高考复习 解析几何 椭 圆

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高考复习 解析几何 椭 圆

‎§9.5 椭 圆 ‎1.椭圆的概念 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:‎ ‎(1)若a>c,则集合P为椭圆;‎ ‎(2)若a=c,则集合P为线段;‎ ‎(3)若ab>0)‎ +=1 (a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎-a≤x≤a-b≤y≤b ‎-b≤x≤b-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴  对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)‎ ‎ B1(0,-b),B2(0,b)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ ‎ B1(-b,0),B2(b,0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F1F2|=2c 离心率 e=∈(0,1)‎ a,b,c的关系 c2=a2-b2‎ ‎1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( × )‎ ‎(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( √ )‎ ‎(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( × )‎ ‎(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( √ )‎ ‎2.已知椭圆的焦点在y轴上,若椭圆+=1的离心率为,则m的值是 (  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由题意知a2=m,b2=2,∴c2=m-2.‎ ‎∵e=,∴=,∴=,∴m=.‎ ‎3.(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 D 解析 由题意知c=1,e==,所以a=2,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.‎ ‎4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是__________.‎ 答案 (0,1)‎ 解析 将椭圆方程化为+=1,‎ ‎∵焦点在y轴上,∴>2,即k<1,又k>0,∴0b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.‎ 答案 -1‎ 解析 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A,则|AF1|=c,|AF2|=c,有2a=(1+)c,‎ ‎∴e===-1.‎ 题型一 椭圆的定义及标准方程 例1 (1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 (  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为________.‎ ‎(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1)、P2(-,-),则椭圆的方程为________.‎ 思维启迪 (1)题主要考虑椭圆的定义;‎ ‎(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况;‎ ‎(3)可以用待定系数法求解.‎ 答案 (1)B (2)+y2=1或+=1‎ ‎(3)+=1‎ 解析 (1)点P在线段AN的垂直平分线上,‎ 故|PA|=|PN|,‎ 又AM是圆的半径,‎ ‎∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,‎ 由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.‎ ‎(2)若焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),‎ ‎∵椭圆过P(3,0),∴+=1,即a=3,‎ 又2a=3×2b,∴b=1,方程为+y2=1.‎ 若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).‎ ‎∵椭圆过点P(3,0).∴+=1,即b=3.‎ 又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为+=1.‎ ‎∴所求椭圆的方程为+y2=1或+=1.‎ ‎(3)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).‎ ‎∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆方程. ‎ 则 ‎①、②两式联立,解得 ‎∴所求椭圆方程为+=1.‎ 思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件.‎ ‎(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)的形式.‎ ‎ (1)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.‎ ‎(2)已知P是椭圆+=1上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为________.‎ 答案 (1)+=1 (2)12 解析 (1)方法一 椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.‎ 由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2.‎ 由c2=a2-b2可得b2=4.‎ 所以所求椭圆的标准方程为+=1.‎ 方法二 因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.‎ 设它的标准方程为+=1(a>b>0).‎ 因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16. ①‎ 又点(,-)在所求椭圆上,所以+=1,‎ 即+=1. ②‎ 由①②得b2=4,a2=20,‎ 所以所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=20, ①‎ 在△PF1F2中,由余弦定理,‎ 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=256. ②‎ ‎①2-②得|PF1|·|PF2|=48.‎ ‎∴S△PF1F2=|PF1|·|PF2|sin 60°=12.‎ 题型二 椭圆的几何性质 例2 (1)在Rt△ABC中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过A,B两点,它的一个焦点为点C,另一个焦点在AB上,求这个椭圆的离心率.‎ ‎(2)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是 椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,求·的最大值和 最小值.‎ 思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用,解题(1)的关键是根据题意求出a,c的值;解题(2)的关键是表示出·,根据椭圆的性质确定变量的取值范围.‎ 解 (1)设椭圆的焦半径为c,设另一个焦点为F,如图所示,‎ ‎∵AB=AC=1,△ABC为直角三角形,‎ ‎∴1+1+=4a,则a=.‎ 设FA=x,∴ ‎∴x=,∴1+()2=4c2,∴c=,e==-.‎ ‎(2)设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,‎ ‎∵e==,∴c=1,∴b2=a2-c2=3.‎ 所求椭圆方程为+=1.‎ ‎∴-2≤x0≤2,-≤y0≤.‎ 又F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),‎ =(2-x0,-y0),‎ ‎∴·=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.‎ 当x0=2时,·取得最小值0,‎ 当x0=-2时,·取得最大值4.‎ 思维升华 (1)求椭圆的离心率的方法 ‎①直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组,解出a,c的值.‎ ‎②构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.‎ ‎③通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.‎ ‎(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点. ‎ ‎(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长.‎ ‎(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.‎ 思维启迪 直线与圆锥曲线的关系问题,一般可以直接联立方程,“设而不求”,把方程组转化成关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解.‎ 解 (1)由已知得b=4,且=,即=,‎ ‎∴=,解得a2=20,‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ 则4x2+5y2=80与y=x-4联立,‎ 消去y得9x2-40x=0,∴x1=0,x2=,‎ ‎∴所求弦长|MN|=|x2-x1|=.‎ ‎(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0),‎ 设线段MN的中点为Q(x0,y0),‎ 由三角形重心的性质知=2,‎ 又B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得x0=3,y0=-2,‎ 即得Q的坐标为(3,-2).‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 则x1+x2=6,y1+y2=-4,‎ 且+=1,+=1,‎ 以上两式相减得+=0,‎ ‎∴kMN==-· ‎=-×=,‎ 故直线MN的方程为y+2=(x-3),‎ 即6x-5y-28=0.‎ 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则|AB|= ‎= (k为直线斜率).‎ 提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.‎ ‎ 已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).‎ ‎(1)求椭圆G的方程;‎ ‎(2)求△PAB的面积.‎ 解 (1)由已知得c=2,=,解得a=2.‎ 又b2=a2-c2=4,‎ 所以椭圆G的方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,‎ 由 消去y得4x2+6mx+3m2-12=0.①‎ 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b>0)的左焦点为F1,‎ ‎ 上顶点为B2,右顶点为A2,过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于 点P,若|PA2|=3b,则椭圆C的离心率为________.‎ ‎(2)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、 ‎ F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为 ‎________.‎ 思维启迪 椭圆的离心率利用方程思想,只需利用题目条件得到a,b,c的一个关系式即可.若得到的关系式含b,可利用a2=b2+c2转化为只含a,c的关系式.‎ 解析 (1)由题设知=⇒ ‎==,e=.‎ ‎(2)依题意及正弦定理,‎ 得=(注意到P不与F1F2共线),‎ 即=,‎ ‎∴-1=,∴=+1>,‎ 即e+1>,∴(e+1)2>2.‎ 又0b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(  )‎ A.9 B.1‎ C.1或9 D.以上都不对 答案 C 解析 ,解得a=5,b=3,c=4.‎ ‎∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1.‎ ‎2.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为 (  )‎ A.4 B.3 C.2 D.5‎ 答案 A 解析 由题意知|OM|=|PF2|=3,‎ ‎∴|PF2|=6,∴|PF1|=2×5-6=4.‎ ‎3.已知椭圆+=1的焦距为4,则m等于 (  )‎ A.4 B.8 C.4或8 D.以上均不对 答案 C 解析 由,得2b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 (  )‎ A. B. C. D.-2‎ 答案 B 解析 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,‎ 且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,‎ 即4c2=a2-c2,a2=5c2,‎ 所以e2=,所以e=.‎ ‎5.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为 (  )‎ A. B.1 C.2 D.4‎ 答案 C 解析 圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,‎ 则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0),‎ ‎∴m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).‎ 由题意知直线l的方程为x=-c,‎ 又∵直线l与圆M相切,∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2.‎ 二、填空题 ‎6.(2013·福建)椭圆Г:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.‎ 答案 -1‎ 解析 由直线方程为y=(x+c),‎ 知∠MF1F2=60°,又∠MF1F2=2∠MF2F1,‎ 所以∠MF2F1=30°,‎ MF1⊥MF2,‎ 所以|MF1|=c,|MF2|=c 所以|MF1|+|MF2|=c+c=2a.‎ 即e==-1.‎ ‎7.已知椭圆+=1 (a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A、B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于________.‎ 答案 3‎ 解析 在△ABC中,由正弦定理得=,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以===3.‎ ‎8.椭圆+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________.‎ 答案 (-,)‎ 解析 设椭圆上一点P的坐标为(x,y),‎ 则=(x+,y),=(x-,y).‎ ‎∵∠F1PF2为钝角,∴·<0,‎ 即x2-3+y2<0, ①‎ ‎∵y2=1-,代入①得x2-3+1-<0,‎ x2<2,∴x2<.‎ 解得-b>0)的离心率为,其中左焦点F(-2,0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.‎ 解 (1)由题意,得解得 ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 线段AB的中点为M(x0,y0),‎ 由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,‎ Δ=96-8m2>0,∴-2b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率e.‎ ‎(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.‎ 解 (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),‎ 因为|PF2|=|F1F2|,所以=2c.‎ 整理得2()2+-1=0,解得=-1(舍),或=.‎ 所以e=.‎ ‎(2)由(1)知a=2c,b=c,‎ 可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,‎ 直线PF2的方程为y=(x-c).‎ A,B两点的坐标满足方程组 消去y并整理,得5x2-8cx=0.‎ 解得x1=0,x2=c.‎ 得方程组的解 不妨设A(c,c),B(0,-c),‎ 所以|AB|= =c.‎ 于是|MN|=|AB|=2c.‎ 圆心(-1,)到直线PF2的距离 d==.‎ 因为d2+()2=42,‎ 所以(2+c)2+c2=16.‎ 整理得7c2+12c-52=0,得c=-(舍),或c=2.‎ 所以椭圆方程为+=1.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:30分钟)‎ ‎1.(2013·四川)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 (  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距),‎ kOP=-,kAB=-,由于OP∥AB,‎ ‎∴-=-,y0=,‎ 把P代入椭圆方程得+=1,‎ 而2=,∴e==.选C.‎ ‎2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 (  )‎ A.(0,1) B.(0,]‎ C.(0,) D.[,1)‎ 答案 C 解析 ∵满足·=0的点M在圆x2+y2=c2上,‎ ‎∴圆x2+y2=c2在椭圆内部,即cb>0),‎ 由题意得解得a2=4,b2=3.‎ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,‎ 设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,代入椭圆C的方程得,‎ ‎(3+4k)x2-8k1(2k1-1)x+16k-16k1-8=0.‎ 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,‎ 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k)·(16k-16k1-8)=32(6k1+3)>0,‎ 所以k1>-.‎ 又x1+x2=,x1x2=,‎ 因为·=2,‎ 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,‎ 所以(x1-2)(x2-2)(1+k)=2=.‎ 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k)=.‎ 所以[-2·+4]·(1+k)==,解得k1=±.‎ 因为k1>-,所以k1=.‎ 于是存在直线l1满足条件,其方程为y=x.‎
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