专题31 等差数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题31 等差数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题31等差数列及其前n项和 最新考纲 ‎1.理解等差数列的概念．‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．‎ ‎4.了解等差数列与一次函数的关系.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．‎ ‎2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．‎ ‎4．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎(6)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…构成等差数列．‎ ‎5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn＝na1＋d.‎ ‎6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．‎ ‎7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．‎ ‎【知识拓展】‎ 等差数列的四种判断方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】等差数列基本量的运算 ‎【典型例题】‎ 已知{}是等差数列，且a1，a4＝1，则a10＝（　　）‎ A．﹣5 B．﹣‎11 ‎C．﹣12 D．3‎ ‎【解答】解：∵{}是等差数列，且a1，a4＝1，‎ ‎∴，即，‎ 解得d，‎ ‎∴9d，‎ 解得a10＝﹣11．‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S5＝35，则数列{an}的公差为（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．4 D．7‎ ‎【解答】解：∵a1＝3，S5＝35，∴5×335，解得d＝2．‎ 故选：B． ‎ 思维升华 等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎【题型二】等差数列的判定与证明 ‎【典型例题】‎ 设数列{an}满足关系式：a1＝﹣1，an 试证：（1）试求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）bn＝lg（an+9）是等差数列．‎ ‎（3）若数列{an}的第m项的值，试求m ‎【解答】解：（1）∵a1＝﹣1，an，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令Tn＝an+9，则Tn是公比为的等比数列，，‎ ‎∴，‎ ‎（2）∵bn＝lg（an+9），‎ ‎＝lg12+（lg2﹣lg3）n．‎ 由数列{bn}通项公式可知，{bn}是公差为（lg2﹣lg3）的等差数列．‎ ‎（3）若数列数列{an}的第m项的值，化简得 am＝（29﹣38）÷3612‎ 由an通项公式可知，am＝a7，m＝7． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}、{bn}满足：a1，an+bn＝1，bn+1．‎ ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）证数列{}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（3）设Sn＝a‎1a2+a‎2a3+a‎3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时4λSn＜bn恒成立．‎ ‎【解答】（1）解：∵，∴，，‎ ‎，，．‎ ‎∴；‎ ‎（2）证明：由，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即an﹣an+1＝anan+1，‎ ‎∴‎ ‎∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎∴，则，‎ ‎∴；‎ ‎（3）解：由，‎ ‎∴Sn＝a‎1a2+a‎2a3+…+anan+1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎∴，‎ 要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，‎ 设f（n）＝（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8‎ 当λ＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成立，‎ 当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，‎ 当λ＜l时，对称轴n f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．‎ 只需f（1）＝（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＝（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8＝4λ﹣15＜0‎ ‎∴，∴λ≤1时4λSn＜bn恒成立．‎ 综上知：λ≤1时，4λSn＜bn恒成立．‎ 思维升华 等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．‎ ‎(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.‎ ‎(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．‎ ‎【题型三】等差数列性质的应用 命题点1　等差数列项的性质 ‎【典型例题】‎ ‎．在等差数列{an}中，a1+‎3a8+a15＝60，则a2﹣a8+a14等于（　　）‎ A．10 B．‎12 ‎C．11 D．﹣4‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a1+‎3a8+a15＝60，‎ 可得：‎5a8＝60，解得a8＝12，‎ 则a2﹣a8+a14＝a8＝12，‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知等差数列{an}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差d≠0，且a2，a3，a9成等比数列，‎ ‎∴a2•a9，‎ ‎∴（a1+d）（a1+8d），‎ a1d≠0．‎ 则．‎ 故选：B． ‎ 命题点2　等差数列前n项和的性质 ‎【典型例题】‎ 已知等差数列{an}，a1＝﹣2018，前n项和为Sn，，则S2019＝（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2018 D．2019‎ ‎【解答】解：因为数列{an}为等差数列，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以{}是为首项是﹣2018，公差为1的等差数列，‎ 所以2018+（2019﹣1）×1＝0，‎ 所以S2019＝0．‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，则使Sn取得最大值时n的值为（　　）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，‎ ‎∴‎2a1+12d＝6，‎3a1+21d＝3，‎ 联立解得：a1＝15，d＝﹣2，‎ ‎∴an＝15﹣2（n﹣1）＝17﹣2n．‎ 令an＝17﹣2n≥0，解得n≤8．‎ 则使Sn取得最大值时n的值为8．‎ 故选：D．‎ 思维升华 等差数列的性质 ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；‎ ‎②S2n－1＝(2n－1)an.‎ 基础知识训练 ‎1．【西省太原市2019届高三上学期期末考试】已知数列{an}为等差数列，，若，则＝( )‎ A．-22019 B．‎22020 ‎C．-22017 D．2201‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 数列为等差数列，且，则 ，‎ 又 ，则，‎ ‎ ，‎ ‎， 同理 ，以此类推，‎ 又 ，‎ 所以。‎ 故答案选A。‎ ‎2．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】已知数列为等差数列，为其前项和，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎3．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】记等差数列的前项和为.若，，则的公差为（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎C．-2 D．-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由等差数列性质可知，，解得，故.故选：A.‎ ‎4．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】等差数列中，，，则数列前6项和为（）‎ A．18 B．‎24 ‎C．36 D．72‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵等差数列中，，∴，即，‎ ‎∴，‎ 故选C.‎ ‎5．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】记为等差数列的前项和，若，，则（ ）‎ A．8 B．‎9 ‎C．16 D．15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，因为，，‎ 即，解得，‎ 所以，故选D．‎ ‎6．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试 ‎】我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）‎ A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为每一尺的重量构成等差数列，，，‎ ‎，‎ 数列的前5项和为．‎ 即金锤共重15斤，‎ 故选D．‎ ‎7．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】等差数列{}的前n项和为，若,，则( )‎ A．16 B．‎14 ‎C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为等差数列{}的前n项和为，且，‎ 所以，解得；‎ 又，所以.‎ 故选A ‎8．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ）‎ A．2 B．2或‎32 ‎C．2或-32 D．-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：设等比数列的公比为q（），‎ 成等差数列，‎ ‎，，‎ ‎，解得：，‎ ‎，，‎ 故选B.‎ ‎9．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】等差数列，等比数列，满足，，则能取到的最小整数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，‎ 由，，可得，‎ 则，‎ 可得能取到的最小整数是．‎ 故选：B．‎ ‎10．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知等差数列的公差不为零，为其前项和，，且，， 构成等比数列，则（　　）‎ A．15 B．‎-15 ‎C．30 D．25‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：设等差数列的公差为，‎ 由题意，，解得．‎ ‎∴ ．‎ 故选：D．‎ ‎11．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试】在等差数列中，，是方程 的两根，则数列的前11项和等于（ ）‎ A．66 B．‎132 ‎C．-66 D．-132‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，是方程的两根，所以，‎ 又，所以，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ ‎12．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模】已知公差d≠0的等差数列 满足a1＝1，且a2、a4－2、a6成等比数列，若正整数m、n满足m－n＝10，则am－an＝（　　）‎ A．30 B．‎20 ‎C．10 D．5或40‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：设等差数列的公差为，‎ 因为a2、a4－2、a6成等比数列，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，‎ 解得或，‎ 因为公差d≠0，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎13．【天津市耀华中学2019届高三第二次月考】记为等差数列的前n项和，若，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴，整理，得，‎ ‎∴，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎14．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】已知数列满足，，则______．‎ ‎【答案】10000‎ ‎【解析】‎ 解：数列满足，，‎ 可得，‎ 可得，数列是等比数列，‎ 则.‎ 故答案为：10000．‎ ‎15．【2018-2019学年北京师大附中高三（下)月考】设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为______．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】‎ 由数列的前n项和为，，又，‎ 故，则的偶数项成等差数列，‎ 则,（n为偶数）‎ 又，， ‎ 为等差数列，首项为3，公差为4，‎ 当n为偶数时，设数列的前n项和为，‎ 可得，，‎ 则 +若，无解舍去 当n为奇数时， -(=,又所以解

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