的值的集合．‎ ‎【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则Q1（﹣x1，﹣y1），Q2（﹣x2，﹣y2），‎ 由题意可得y1=ex1+x13﹣x1﹣1，﹣y1=﹣x13﹣，‎ 即有y1﹣y1=ex1﹣x1﹣1﹣=0，‎ 即为m=x1ex1﹣x12﹣x1，‎ 同理可得m=x2ex2﹣x22﹣x2，‎ 即有方程m=xex﹣x2﹣x有且只有两个不等的实根．‎ 令h（x）=xex﹣x2﹣x，导数为h′（x）=（x+1）ex﹣x﹣1‎ ‎=（x+1）（ex﹣1），‎ 由h′（x）=0，解得x=﹣1或x=0，‎ 当﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减；‎ 当x＞0或x＜﹣1时，h′（x）＞0，h（x）递增．‎ 即有h（x）在x=0处取得极小值，且为0；‎ x=﹣1处取得极大值，且为﹣．‎ 则m=0或﹣．‎ 当m=0时，xex﹣x2﹣x=0（x≠0）只有一解．‎ 故答案为：{﹣}．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2016•盐城三模）若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为bn，则得到一个新数列{bn}．例如，若数列{an}是1，2，3，…，n…，则数列{bn}是0，1，2，…，n﹣1，…现已知数列{an}是等比数列，且a2=2，a5=16，则数列{bn}中满足bi=2016的正整数i的个数为　22015　．‎ ‎【考点】数列的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】先求出数列{an}的通项公式，再根据新定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等比数列，且a2=2，a5=16，‎ ‎∴an=2n﹣1，‎ ‎∴数列{bn}是0，1，3，3，3，3，3，3，…，‎ ‎∵bi=2016，‎ ‎∴数列{bn}中满足bi=2016的正整数i的个数为22016﹣22015=22015，‎ 故答案为：22015．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•盐城三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2﹣a2=ac，则﹣的取值范围是　　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系，由锐角三角形的条件求出B的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵b2﹣a2=ac，‎ ‎∴由正弦定理得，sin2B﹣sin2A=sinAsinC，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由和差化积公式得cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B），代入上式得，‎ ‎﹣sin（A+B）sin（A﹣B）=sinAsinC，‎ ‎∵sin（A+B）=sinC≠0，∴﹣sin（A﹣B）=sinA，即sin（B﹣A）=sinA，‎ 在△ABC中，B﹣A=A，得B=2A，则C=π﹣3A，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴，‎ 解得，则，‎ ‎∴==‎ ‎==，‎ 由得，sinB∈（，1），则，‎ ‎∴取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二、解答题（共6小题，满分90分）‎ ‎15．（14分）（2016•盐城三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，a+c=4．‎ ‎（1）当a，b，c成等差数列时，求△ABC的面积；‎ ‎（2）设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）由已知利用等差数列的性质可求b=2，由余弦定理可得ac=4，利用三角形面积公式即可求值得解．‎ ‎（2）设AD=CD=d，由cos∠ADB+cos∠CDB=0，结合余弦定理可得BD2=﹣d2=8﹣ac﹣d2，又利用余弦定理可得4d2=16﹣3ac，从而解得d2=4﹣，利用基本不等式可得：BD2=4﹣≥4﹣（）2=3，即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）因为a，b，c成等差数列，a+c=4．‎ 所以b==2，…（2分）‎ 由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=16﹣3ac=4，解得ac=4，…（6分）‎ 从而S△ABC=acsinB=2×=．…（8分）‎ ‎（2）因为D为AC边的中点，所以可设AD=CD=d，‎ 由cos∠ADB+cos∠CDB=0，得+=0，‎ 即BD2=﹣d2=8﹣ac﹣d2，…（10分）‎ 又因为b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=16﹣3ac，‎ 即4d2=16﹣3ac，‎ 所以d2=4﹣，…（12分）‎ 故BD2=4﹣≥4﹣（）2=3，当且仅当a=c时取等号，‎ 所以线段BD长的最小值为．…（14分）‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2016•盐城三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）取PD的中点G，连接AG，FG，则由中位线定理可知四边形AEFG是平行四边形，于是EF∥AG，从而得出EF∥平面PAD；‎ ‎（2）由PD⊥平面ABCD得出PD⊥CE，由勾股定理的逆定理得出CE⊥DE，于是CE⊥平面PDE，故而平面PDE⊥平面PEC．‎ ‎【解答】证明：（1）取PD的中点G，连接AG，FG．‎ ‎∵F，G分别是PC，PD的中点，‎ ‎∴GF∥DC，GF=DC，‎ 又E是AB的中点，‎ ‎∴AE∥DC，且AE=DC，‎ ‎∴GF∥AE，且GF=AE，‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形，故EF∥AG．‎ 又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD．‎ ‎（2）∵PD⊥底面ABCD，EC⊂底面ABCD，‎ ‎∴CE⊥PD．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，AB=2AD，‎ ‎∴DE=AD，CE=AD，CD=2AD，‎ ‎∴DE2+CE2=CD2，即CE⊥DE，‎ 又PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，PD∩DE=D，‎ ‎∴CE⊥平面PDE．‎ ‎∵CE⊂平面PEC，‎ ‎∴平面PDE⊥平面PEC．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016•盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F（不与正方形的顶点重合），连接AE，EF，FA，使得∠EAF=45°．现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；三角函数的求值．‎ ‎【分析】方法一、设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T，可得T=2×105S+105（1﹣S）=105（S+1），设∠EAB=α（0°＜α＜45°），由解三角形可得S=（tanα+），令x=tanα∈（0，1），可得S=（x﹣），变形整理，运用基本不等式可得最小值；‎ 方法二、设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T．设∠DAF=α，∠BAE=β（0°＜α，β＜45°），由解三角形可得S=（tanα+tanβ），运用两角和的正切公式和基本不等式，即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解法一：设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T．‎ 则T=2×105S+105（1﹣S）=105（S+1），‎ 从而只要求S的最小值．‎ 设∠EAB=α（0°＜α＜45°）‎ 在△ABE中，因为AB=1，∠B=90°，‎ 所以BE=tanα，‎ 则S△ABE=AB•BE=tanα；‎ 又∠DAF=45°﹣α，所以S△ADF=tan（45°﹣α）；‎ 所以S=（tanα+tan（45°﹣α））=（tanα+），‎ 令x=tanα∈（0，1），‎ 则S=（x﹣）=[（x+1）+﹣2]≥（2﹣2）=﹣1．‎ 当且仅当x+1=，即x=﹣1时取等号，‎ 从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元．‎ ‎（说明：这里S的最小值也可以用导数来求解）．‎ 因为S′=，则由S′=0，得x=﹣1．‎ 当x∈（0，﹣1）时，S′＜0，S递减；当x∈（﹣1，1）时，S′＞0，S递增．‎ 所以当x=﹣1时，S取得最小值为﹣1．‎ 解法二：设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T．‎ 则T=2×105S+105（1﹣S）=105（S+1），从而只要求S的最小值．‎ 设∠DAF=α，∠BAE=β（0°＜α，β＜45°），则S=（tanα+tanβ），‎ 因为α+β=90°﹣∠EAF=45°，‎ 所以tan（α+β）==1，‎ 所以tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ≥1﹣（）2，‎ 即2S≥1﹣S2，解得S≥﹣1，即S取得最小值为﹣1，‎ 从而三个区域的总投入T的最小值约为×105元．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2016•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2+y2=r2（r＞0）．‎ ‎（1）若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；‎ ‎（2）若圆O的半径为，点P，Q满足kOP•kOQ=﹣，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意方程求出P的坐标，得到直线PA的方程，由点到直线的距离公式求出圆的半径，则圆的方程可求；‎ ‎（2）由已知求得圆的方程，当PQ⊥x轴时，由kOP•kOQ=﹣求出OP的斜率，可得P的坐标，由对称性得到Q的坐标，则直线PQ被圆O截得弦长可求；当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+b，由kOP•kOQ=﹣，得到P，Q横坐标的和与积的关系，联立直线方程和椭圆方程可得k与b的关系，再由垂径定理求得弦长最大值，综合两种情况求得直线PQ被圆O截得弦长的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C的方程为+=1，‎ ‎∴A（﹣2，0），F（1，0），‎ ‎∵PF⊥x轴，‎ ‎∴P（1，），而直线AP与圆O相切，‎ 根据对称性，可取P（1，），‎ 则直线AP的方程为y=，‎ 即x﹣2y+2=0．‎ 由圆O与直线AP相切，得r=，‎ ‎∴圆O的方程为；‎ ‎（2）由题意知，圆O的方程为x2+y2=3．‎ ‎①当PQ⊥x轴时，，‎ ‎∴，‎ 不妨设OP：y=，‎ 联立，解得P（，），‎ 此时得直线PQ被圆O截得的弦长为；‎ ‎②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1x2≠0），‎ 首先由，得3x1x+4y1y2=0，‎ 即3x1x2+4（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ ‎（*）．‎ 联立，消去x，得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，‎ 将代入（*）式，得2b2=4k2+3．‎ 由于圆心O到直线PQ的距离为，‎ ‎∴直线PQ被圆O截得的弦长为，‎ 故当k=0时，l有最大值为．‎ 综上，直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2016•盐城三模）已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．‎ ‎（1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）+mx2+（m2+2）x，试求g（x）的单调区间；‎ ‎（3）试给出一个实数m的值，使得函数y=f（x）与h（x）=（x＞0）的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（1）函数整理为y=mlnx+x，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f′（x）=0，代入求解即可；‎ ‎（2）函数整理为g（x）=mlnx+mx2+（m2+2）x，求导得g′（x），对参数m进行分类讨论，逐一求出单调区间；‎ ‎（3）设出A，B的坐标，求出坐标间的关系，得到函数ω（x）=lnx﹣1+，通过讨论函数的单调性判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）y=f（x）+x=mlnx+x，（x＞0），‎ y′=+1，‎ m≥0时，y′＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，‎ m＜0时，y′=，令y′＞0，解得：x＞﹣m，令y′＜0，解得：0＜x＜﹣m，‎ ‎∴函数y=f（x）+x在（0，﹣m）递减，在（﹣m，+∞）递增，‎ 故函数在x=﹣m处取得最小值，‎ ‎∴mln（﹣m）﹣m=0，解得：m=﹣e；‎ ‎（2）g（x）=f（x）+mx2+（m2+2）x ‎=mlnx+mx2+（m2+2）x，‎ ‎∴g′（x）=，‎ 当m=0时，g（x）=2x，定义域内递增；‎ 当m≠0时，‎ 令g′（x）=0，∴x=﹣或x=﹣，‎ 当m＞0时，g′（x）＞0，g（x）定义域内递增；‎ 当m＜0时，当m＞﹣时，函数的增区间为（0，﹣）u（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；‎ ‎ 当m＜﹣时，函数的增区间为（0，﹣）u（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；‎ 当m=﹣时，定义域内递增．‎ ‎（3）m=符合题意，理由如下：此时f（x）=lnx，‎ 设函数f（x）与h（x）上各有一点A（x1，lnx1），B（x2，），‎ 则f（x）以点A为切点的切线方程为y=x+lnx1﹣，‎ h（x）以点B为切点的切线方程为y=x+，‎ 由两条切线重合，得 （*），‎ 消去x1，整理得lnx2=1﹣，即lnx2﹣1+=0，‎ 令ω（x）=lnx﹣1+，得ω′（x）=，‎ 所以函数ω（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，‎ 又ω（1）=0，所以函数ω（x）有唯一零点x=1，‎ 从而方程组（*）有唯一解，即此时函数f（x）与h（x）的图象有且只有一条公切线．‎ 故m=符合题意．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2016•盐城三模）已知数列{an}满足a1=m，an+1=（k∈N*，r∈R），其前n项和为Sn．‎ ‎（1）当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N*，数列{an}都满足an+2=an？‎ ‎（2）对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a2n+1+p}与{a2n+q}是同一个等比数列？若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当m=r=1时，若对任意的n∈N*，都有Sn≥λan，求实数λ的最大值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有 ‎【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由题意a1=m，an+1=（k∈N*，r∈R），得a2=2a1=2m，a3=a2+r=2m+r，由a3=a1，得m+r=0．当m+r=0时，可得：an+1=（k∈N*），即可得出．‎ ‎（2）依题意，a2n+1=a2n+r=2a2n﹣1+r，则a2n+1+r=2（a2n﹣1+r），由a1+r=m+r，当m+r≠0时，{a2n+1+r}是等比数列，且a2n+1+r==（m+r）•2n．‎ 为使{a2n+1+p}是等比数列，则p=r．同理，当m+r≠0时，a2n+2r=（m+r）•2n，则{a2n+2r}是等比数列，则q=2r．即可得出．‎ ‎（3）当m=r=1时，由（2）可得a2n﹣1=2n﹣1，a2n=2n+1﹣2，当n=2k时，an=a2k=2k+1﹣2；当n=2k﹣1时，an=a2k﹣1=2k﹣1，进而得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意a1=m，an+1=（k∈N*，r∈R），‎ 得a2=2a1=2m，a3=a2+r=2m+r，‎ 首先由a3=a1，得m+r=0．‎ 当m+r=0时，可得：an+1=（k∈N*），‎ ‎∴a1=a3=…=m，‎ a2=a4=…=2m，‎ 故对任意的n∈N*，数列{an}都满足an+2=an．‎ 即当实数m，r满足m+r=0时，题意成立．‎ ‎（2）依题意，a2n+1=a2n+r=2a2n﹣1+r，则a2n+1+r=2（a2n﹣1+r），‎ 因为a1+r=m+r，所以当m+r≠0时，{a2n+1+r}是等比数列，且a2n+1+r==（m+r）•2n．‎ 为使{a2n+1+p}是等比数列，则p=r．‎ 同理，当m+r≠0时，a2n+2r=（m+r）•2n，则{a2n+2r}是等比数列，则q=2r．‎ 综上所述：‎ ‎①若m+r=0，则不存在实数p，q，使得{a2n+1+p}与{a2n+q}是等比数列；‎ ‎②若m+r≠0，则当p，q满足q=2p=2r时，{a2n+1+p}与{a2n+q}是同一个等比数列．‎ ‎（3）当m=r=1时，由（2）可得a2n﹣1=2n﹣1，a2n=2n+1﹣2，‎ 当n=2k时，an=a2k=2k+1﹣2，‎ Sn=S2k=（2+22+…+2k）+（22+23+…+2k+1）﹣3k=+﹣3k=3（2k+1﹣k﹣2）．‎ 所以=3，‎ 令ck=，则ck+1﹣ck=﹣=＜0，‎ 所以，，‎ 当n=2k﹣1时，an=a2k﹣1=2k﹣1，Sn=S2k﹣a2k=3（2k+1﹣k﹣2）﹣（2k+1﹣2）=2k+2﹣3k﹣4，‎ 所以=4﹣，同理可得≥1，λ≤1，‎ 综上所述，实数λ的最大值为1．‎ ‎　‎ 四.数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）‎ ‎21．（2016•盐城三模）如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．‎ 求证：∠DEA=∠DFA．‎ ‎【考点】圆周角定理；圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】做出辅助线，根据AB是一条直径，得到它所对的圆周角是一个直角，根据两条直线垂直，得到它们所形成的角是一个直角，这样得到四边形两个相对的角互补，得到四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得到结论．‎ ‎【解答】证明：连接AD，∵AB为圆的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 又EF⊥AB，∠EFA=90°‎ ‎∴A、D、E、F四点共圆．‎ ‎∴∠DEA=∠DFA．‎ ‎　‎ B.（选修4-2：矩阵与变换）‎ ‎22．（2016•盐城三模）已知矩阵M=的两个特征向量a1=，a2=，若β=，求M2β．‎ ‎【考点】特征值与特征向量的计算．菁优网版权所有 ‎【专题】转化思想；综合法；矩阵和变换．‎ ‎【分析】由矩阵特征值和特征向量的性质，列方程组求得m，n和λ1，λ2的值，求得矩阵M，由β==+2=α1+2α2，根据矩阵乘法及特征值的定义，即可求得M2β的值．‎ ‎【解答】解：设矩阵M特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，‎ 则由=λ1，即=，‎ ‎=λ2，即=‎ ‎∴，‎ ‎∴矩阵M=，…（4分）‎ 又β==+2=α1+2α2，…（6分）‎ ‎∴M2β=M2（α1+2α2）=α1+2α2=4+2=．．…（10分）‎ ‎　‎ C．（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ ‎23．（2016•盐城三模）已知直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，试判断直线l与曲线C的位置关系．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 ‎【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】把直线l的参数方程消去参数t可得直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，与=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程．求出圆心到直线l的距离d，与半径半径即可得出位置关系．‎ ‎【解答】解：直线l的参数方程为，‎ 消去参数t可得直线l的普通方程为2x﹣y﹣2=0；‎ 曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，‎ 可得曲线C的直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2=4，圆心（0，2），半径r=2．‎ 由圆心到直线l的距离d==＜2，可得直线l与曲线C相交．‎ ‎　‎ D．（选修4-5：不等式选讲）‎ ‎24．（2016•盐城三模）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．‎ ‎【考点】二维形式的柯西不等式．菁优网版权所有 ‎【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．‎ ‎【分析】++=（++）（x+2y+3z）=1+4+9++++++，运用基本不等式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：++=（++）（x+2y+3z）=1+4+9++++++‎ ‎≥14+2+2+2=36，‎ ‎（当且仅当x=y=z=时等号成立）‎ 所以++的最小值为36．…（10分）‎ ‎　‎ 四.[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎25．（2016•盐城三模）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．‎ ‎（1）求第3局甲当裁判的概率；‎ ‎（2）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，由此能求出第3局甲当裁判的概率．‎ ‎（2）由题意X可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布与数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为，‎ 也可能是丙当裁判，其概率为，‎ ‎∴第3局甲当裁判的概率为=．…（4分）‎ ‎（2）由题意X可能的取值为0，1，2．…（5分）‎ P（X=0）==，…（6分）‎ P（X=1）==，…（7分）‎ P（X=2）==．…（8分）‎ ‎∴X的概率分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎∴X的数学期望E（X）==．…（10分）‎ ‎　‎ ‎26．（2016•盐城三模）记f（n）=（3n+2）（C+C+C+…+C）（n≥2，n∈N*）．‎ ‎（1）求f（2），f（3），f（4）的值；‎ ‎（2）当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f（n）的最大公约数，并证明．‎ ‎【考点】数学归纳法；归纳推理．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题；转化思想；归纳法；推理和证明．‎ ‎【分析】（1）由组合数的性质可得f（n）=（3n+2）Cn+13，代值计算即可，‎ ‎（2）由（1）中结论可猜想所有f（n）的最大公约数为4．用数学归纳法证明所有的f（n）都能被4整除即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为f（n）=（3n+2）（C22+C32+C42+…+Cn2）=（3n+2）Cn+13，‎ 所以f（2）=8，f（3）=44，f（4）=140．‎ ‎（2）由（1）中结论可猜想所有f（n）的最大公约数为4．‎ 下面用数学归纳法证明所有的f（n）都能被4整除即可．‎ ‎（ⅰ）当n=2时，f（2）=8能被4整除，结论成立； ‎ ‎（ⅱ）假设n=k时，结论成立，即f（k）=（3k+2）Ck+13能被4整除，‎ 则当n=k+1时，f（k+1）=（3k+5）Ck+23=（3k+2）Ck+13+3Ck+23=（3k+2）（Ck+13+Ck+12）+（k+2）Ck+12，‎ ‎=（3k+2）Ck+13+（3k+2）Ck+12+（k+2）Ck+12，‎ ‎=（3k+2）Ck+13+4（k+1）Ck+12，‎ 此式也能被4整除，即n=k+1时结论也成立．‎ 综上所述，所有f（n）的最大公约数为4．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；qiss；whgcn；刘老师；w3239003；maths；sxs123；小田；zhczcb；炫晨；双曲线；lcb001；gongjy；沂蒙松；涨停；铭灏2016；zlzhan（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年11月9日