高考复习 解析几何 椭 圆
§9.5 椭 圆
1.椭圆的概念
在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a
b>0)
+=1 (a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a-b≤y≤b
-b≤x≤b-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( √ )
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( × )
(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( √ )
2.已知椭圆的焦点在y轴上,若椭圆+=1的离心率为,则m的值是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知a2=m,b2=2,∴c2=m-2.
∵e=,∴=,∴=,∴m=.
3.(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析 由题意知c=1,e==,所以a=2,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.
4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是__________.
答案 (0,1)
解析 将椭圆方程化为+=1,
∵焦点在y轴上,∴>2,即k<1,又k>0,∴0b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.
答案 -1
解析 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A,则|AF1|=c,|AF2|=c,有2a=(1+)c,
∴e===-1.
题型一 椭圆的定义及标准方程
例1 (1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为________.
(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1)、P2(-,-),则椭圆的方程为________.
思维启迪 (1)题主要考虑椭圆的定义;
(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况;
(3)可以用待定系数法求解.
答案 (1)B (2)+y2=1或+=1
(3)+=1
解析 (1)点P在线段AN的垂直平分线上,
故|PA|=|PN|,
又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,
由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
(2)若焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),
∵椭圆过P(3,0),∴+=1,即a=3,
又2a=3×2b,∴b=1,方程为+y2=1.
若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过点P(3,0).∴+=1,即b=3.
又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为+=1.
∴所求椭圆的方程为+y2=1或+=1.
(3)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆方程.
则
①、②两式联立,解得
∴所求椭圆方程为+=1.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)的形式.
(1)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
(2)已知P是椭圆+=1上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为________.
答案 (1)+=1 (2)12
解析 (1)方法一 椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二 因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.
设它的标准方程为+=1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16. ①
又点(,-)在所求椭圆上,所以+=1,
即+=1. ②
由①②得b2=4,a2=20,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=20, ①
在△PF1F2中,由余弦定理,
得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=256. ②
①2-②得|PF1|·|PF2|=48.
∴S△PF1F2=|PF1|·|PF2|sin 60°=12.
题型二 椭圆的几何性质
例2 (1)在Rt△ABC中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过A,B两点,它的一个焦点为点C,另一个焦点在AB上,求这个椭圆的离心率.
(2)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是
椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,求·的最大值和
最小值.
思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用,解题(1)的关键是根据题意求出a,c的值;解题(2)的关键是表示出·,根据椭圆的性质确定变量的取值范围.
解 (1)设椭圆的焦半径为c,设另一个焦点为F,如图所示,
∵AB=AC=1,△ABC为直角三角形,
∴1+1+=4a,则a=.
设FA=x,∴
∴x=,∴1+()2=4c2,∴c=,e==-.
(2)设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,
∵e==,∴c=1,∴b2=a2-c2=3.
所求椭圆方程为+=1.
∴-2≤x0≤2,-≤y0≤.
又F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),
=(2-x0,-y0),
∴·=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.
当x0=2时,·取得最小值0,
当x0=-2时,·取得最大值4.
思维升华 (1)求椭圆的离心率的方法
①直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组,解出a,c的值.
②构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.
③通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点.
(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长.
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.
思维启迪 直线与圆锥曲线的关系问题,一般可以直接联立方程,“设而不求”,把方程组转化成关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解.
解 (1)由已知得b=4,且=,即=,
∴=,解得a2=20,
∴椭圆方程为+=1.
则4x2+5y2=80与y=x-4联立,
消去y得9x2-40x=0,∴x1=0,x2=,
∴所求弦长|MN|=|x2-x1|=.
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0),
设线段MN的中点为Q(x0,y0),
由三角形重心的性质知=2,
又B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得x0=3,y0=-2,
即得Q的坐标为(3,-2).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=6,y1+y2=-4,
且+=1,+=1,
以上两式相减得+=0,
∴kMN==-·
=-×=,
故直线MN的方程为y+2=(x-3),
即6x-5y-28=0.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=
= (k为直线斜率).
提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(1)求椭圆G的方程;
(2)求△PAB的面积.
解 (1)由已知得c=2,=,解得a=2.
又b2=a2-c2=4,
所以椭圆G的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,
由
消去y得4x2+6mx+3m2-12=0.①
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b>0)的左焦点为F1,
上顶点为B2,右顶点为A2,过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于
点P,若|PA2|=3b,则椭圆C的离心率为________.
(2)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、
F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为
________.
思维启迪 椭圆的离心率利用方程思想,只需利用题目条件得到a,b,c的一个关系式即可.若得到的关系式含b,可利用a2=b2+c2转化为只含a,c的关系式.
解析 (1)由题设知=⇒
==,e=.
(2)依题意及正弦定理,
得=(注意到P不与F1F2共线),
即=,
∴-1=,∴=+1>,
即e+1>,∴(e+1)2>2.
又0b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、选择题
1.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为( )
A.9 B.1
C.1或9 D.以上都不对
答案 C
解析 ,解得a=5,b=3,c=4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1.
2.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.5
答案 A
解析 由题意知|OM|=|PF2|=3,
∴|PF2|=6,∴|PF1|=2×5-6=4.
3.已知椭圆+=1的焦距为4,则m等于 ( )
A.4 B.8 C.4或8 D.以上均不对
答案 C
解析 由,得2b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.-2
答案 B
解析 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,
且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,
即4c2=a2-c2,a2=5c2,
所以e2=,所以e=.
5.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
答案 C
解析 圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,
则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0),
∴m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).
由题意知直线l的方程为x=-c,
又∵直线l与圆M相切,∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2.
二、填空题
6.(2013·福建)椭圆Г:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
答案 -1
解析 由直线方程为y=(x+c),
知∠MF1F2=60°,又∠MF1F2=2∠MF2F1,
所以∠MF2F1=30°,
MF1⊥MF2,
所以|MF1|=c,|MF2|=c
所以|MF1|+|MF2|=c+c=2a.
即e==-1.
7.已知椭圆+=1 (a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A、B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于________.
答案 3
解析 在△ABC中,由正弦定理得=,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以===3.
8.椭圆+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________.
答案 (-,)
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x,y),
则=(x+,y),=(x-,y).
∵∠F1PF2为钝角,∴·<0,
即x2-3+y2<0, ①
∵y2=1-,代入①得x2-3+1-<0,
x2<2,∴x2<.
解得-b>0)的离心率为,其中左焦点F(-2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.
解 (1)由题意,得解得
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
线段AB的中点为M(x0,y0),
由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,
Δ=96-8m2>0,∴-2b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e.
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
解 (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
因为|PF2|=|F1F2|,所以=2c.
整理得2()2+-1=0,解得=-1(舍),或=.
所以e=.
(2)由(1)知a=2c,b=c,
可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,
直线PF2的方程为y=(x-c).
A,B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得5x2-8cx=0.
解得x1=0,x2=c.
得方程组的解
不妨设A(c,c),B(0,-c),
所以|AB|= =c.
于是|MN|=|AB|=2c.
圆心(-1,)到直线PF2的距离
d==.
因为d2+()2=42,
所以(2+c)2+c2=16.
整理得7c2+12c-52=0,得c=-(舍),或c=2.
所以椭圆方程为+=1.
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
1.(2013·四川)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距),
kOP=-,kAB=-,由于OP∥AB,
∴-=-,y0=,
把P代入椭圆方程得+=1,
而2=,∴e==.选C.
2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,]
C.(0,) D.[,1)
答案 C
解析 ∵满足·=0的点M在圆x2+y2=c2上,
∴圆x2+y2=c2在椭圆内部,即cb>0),
由题意得解得a2=4,b2=3.
故椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,
设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,代入椭圆C的方程得,
(3+4k)x2-8k1(2k1-1)x+16k-16k1-8=0.
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k)·(16k-16k1-8)=32(6k1+3)>0,
所以k1>-.
又x1+x2=,x1x2=,
因为·=2,
即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,
所以(x1-2)(x2-2)(1+k)=2=.
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k)=.
所以[-2·+4]·(1+k)==,解得k1=±.
因为k1>-,所以k1=.
于是存在直线l1满足条件,其方程为y=x.