2019届二轮复习等差数列及其前n项学案（全国通用）

2019届二轮复习等差数列及其前n项学案（全国通用）

‎1．理解等差数列的概念 ‎2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 ‎4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系 热点题型一 等差数列的基本运算 例1、（2018年全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，‎ 整理解得，所以，故选B.‎ ‎【变式探究】已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}的前 项和S ＝－35，求 的值。‎ ‎【提分秘籍】‎ 等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差为d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)‎ A．85 B．135 C．95 D．23‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 则解得 ‎∴S10＝10×(－4)＋×3＝95。‎ 热点题型二 等差数列的判定与证明 例2、若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝。‎ ‎(1)求证：{}成等差数列； ‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数。‎ ‎(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－‎ an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列。‎ ‎(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列。‎ ‎(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列。‎ 提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判 ‎【举一反三】 ‎ 设数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，且an＝(n≥2)。证明数列{}是等差数列，并求Sn。‎ 热点题型三 等差数列的性质及其应用 例3．（2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【变式探究】设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)‎ A．－6 B．－4‎ C．－2 D．2‎ ‎(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为__________。‎ ‎【答案】(1)A (2) 210‎ ‎【解析】(1)S8＝4a3⇒＝4a3⇒a3＋a6＝a3，‎ ‎∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6。‎ ‎(2)记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎(1)等差数列通项性质的应用要注意观察数列各项的项数之间“和”相等的关系，找到解题的切入点。‎ ‎(2)等差数列前n项和性质的应用要注意深刻理解“依次 项之和成等差数列”的真正含义，然后列方程求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 在等差数列{an}中。若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，则n＝__________。‎ ‎【答案】26‎ ‎【解析】依题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67。‎ 由等差数列的性质知a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22。‎ 又Sn＝，即286＝，∴n＝26。 ‎ 热点题型四 等差数列前n项和的最值 例4、已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N )，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72。若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值。‎ ‎【提分秘籍】‎ 若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，①若a1＞0，d＜0，且满足前n项和Sn最大；②若a1＜0，d＞0，且满足前n项和Sn最小；③除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0。‎ ‎(1)求公差d的取值范围；‎ ‎(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由。‎ ‎ ‎ ‎1. （2018年全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，‎ 整理解得，所以，故选B.‎ ‎2. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．‎ ‎（1）设，若对均成立，求d的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．‎ ‎【答案】（1）d的取值范围为．‎ ‎（2）d的取值范围为，证明见解析。 …… ‎ 从而，，对均成立．‎ 因此，取d=0时，对均成立．‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．‎ ‎①当时，，‎ 当时，有，从而．‎ 因此，当时，数列单调递增，‎ 故数列的最大值为．‎ ‎②设，当x>0时，，‎ 所以单调递减，从而100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下：‎ 则该数列的前项和为 ‎，‎ ‎3.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C． …… ‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C.‎ ‎2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，‎ ‎3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．+X+X ‎4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）‎ A、-1 B、0 C、1 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，选B.‎ ‎2.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，‎ 必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D． …… ‎ ‎3.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错 ‎【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .‎ ‎【答案】10．‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，即 ‎，所以，故应填入．‎ ‎【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎1．（2014·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.‎ ‎2．（2014·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ ‎【答案】8　‎ ‎【解析】∵a7＋a8＋a9＝‎3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n＝8时，数列{an}的前n项和最大．‎ ‎3．（2014·福建卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)‎ A．8 B．‎10 C．12 D．14 ‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.‎ ‎4．（2014·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】(1)设数列{an}的公差为d，‎ 依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，‎ 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，‎ 化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.‎ 当d＝0时，an＝2；‎ 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.‎ 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.‎ ‎(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，‎ 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．‎ 当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.‎ 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，‎ 解得n>40或n<－10(舍去)，‎ 此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.‎ 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；‎ 当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41. …… ‎ ‎5．（2014·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1， an＋1－an ＝pn，n∈N .‎ ‎(1)若{an}是递增数列，且a1，‎2a2，‎3a3成等差数列，求p的值；‎ ‎(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．‎ ‎【解析】(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝ an＋1－an ＝pn.而a1＝1，因此.又a1，‎2a2，‎3a3成等差数列，所以‎4a2＝a1＋‎3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.‎ 于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝＋·.‎ ‎6．（2014·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{‎2a1an}为递减数列，则(　　) ‎ A．d<0 B．d>‎0 C．a1d<0 D．a1d>0‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】令bn＝‎2a1an，因为数列{‎2a1an}为递减数列，所以＝＝‎2a1(an＋1－an)＝‎2a1d<1，所得a1d<0.‎ ‎7．（2014·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎＋…＋＝＝.‎ ‎8．（2014·新课标全国卷Ⅰ 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎9．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. …… ‎ 所以Tn＝ ‎10．（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．‎ ‎11．（2014·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】∵S2＝‎2a1－1，S4＝‎4a1＋×(－1)＝‎4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，‎ ‎∴(‎2a1－1)2＝a1(‎4a1－6)，解得a1＝－.‎ ‎12．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2 ＋1)>f(1)＝a2，即 …… ‎ ‎1>c>a2 ＋2>a2.‎ 再由f(x)在(－∞，1 上为减函数，得c＝f(c)f(a2 ＋1)＝a2 ＋2，‎ a2( ＋1)＝f(a2 ＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.‎ 所以a2n＋1>－1，解得a2n＋1>.　④‎ 综上，由②③④知存在c＝使a2n2的最小正整数，‎ 则m≥2，并且对任意1≤ 2，‎ 于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}>1.‎ 故dm－1＝Am－1－Bm－1<2－1＝1，与dm－1＝1矛盾．‎ 所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.‎ 因为对任意n≥1，an≤2＝a1， . ‎ 所以An＝2.‎ 故Bn＝An－dn＝2－1＝1.‎ 因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.‎ ‎17．（2013·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ ‎18．（2013·山东卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N )，求数列{cn}的前n项和Rn.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1‎ 得 解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N .‎ ‎(2)由题意知Tn＝λ－，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.‎ 故cn＝b2n＝＝(n－1)，n∈N .‎ 所以Rn＝0×＋1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×，‎ 则Rn＝0×＋1×＋2×＋…＋(n－2)×＋(n－1)×，‎ 两式相减得 Rn＝＋＋＋…＋－(n－1)× ‎＝－(n－1)× ‎＝－，‎ 整理得Rn＝4－.‎ 所以数列{cn}的前n项和Rn＝4－. …… ‎ ‎19．（2013·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．‎ ‎ ‎ ‎20．（2013·新课标全国卷Ⅱ 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．‎ ‎【答案】－49 　‎ ‎【解析】由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝d＝，a1＝－3，∴nSn＝，易得n＝6或n＝7时，nSn出现最小值．当n＝6时，nSn＝－48；n＝7时，nSn＝－49.故nSn的最小值为－49.‎ ‎21．（2013·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．‎ ‎【答案】64　‎ ‎【解析】设数列{an}的公差为d，由a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋×2＝64.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎