数学理卷·2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（五）（2017

数学理卷·2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（五）（2017

云南省师范大学附属中学 2017 届高三高考适应性月考（五） 理科数学试卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.复数 ，则其共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 下列说法正确的是（ ） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．命题“ ， ”的否定是“ ” C.命题“若 ，则 ”的逆命题为真命题 D．命题“若 ，则 或 ”为真命题 4.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 的图象关于直线 对称 B． 的周期为 C.若 ，则 D． 在区间 上单调递减 5. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然 是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问 题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的 分别为 ， 若 ，根据该算法计算当 时多项式的值，则输出的结果为（ ） 2{ | 0} { | 2}A x x a B x x= − ≤ = <， A B⊆ a ( ,4]−∞ ( ,4)−∞ [0,4] (0,4) 3 1 iz i = − z 1x < 2log ( 1) 1x + < 0x∀ > 2 1x > 0 0 0 2 1xx∃ ≤ ≤， a b≤ 2 2ac bc≤ 5a b+ ≠ 2a ≠ 3b ≠ ( ) | sin | cosf x x x= • ( )f x 2x π= ( )f x π 1 2| ( ) | | ( ) |f x f x= 1 2 2 ( )x x k k Zπ= + ∈ ( )f x 3[ , ]4 4 π π 0 1 2, , , , na a a a 0,1,2, ,n 5n = 2x = A．248 B．258 C.268 D．278 6. 在棱长为 2 的正方体 中任取一点 ，则满足 的概率为 （ ） A． B． C. D． 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．8 B． C. D．4 8. 已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ） A．6 B．12 C. 13 D．14 9.三棱锥 内接于半径为 的球 中， ，则三棱锥 的体 积的最大值为（ ） A. B. C. D. 10.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，抛物线的对称轴与准线交于点 ， 为抛 物线上的动点， ，当 最小时，点 恰好在以 为焦点的椭圆上，则椭 1 1 1 1ABCD A B C D− M 90AMB∠ > ° 24 π 12 π 8 π 6 π 6 2 4 2 ,x y 2 24 4x y+ ≤ | 2 4 | | 3 |x y x y+ − + − − A BCD− 5 O 4AB CD= = A BCD− 4 3 8 3 16 3 32 3 2 4x y= F l Q P | | | |PF m PQ= m P ,F Q 圆的离心率为（ ） A． B． C. D． 11.函数 的图象与直线 从左至右分别交于点 ，与直线 从左至右分别交于点 .记线段 和 在 轴上的投影长度 分别为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C. D． 12.若函数 与函数 有公切线，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围 是 ． 14.点 是圆 上的动点，点 ， 为坐标原点，则 面积 的最小值是 ． 15.已知平面向量 满足 ，则 的最小值 是 ． 16.已知数列 满足 ，且 ，则 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 ． （1）证明： 为钝角三角形； 3 2 2− 2 2− 3 2− 2 1− 3| log |y x= 1 :l y m= ,A B 2 8: ( 0)2 1l y mm = >+ ,C D AC BD x ,a b b a 81 3 27 3 9 3 3 3 ( ) lnf x x= 2( ) 2 ( 0)g x x x a x= + + < a 1(ln , )2e +∞ ( 1, )− +∞ (1, )+∞ ( ln 2, )− +∞ 3( ) xf x e x= + 2( ) (3 2)f x f x< − x P 2 2( 3) ( 1) 2x y+ + − = (2,2)Q O OPQ∆ , ,a b c  | | 1 1 2a a b b c a c= = = =     ， ，• • • | |a b c+ +  { }na 1 2a = *1 1 2 ( 2 )1 n n n naa n n Na n − − = ≥ ∈+ − ， na = ABC∆ A B C a b c 2 2 3cos cos 22 2 2 B Aa b c a b+ = =， ABC∆ （2）若 的面积为 ，求 的值． 18. （本小题满分 12 分） 某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机 是否与年龄有关，现随机抽取了 50 名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于 60 分，说 明购买意愿弱；若得分不低于 60 分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示. （1）根据茎叶图中的数据完成 列联表，并判断是否有 95%的把握认为市民是否购买该 款手机与年龄有关？ （2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取 5 人，从这 5 人中随机抽取 2 人 进行采访，记抽到的 2 人中年龄大于 40 岁的市民人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附： . 19. （本小题满分 12 分） 如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ， 是 的中点， 是 的中点，点 在 上， . ABC∆ 3 15 b 2 2× X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d −= + + + + P ABC− PA ⊥ ABC 90ABC∠ = ° 2PA AC= = D PA E CD F PB 3PF FB=  （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的余弦值. 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 ，圆 ，点 为抛物线 上的动点， 为坐标 原点，线段 的中点 的轨迹为曲线 . （1）求抛物线 的方程； （2）点 是曲线 上的点，过点 作圆 的两条切线，分别与 轴交于 两点. 求 面积的最小值. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）若曲线 在点 处的切线斜率为 1，求函数 在 上的最值； （2）令 ，若 时， 恒成立，求实数 的取值范围； （3）当 且 时，证明 . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，将曲线 （ 为参数）上每一点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的 2 倍，得到曲线 ；以坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立 / /EF ABC 60BAC∠ = ° B CD A− − 2: 8E y x= 2 2:( 2) 4M x y− + = N E O ON P C C 0 0 0( , )( 5)Q x y x ≥ C Q M x ,A B QAB∆ 2( ) xf x e x ax= − − ( )y f x= 0x = ( )f x [0,1] 2 21( ) ( ) ( )2g x f x x a= + − 0x ≥ ( ) 0g x ≥ a 0a = 0x > 2( ) ln 1f x ex x x x x− ≥ − − + xOy 1 cos : 1 sin2 x t C y t = + = t 1C O x 极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲 线 的交点为 ，求 的面积. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求 的图象与 轴围成的三角形面积； （2）设 ，若对 恒有 成立，求实数 的取值 范围. 2C 2 cos( ) 3 36 πρ θ − = 1C (1,0)M l 3 πθ = 1C O P 2C Q MPQ∆ ( ) | 1| 2 | 1|f x x x= + − − ( )f x x 2 4( ) x axg x x − += (0, )s t∀ ∈ +∞， ( ) ( )g s f t≥ a 云南师大附中 2017 届高考适应性月考卷（五） 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D D B A A B C D B A 【解析】 1 ． 当 时 ， 集 合 ， 满 足 题 意 ； 当 时 ， ， 若 ， 则 ，∴ ，所以 ，故选 B． 2．∵ ，其共轭复数为 ，对应点为 在第三象限，故选 C． 3．选项 A： ，所以“ ”是其必要不充分条件； 选项 B：命题“ ”的否定是“ ”；选项 C：命题“若 ，则 ”的逆命题是“若 ，则 ”，当 c=0 时，不成立；选项 D：其逆否命题 为“若 且 ，则 ”为真命题，故原命题为真，故选 D． 4．函数 在区间 上的解析式为 且 是偶函数， 0a < A = ∅ 0a≥ [ ]A a a= − ， A B⊆ 2a < 0 <4a≤ ( 4)a∈ −∞， i 1 i i 1 2z − − += =− 1 i 2z − −= 1 1 2 2  − −  ， 2log ( 1) 1 0 1 2 1 1x x x+ < ⇔ < + < ⇔ − < < 1x < 0 2 1xx∀ > >， 0 0 0 2 1xx∃ > ， ≤ a b≤ 2 2ac bc≤ 2 2ac bc≤ a b≤ 2a = 3b = 5a b+ = ( )f x [0 2π]， 1 sin 2 0 π2( ) 1 sin 2 π 2π2 x x f x x x  =  − < ， ， ， ， ≤ ≤ ≤ ( )f x 画出图象可知，故选 D． 5．该程序框图是计算多项式 当 x=2 时的值，故选 B． 6．以 AB 为直径作球，球在正方体内部的区域体积为 ，正方体的体积为 8， 所以 ，故选 A． 7．由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为 ，故选 A． 8．实数 x，y 满足的区域为椭圆 及其内部，椭圆的参数方程为 （ 为参数），记目标函数 ，易知 ，故 ．设椭圆上的点 ，则 ，其中 ，所以 z 的最大值为 12，故选 B． 9．如图，过 CD 作平面 ECD，使 AB⊥平面 ECD，交 AB 于点 E，设点 E 到 CD 的距离为 EF，当 球心在 EF 上时，EF 最大，此时 E，F 分别为 AB，CD 的中点，且球心 O 为 EF 的中点，所以 EF=2，所以 ，故选 C． 10．由已知， ，过点 P 作 PM 垂直于准线，则 PM=PF．记 ，则 ，当 最小时，m 有最小值，此时直线 PQ 与抛物线相切于点 P．设 ，可得 ，所以 ，则 ，∴ ， ，∴ ，故选 D． 5 4 3 2( ) 5 4 3 2f x x x x x x= + + + + 1 4 ππ4 3 3V = × = π 24P = 2 2 2 3 83V = × × × = 2 2 14 x y+ = 2cos sin x y θ θ =  = ， ， θ | 2 4 | | 3 |z x y x y= + − + − − 2 4 0x y+ − ≤ ， 3 0x y− − ≥ 4 2 3 7 2 3z x y x y x y= − − + − − = − − (2cos sin )P θ θ， 7 4cos 3sin 7 5sin( )z θ θ θ ϕ= − − = − + 4tan 3 ϕ = max 1 1 164 2 43 2 3V = × × × × = (0 1) (0 1)F Q −， ， ， PQM α∠ = | | | | sin| | | | PF PMm PQ PQ α= = = α 2 0 0 4 xP x       ， ( 2 1)P ± ， | | 2 2 | | 2PQ PF= =， | | | | 2PF PQ a+ = 2 1a = + 1c = 2 1ce a = = − 图 1 11 ． 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 ， ， 的 图 象 ， 如 图 ， 设 ， ， ， ，由 ，得 ， ，由 = ， 得 ， ． 依 照 题 意 得 ，∴ ，故选 B． 12 ． 设 公 切 线 与 函 数 切 于 点 ， 则 切 线 方 程 为 ；设公切线与函数 切于点 ， 则切线方程为 ，所以有 ∵ ，∴ ． 又 ， 令 ， ∴ ． 设 ，则 ，∴ 在(0，2)上为减 函数，则 ，∴ ，故选 A． 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 (1，2) 2 4 【解析】 y m= 8 ( 0)2 1y mm = >+ 3| log |y x= 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 3 3( )C x y， 4 4( )D x y， 3| log |x m= 1 3 mx −= 2 3mx = 3| log |x 8 2 1m + 8 2 1 3 3 mx − += 8 2 1 4 3 mx += 8 2 1| 3 3 |mma − +−= − ， 8 2 1| 3 3 |mmb += − ， 8 2 1 8 2 1 | 3 3 | | 3 3 | m m m m b a + − +− −= − 8 8 2 1 2 13 3 3mm m m ++ += = min 27 3b a   =   ( ) lnf x x= 1 1 1( ln )( 0)A x x x >， 1 1 1 1ln ( )y x x xx − = − 2( ) 2g x x x a= + + 2 2 2 2 2( 2 )( 0)B x x x a x+ + <， 2 2 2 2 2( 2 ) 2( 1)( )y x x a x x x− + + = + − 2 1 2 1 2 1 2( 1) ln 1 xx x x a  = +  − = − + ， ． 2 10x x< < 1 10 2x < < 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1ln 1 1 ln 2 12 4a x x x x    = + − − = − + − −        1 1t x = 210 2 ln4t a t t t< < = − −， 21( ) ln (0 2)4h t t t t t= − − < < 21 1 ( 1) 3( ) 1 02 2 th t t t t − −′ = − − = < ( )h t 1( ) (2) ln 2 1 ln 2eh t h> = − − = 1ln 2ea  ∈ + ∞  ， 2 2 1 n n n −  13．因为 ，所以函数 f(x)为增函数，所以不等式 等价于 ，即 ，故 ． 14 ． 因 为 ， 直 线 OQ 的 方 程 为 y=x ， 圆 心 到 直 线 OQ 的 距 离 为 ，所以圆上的动点 P 到直线 OQ 的距离的最小值为 ，所以 面积的最小值为 ． 15．不妨设 则 m=1，p=2， ，∴ ， ，∴ ，当且仅当 ， 即 时“=”成立． 16．由 ，得 ，于是 ．又 ，∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 ，∴ ． 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由正弦定理： ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，∴ ，即 a+b=2c，a=2b， 所以 ，所以 ， 所以 A 为钝角，故 为钝角三角形． ………………（6 分） （Ⅱ）因为 ∴ ． 2( ) e 3 0xf x x′ = + > 2( ) (3 2)f x f x< − 2 3 2x x< − 2 3 2 0 1 2x x x− + < ⇔ < < (1 2)x∈ ， | | 2 2OQ = ( 3 1)− ， | 3 1| 2 2 2 d − −= = 2 2 2 2− = OPQ△ 1 2 2 2 22 × × = (1 0) ( ) ( )a b m n c p q= = = ， ， ， ， ， ， 2 1 1b c nq nq= + = ⇒ = −  ， 1n q = − 11 (2 )b c qq  = − =    ， ， ， 22 2 2| | 2 2 2a b c a b c ab bc ac+ + = + + + + +          2 2 2 2 1 11 1 4 2 2 4 14 14 2 16q qq q = + + + + + + + = + + + =≥ | | 4a b c+ +  ≥ 2 1q = 1q = ± 1 1 2 1 n n n naa a n − − = + − 1 1 1 2 2n n n n a a − −= + 1 1 11 12n n n n a a −  −− = −    ( 2 )n n ∗∈N≥ ， 1 1 11 2a − = − 1 n n a  −    1 2 − 1 2 11 2n n n a − = − 2 2 1 n n n na = −  ( )n ∗∈N 1 cos 1 cos 3sin sin sin2 2 2 B AA B C + ++ =  sin sin cos sin sin cos 3sinA A B B B A C+ + + = sin sin sin( ) 3sinA B A B C+ + + = sin( ) sinA B C+ = sin sin 2sinA B C+ = 3 2c b= 2 2 2 2 2 2 9 4 14cos 032 42 2 b b bb c aA bc b b + −+ −= = = − <  ABC△ 1cos 4A = − ， 15sin 4A = 又 ，∴ ，∴ ． 又 ，所以 ，∴ ．………………………………………（12 分） 18．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由茎叶图可得： 购买意愿强 购买意愿弱 合计 20~40 岁 20 8 28 大于 40 岁 10 12 22 合计 30 20 50 由列联表可得： ， 所以，没有 95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． ……………（6 分） （Ⅱ）购买意愿弱的市民共有 20 人，抽样比例为 ， 所以年龄在 20~40 岁的抽取了 2 人，年龄大于 40 岁的抽取了 3 人， 则 X 的可能取值为 0，1，2， ， 所以分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为 ． …………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） （Ⅰ）证明：法一：如图，过点 F 作 FM PA 交 AB 于点 M， 取 AC 的中点 N，连接 MN，EN． ∵点 E 为 CD 的中点，∴ ． 又 ∴ ，∴ ， 所以四边形 MFEN 为平行四边形， ∴ ，∵ 平面 ABC， 平面 ABC， ∴ 平面 ABC． ………………（6 分） 1 sin2S bc A= 1 153 15 2 4bc= 24bc = 3 2c b= 23 242 b = 4b = 2 2 50(20 12 10 8)= 3.46 3.84130 20 28 22K × − × ≈ <× × × 5 1 20 4 = 1 1 22 2 3 32 2 2 2 5 5 5 C C CC 1 6 3 3( 0) ( 1) ( 2)C 10 C 10 5 C 10P X P X P X= = = = = = = = = =， ， 1 10 3 5 3 10 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × = // EN // 1 2 AD 3PF FB= ， MF 1 2 AD FM EN //EF MN EF ⊄ MN ⊂ //EF 图 4 法二：如图，取 AD 中点 G，连接 GE，GF， 则 GE//AC，GF//AB， 因为 GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面 GEF//平面 ABC， 所以 EF//平面 ABC．………………（6 分） （Ⅱ）解：作 BO⊥AC 于点 O，过点 O 作 OH//PA， 以 O 为坐标原点，OB，OC，OH 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 6 所示的空间直角坐标 系， 则 ∴ ， 则平面 CDA 的一个法向量为 设平面 CDB 的一个法向量为 则 可取 ，所以 ， 所以二面角 B−CD−A 的余弦值为 ． …………………………（12 分） 3 3 10 0 0 0 0 12 2 2C B D     −          ， ， ， ， ， ， ， ， ， 3 3(0 2 1) 02 2CD CB  = − = −     ， ， ， ， ， (1 0 0)m = ， ， ． ( )n x y z= ， ， ， 2 00 3 3 00 2 2 y zn CD x yn CB − + = = ⇒  − ==       ，， ， ( 3 1 2)n = ， ， 6cos 4| | | | m nm n m n 〈 〉 = =      ， 6 4 20．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设 ，则点 在抛物线 上， 所以 ，即 ，所以曲线 C 的方程为： ． ……………（4 分） （Ⅱ）设切线方程为： ，令 y=0，解得 ， 所以切线与 x 轴的交点为 ，圆心(2，0)到切线的距离为 ， ∴ ， 整理得： ， 设两条切线的斜率分别为 ， 则 ， ∴ 记 ，则 ， ∵ ， ∴ 在 上单增，∴ ，∴ ， ∴ 面积的最小值为 ． ………………………………（12 分） 21．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，记 ，∴ ，令 得 ． ( )P x y， (2 2 )N x y， 2 8y x= 24 16y x= 2 4y x= 2 4y x= 0 0( )y y k x x− = − 0 0 yx x k = − 0 0 0yx k  −  ， 0 0 2 | 2 | 2 1 k y kxd k + −= = + 2 2 0 0(2 ) 4( 1)k y kx k+ − = + 2 2 2 0 0 0 0 0 0( 4 ) (4 2 ) 4 0x x k y x y k y− + − + − = 1 2k k， 2 0 0 0 0 1 2 1 22 2 0 0 0 0 2 4 4 4 4 x y y yk k k kx x x x − −+ = =− −， 2 20 0 01 2 0 0 0 0 1 2 1 2 0 1 1 22 2 1QAB y y xk kS x x y yk k k k x     −= − − − = =    −    △ 2 0 0 0 0 0 ( 1) 2( 1) 1 12 2 ( 1) 2 .1 1 x x xx x  − + − += = − + + − −  0 1 [4 )t x= − ∈ + ∞， 1( ) 2f t t t = + + 2 2 2 1 1( ) 1 0tf t t t −′ = − = > ( )f t [4 )+ ∞， 1 25( ) 4 24 4f t + + =≥ 25 252 4 2S × =≥ QAB△ 25 2 ( ) e 2xf x x a′ = − − (0) 1 1f a′ = − = 0a = ( ) e 2xf x x′ = − ( ) e 2xh x x= − ( ) e 2xh x′ = − ( ) 0h x′ = ln 2x = 当 时， 单减；当 时， 单增， ∴ ， 故 恒成立，所以 在 上单调递增， ∴ ． ……………………（3 分） （Ⅱ）∵ ，∴ ． 令 ，∴ ， 当 时， ，∴ 在 上单增，∴ ． （i）当 即 时， 恒成立，即 ，∴ 在 上单增， ∴ ，所以 ． （ii）当 即 时，∵ 在 上单增，且 ， 当 时， ， ∴ ，使 ，即 ． 当 时， ，即 单减； 当 时， ，即 单增． ∴ ， ∴ ，由 ，∴ ，记 ， ∴ ，∴ 在 上单调递增， ∴ ，∴ ， 综上， ． ………………………………（8 分） （Ⅲ） 等价于 ， 即 ． ∵ ，∴等价于 ． 令 ， 则 ． (0 ln 2)x∈ ， ( ) 0 ( )h x h x′ < ， (ln 2 1)x∈ ， ( ) 0 ( )h x h x′ > ， min( ) (ln 2) 2 2ln 2 0h x h= = − > ( ) 0f x′ > ( )f x [0 1]， min max( ) (0) 1 ( ) (1) e 1f x f f x f= = = = −， 21( ) e ( )2 xg x x a= − + ( ) exg x x a′ = − − ( ) exm x x a= − − ( ) e 1xm x′ = − 0x≥ ( ) 0m x′ ≥ ( )m x [0 )+ ∞， min( ) (0) 1m x m a= = − 1 0a− ≥ 1a≤ ( ) 0m x ≥ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [0 )+ ∞， 2 min( ) (0) 1 0 2 22 ag x g a= = − ⇒ −≥ ≤ ≤ 2 1a− ≤ ≤ 1 0a− < 1a > ( )m x [0 )+ ∞， (0) 1 0m a= − < 21 e 2a< < − (ln( 2)) 2 ln( 2) 0m a a+ = − + > 0 (0 ln( 2))x a∃ ∈ +， 0( ) 0m x = 0 0ex x a= + 0(0 )x x∈ ， ( ) 0m x < ( ) 0 ( )g x g x′ < ， 0( ln( 2))x x a∈ +， ( ) 0m x > ( ) 0 ( )g x g x′ > ， 0 0 022 min 0 0 1 1( ) ( ) e ( ) e e2 2 x x xg x g x x a= = − + = − 0 01e 1 e 02 x x = −  ≥ 0 0e 2 0 ln 2x x⇒ <≤ ≤ 0 0ex x a= + 0 0exa x= − ( ) e (0 ln 2]xt x x x= − ∈， ， ( ) e 1 0xt x′ = − > ( )t x (0 ln 2]， ( ) (ln 2) 2 ln 2t x t = −≤ 1 2 ln 2a< −≤ [ 2 2 ln 2]a∈ − −， 2( ) e ln 1f x x x x x x− − − +≥ 2 2e e ln 1x x x x x x x− − − − +≥ e e ln 1x x x x x− − +≥ 0x > e 1ln e 1 0 x xx x − − − + ≥ e 1( ) ln e 1 x h x xx x = − − − + 2 ( 1)(e 1)( ) xxh x x − −′ = ∵ ，∴ ． 当 时， ， 单减； 当 时， ， 单增． ∴ 在 处有极小值，即最小值， ∴ ， ∴ 且 时，不等式 成立． ………………（12 分） 22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）由题意知，曲线 的参数方程为 ( 为参数)， ∴曲线 的普通方程为 ， ∴曲线 的极坐标方程为 ． ……………………………（4 分） （Ⅱ）设点 ， 的极坐标分别为 ， ， 则由 可得 的极坐标为 ， 由 可得 的极坐标为 ． ∵ ，∴ ， 又 到直线 的距离为 ， ∴ ． ……………………………（10 分） 23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）∵ ， ∴ ∴ 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ， ∴ ， 0x > e 1 0x − > 0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x 1x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( )h x 1x = ( ) (1) e 1 e 1 0h x h = − − + =≥ 0a = 0x > 2( ) e ln 1f x x x x x x− − − +≥ 1C 1 cos sin x t y t  = + =   ， ， t 1C 2 2( 1) 1x y− + = 1C =2cosρ θ P Q 1 1( )ρ θ， 2 2( )ρ θ， 1 1 1 π= 3 =2cos θ ρ θ   ， ， P π1 3     ， 2 2 2 π= 3 π2 cos =3 36 θ ρ θ     −    ， ， Q π3 3     ， 1 2 θ θ= 1 2| | | | 2PQ ρ ρ= − = M l 3 2 1 3 3= 2=2 2 2MPQS × ×△ ( ) | 1| 2 | 1|f x x x= + − − 3 1 ( ) 3 1 1 1 3 1 x x f x x x x x − < − = − − − + > ， ， ， ， ， ， ≤ ≤ ( )f x x 1 03A    ， (3 0)B ， (1 2)C ， 1 8 82 =2 3 3ABCS = × ×△ ∴ 的图象与 轴围成的三角形面积是 ．……………………………（5 分） （Ⅱ）∵ ， ， ∴当且仅当 时， 有最小值 ． 又由（Ⅰ）可知，对 ， ． 恒有 成立， 等价于 ， ， 等价于 ，即 ， ∴实数 的取值范围是 ．……………………………（10 分） ( )f x x 8 3 (0 )s∀ ∈ + ∞， 2 4 4 4( ) 2 4s asg s s a s a as s s − += = + − × − = −≥ 2s = ( )g s 4 a− (0 )t∀ ∈ + ∞， ( ) (1)=2f t f≤ (0 )s t∀ ∈ + ∞， ， ( ) ( )g s f t≥ (0 )s t∀ ∈ + ∞， ， min max( ) ( )g s f t≥ 4 2a− ≥ 2a≤ a ( 2]− ∞，