【数学】2014高考专题复习：第6章 数列 第1节 等差数列、等比数列的概念及求和 (2)

【数学】2014高考专题复习：第6章 数列 第1节 等差数列、等比数列的概念及求和 (2)

‎【数学】2014版《6年高考4年模拟》‎ 第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分 六年高考题荟萃 ‎2013年高考题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数列满足,则的前10项和等于 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案：C ‎ 所以3an+1+an=0‎ 所以 所以数列{an}是以﹣为公比的等比数列 因为 所以a1=4‎ 由等比数列的求和公式可得，s10==3（1﹣3﹣10）‎ 故选C ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列的公比为q,记 则以下结论一定正确的是( )‎ A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 答案：C ‎ 等比数列的公比为q, 同理可得,‎ 数列为等比数列，故选C ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列的前项和为,已知,,则 (A) (B) (C) (D)‎ 答案：C ‎ 设等比数列{an}的公比为q，因为S3=a2+10a1，a5=9，所以，解得．所以．故选C．‎ ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24‎ 答案：A 本题考查等比数列的运算。由，即，解得或。当时，前三项为不成立，舍掉。当时，前三项为，公比为，所以第四项为，选A.‎ ．（2013年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.‎ 解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项和或 ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数 的值为_____________.‎ 答案：12 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又时符合题意，所以的最大值为 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则 答案：‎ ‎【命题立意】本题考查等差数列，等比数列的基本运算以及数列求和。因为成等比数列，所以，即，所以，即，所以。所以。‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列中,已知,则_____.‎ 答案： ‎ ‎；依题意,所以.‎ ‎ 或:‎ ．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.‎ 答案：2, ‎ 设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为a2+a4=20，a3+a5=40，所以，解得．‎ 所以==2n+1﹣2．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.‎ ‎(1)求; (2)若,求 解:(Ⅰ)由已知得到: ; (Ⅱ)由(1)知,当时,, ①当时, ②当时, ‎ 所以,综上所述:; ‎ ‎2012年高考题 一、选择题 ‎1.【2012高考重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=‎ ‎ A.7 B.15 C.20 D.25 ‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.‎ ‎2.【2012高考浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是 A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0‎ C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列 ‎【答案】C ‎【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．故选C。‎ ‎3.【2012高考新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为等比数列，所以，又，所以 或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.‎ ‎4.【2012高考上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．50 C．75 D．100‎ ‎【答案】D ‎【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0。‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎ ‎5.【2012高考辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，，答案为B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。‎ ‎6.【2012高考福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B.‎ 考点：等差数列的定义。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式。‎ ‎【解析】法1：由等差中项的性质知，又.故选B.‎ 法2：‎ ‎7.【2012高考安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】．‎ ‎8.【2012高考全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。‎ ‎【解析】由,得，所以，所以，又，选A.‎ 二、填空题 ‎9.【2012高考浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．‎ 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．‎ ‎10.【2012高考新课标理16】数列满足，则的前项和为 ‎ ‎【答案】1830‎ ‎【解析】由得，‎ ‎，‎ 即，也有，两式相加得，设为整数，‎ 则，‎ 于是 ‎11.【2012高考辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。‎ ‎12.【2012高考江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。‎ ‎【答案】35‎ ‎【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 ‎【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列.‎ 故由等差中项的性质，得，即，解得.‎ ‎（解法二）设数列的公差分别为,‎ 因为,‎ 所以.所以.‎ ‎【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前项和，等差中项的性质等.‎ ‎13.【2012高考北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，。‎ ‎14.【2012高考广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得到，即，应为{an}是递增的等差数列，所以，故。‎ 三、解答题 ‎15【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎16.【2012高考湖北理18】（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎17.【2012高考广东理19】（本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ （1） 求a1的值；‎ （2） 求数列{an}的通项公式．‎ （3） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.‎ ‎【解析】（1） 相减得：‎ ‎ ‎ ‎ 成等差数列 ‎ （2）得对均成立 ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ （3）当时，‎ 当时，‎ ‎ 由上式得：对一切正整数，有。‎ ‎18.【2012高考陕西理17】（本小题满分12分）‎ 设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）证明：对任意，成等差数列。‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为（）。‎ 由成等差数列，得，即。‎ 由得，解得，（舍去），所以。‎ ‎（2）证法一：对任意，（lby lfx）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 所以，对任意，成等差数列。‎ 证法二：对任意，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 因此，对任意，成等差数列。‎ ‎19.【2012高考重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）‎ ‎ 设数列的前项和满足，其中.‎ ‎ （I）求证：是首项为1的等比数列；‎ ‎（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.‎ ‎【答案】（1）证明：由，得，即。‎ ‎ 因，故，得，‎ ‎ 又由题设条件知，‎ ‎ 两式相减得，即，‎ ‎ 由，知，因此 ‎ 综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。‎ （2） 当或时，显然，等号成立。‎ ‎ 设，且，由（1）知，，，所以要证的不等式化为：‎ 即证：‎ 当时，上面不等式的等号成立。‎ 当时，与，（）同为负；‎ 当时， 与，（）同为正； ‎ 因此当且时，总有 （）（）>0,即 ‎，（）。‎ 上面不等式对从1到求和得，‎ 由此得 综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。‎ ‎20.【2012高考江西理16】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn。‎ ‎【答案】解: （1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以 （1） 因为，‎ 所以 ‎【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.‎ 利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.‎ ‎21.【2012高考湖南理19】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… ‎ （1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，‎ 则 ‎　　　，‎ 于是得即 ‎　　　‎ 由有即，从而.‎ 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.‎ ‎22.【2012高考山东理20】本小题满分12分）‎ 在等差数列中，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）因为是一个等差数列，‎ 所以，即．‎ 所以，数列的公差，‎ 所以，‎ ‎ （Ⅱ）对，若 ，‎ 则 ，因此 ，‎ 故得 （lb ylfx）‎ 于是 ‎ ‎2011年高考题 一、选择题 ‎1．（天津理4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为 的前项和，，则的值为 ‎ A．-110 　　 B．-90 　　 ‎ ‎ C．90 　 D．110‎ ‎【答案】D ‎2．（四川理8）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则 ‎ A．0 B．3 C．8 D．11‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知知由叠加法 ‎3．（全国大纲理4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【答案】D ‎4．（江西理5） 已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=‎ ‎ A．1 B．9 C．10 D．55‎ ‎【答案】A 二、填空题 ‎5．（湖南理12）设是等差数列，的前项和，且，‎ 则= ．‎ ‎【答案】25‎ ‎6．（重庆理11）在等差数列中，，则__________‎ ‎【答案】74‎ ‎7．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。—2 ‎ ‎【答案】‎ ‎8．（广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则 k=____________．‎ ‎【答案】10‎ ‎9．（江苏13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎10．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立 ‎ （1）设的值；‎ ‎ （2）设的通项公式 本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。‎ ‎ 解：（1）由题设知，当，‎ ‎ 即，‎ ‎ 从而 ‎ 所以的值为8。‎ ‎ （2）由题设知，当 ‎ ，‎ ‎ 两式相减得 ‎ 所以当成等差数列，且也成等差数 列 ‎ 从而当时， （*）‎ ‎ 且，‎ ‎ 即成等差数列，‎ ‎ 从而，‎ ‎ 故由（*）式知 ‎ 当时，设 ‎ 当，从而由（*）式知 ‎ 故 ‎ 从而，于是 ‎ 因此，对任意都成立，又由可知，‎ ‎ 解得 ‎ 因此，数列为等差数列，由 ‎ 所以数列的通项公式为 ‎11．（北京理20）‎ ‎ 若数列满足，数列为数列，记=．‎ ‎ （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎ （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ ‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.‎ ‎ 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上，结论得证。‎ ‎ （Ⅲ）令 ‎ 因为 ‎ ……‎ ‎ ‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当 时，有 当的项满足，‎ 当不能被4整除，此时不存在E数列An，‎ 使得 ‎12．（广东理20） ‎ ‎ 设b>0,数列满足a1=b，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎ 解：‎ ‎ （1）由 ‎ 令，‎ ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时，‎ ‎ ‎ ‎ ②当 ‎ ‎ ‎ （2）当时，（欲证）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 综上所述 ‎13．（湖北理19）‎ 已知数列的前项和为，且满足：，N*，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）‎ ‎ 解：（I）由已知可得，两式相减可得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 又所以r=0时，‎ ‎ 数列为：a，0，…，0，…；‎ ‎ 当时，由已知（），‎ ‎ 于是由可得，‎ ‎ 成等比数列，‎ ‎ ，‎ ‎ 综上，数列的通项公式为 ‎ （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：‎ ‎ 当r=0时，由（I）知，‎ ‎ 对于任意的，且成等差数列，‎ ‎ 当，时，‎ ‎ ‎ ‎ 若存在，使得成等差数列，‎ ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎ 由（I）知，的公比，于是 ‎ 对于任意的，且 ‎ 成等差数列，‎ ‎ 综上，对于任意的，且成等差数列。‎ ‎14．（辽宁理17） ‎ 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前n项和．‎ 解：‎ ‎ （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 ………………5分 ‎ （II）设数列，即，‎ 所以，当时，‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 综上，数列 ………………12分 ‎15．（全国大纲理20） ‎ 设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 解：‎ ‎ （I）由题设 ‎ 即是公差为1的等差数列。‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ （II）由（I）得 ‎ ， …………8分 ‎ …………12分 ‎16．（山东理20） ‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．‎ 解：（I）当时，不合题意；‎ 当时，当且仅当时，符合题意；‎ 当时，不合题意。‎ 因此 所以公式q=3，‎ 故 ‎ （II）因为 所以 ‎ 所以 当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 综上所述，‎ ‎17．（上海理22） 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ‎。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；‎ ‎（3）求数列的通项公式。‎ 解：⑴ ；‎ ‎⑵ ① 任意，设，则，即 ‎② 假设（矛盾），∴ ‎ ‎∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。‎ ‎⑶ ，‎ ‎，，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 当时，依次有，……‎ ‎∴ 。‎ ‎18．（天津理20） ‎ 已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（III）设证明：．‎ 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎ （I）解：由 ‎ 可得 又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得 即 又 因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎19．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式及 ‎（2）记，，当时，试比较与的大小．‎ 本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。‎ ‎ （I）解：设等差数列的公差为d，由 得 因为，所以所以 ‎（II）解：因为，所以 因为，所以 当，‎ 即 所以，当 当 ‎20．（重庆理21） ‎ 设实数数列的前n项和，满足 ‎ （I）若成等比数列，求和；‎ ‎ （II）求证：对 ‎ ‎ ‎ （I）解：由题意，‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ （II）证法一：由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因，由①得 要证，由①只要证 即证 此式明显成立.‎ 因此 最后证若不然 又因矛盾.‎ 因此 证法二：由题设知，‎ 故方程（可能相同）.‎ 因此判别式 又由 因此，‎ 解得 因此 由，得 因此 ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010浙江理）（3）设为等比数列的前项和，，则 ‎（A）11 （B）5 （C） （D）‎ 解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 ‎2.（2010全国卷2理）（4）.如果等差数列中，，那么 ‎（A）14 （B）21 （C）28 （D）35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.‎ ‎【解析】‎ ‎3.（2010辽宁文）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比 ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎【答案】 B 解析：选B. 两式相减得， ，.‎ ‎4.（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。‎ ‎【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。‎ ‎5.（2010全国卷2文）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=‎ ‎（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查了数列的基础知识。‎ ‎∵ ，∴ ‎ ‎6.（2010安徽文）(5)设数列的前n项和，则的值为 ‎（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64‎ ‎【答案】 A ‎【解析】.‎ ‎【方法技巧】直接根据即可得出结论.‎ ‎7.（2010浙江文）(5)设为等比数列的前n项和，则 ‎(A)-11 (B)-8‎ ‎(C)5 (D)11‎ 解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎8.（2010重庆理）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 ‎ ‎【答案】A 解析： ‎ ‎9.（2010广东理）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=‎ A．35 B.33 C.31 D.29‎ ‎【答案】C 解析：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．‎ ‎ ∴，即．，即．‎ ‎10.（2010广东文）‎ ‎11.（2010山东理）‎ ‎12.（2010重庆文）（2）在等差数列中，，则的值为 ‎（A）5 （B）6‎ ‎（C）8 （D）10‎ ‎【答案】 A 解析：由角标性质得，所以=5‎ 二、填空题 ‎1.（2010辽宁文）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。‎ 解析：填15. ,解得，‎ ‎2.（2010福建理）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，解得，所以通项。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。‎ ‎3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________‎ 解析：考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，‎ 所以。‎ 三、解答题 ‎1.（2010上海文）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。‎ 已知数列的前项和为，且，‎ ‎(1)证明：是等比数列；‎ ‎(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.‎ 解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； ‎ 由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．‎ ‎2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.‎ ‎ 解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，‎ ‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，‎ ‎ 解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.‎ ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得 ‎ Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.‎ ‎3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）‎ 已知是各项均为正数的等比数列，且 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和。‎ ‎【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。‎ ‎（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。‎ ‎（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。‎ ‎4.（2010江西理）22. （本小题满分14分）‎ 证明以下命题：‎ （1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b0 ‎ 由a2+a7＝16.得 ①‎ 由得 ②‎ 由①得将其代入②得。即 ‎ ‎ ‎（2）令 两式相减得 于是 ‎=-4=‎ ‎27. （2009福建卷文）等比数列中，已知 ‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。‎ 解：（I）设的公比为 由已知得，解得 ‎（Ⅱ）由（I）得，，则，‎ ‎ 设的公差为，则有解得 ‎ 从而 ‎ 所以数列的前项和 ‎28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 解：（Ⅰ），所以 ‎（Ⅱ）由得即 所以当时，于是 所以 ‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立 当时，有 所以 ‎ ‎ ‎ ‎2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( )‎ A.12　　 　 　B.13　　　 　　C.14　　 　　 D.15‎ 答案 B ‎2.（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）‎ A．64 B．100 C．110 D．120‎ 答案 B ‎3.（2008广东）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．16 B．24 C．36 D．48‎ 答案 D ‎ ‎4.（2008浙江）已知是等比数列，，则=（ ）‎ A.16（） B.6（） ‎ C.（） D.（）‎ 答案 C ‎5.（2008四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()‎ A.　　　　　 B.　‎ C.　　　　　 D.‎ 答案 D ‎6.（2008福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为( )‎ A.63 B.64 C.127 D.128‎ 答案 C ‎7.（2007重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ 答案 A ‎ ‎8.（2007安徽）等差数列的前项和为若（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ 答案 B ‎9.（2007辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则（　　）‎ A．63 B．45 C．36 D．27‎ 答案 B ‎10.(2007湖南) 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案 B ‎11.(2007湖北)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 答案 D ‎12.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ 答案 D ‎13.(2007四川)等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ 答案 B 二、填空题 ‎15.（2008四川）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______.‎ 答案 4‎ ‎16.（2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .‎ 答案 -72‎ ‎17.(2007全国I) 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．‎ 答案 ‎ ‎18.（2007江西）已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ 答案 7‎ ‎19.（2007北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎21.（2008四川卷）． 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 解 由题意知，且 两式相减得 即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 ‎ ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 ‎22.（2008江西卷）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证.‎ 解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，‎ ‎，‎ 依题意有①‎ 由知为正有理数，故为的因子之一，‎ 解①得 故 ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎23..（2008湖北）.已知数列和满足：‎ ‎,其中为实数，为正整数.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ‎?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即 矛盾.‎ 所以｛an｝不是等比数列.‎ ‎(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)‎ ‎=(-1)n·（an-3n+21）=-bn 又b1x-(λ+18),所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：‎ 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).‎ 故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.‎ ‎∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=-‎ 要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a-1, f'(x)= -1=,‎ x ‎(-1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴极大值为f(0)=0，也是所求最大值；……………………4分 ‎（Ⅱ）an+1=，∴an+1-1=，∴=-1-，……………………5分 则bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+=-2(bn+), b1+=1, ‎ ‎∴数列{ bn+}是首项为1，公比为-2的等比数列，…………………7分 ‎∴bn+=(-2)n-1, ……………………8分 ‎∴an=+1=+1，……………………9分 明显a1=2.5>-1，n≥2时(-2)n-1-<-2, ∴an>0>-1恒成立，‎ ‎∴数列{an}为无穷数列。……………………11分 ‎（Ⅲ）由⑴ln(1+x) ≤x，∴ln(1++)< ln(1+)3……………………12分 ‎=3 ln(1+)≤3×=成立。 ………14分 ‎52．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）（12分）数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．‎ 证明：(1)．数列{}是等比数列；‎ ‎(2)．Sn+1=4an.‎ 答案 ．（12分）‎ 证明：(1)．数列{}是等比数列；‎ ‎(2)．Sn+1=4an.‎ ‎（1）由 得： 即 所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．‎ ‎（2）由（1）得 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎53．（广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理）‎ ‎（14分）已知数列中,,且 ‎（1）求证：;‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎(3)设,是数列的前项和,求的解析式;‎ 答案 ‎ 解: ‎ 故,．……………………………………1分 又因为 则,即．………………………3分 所以, ……………………………………4‎ ‎(2) ‎ ‎= …………………………………8‎ 因为= ‎ 所以,当时, ………………………9‎ 当时,……….(1)‎ 得……(2)‎ ‎ =‎ ‎ …………………………12‎ 综上所述: ……………………………14‎ ‎54.（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设四边形的面积是，求证：‎ 答案 解：（1）由得∵ ， ∴ ， ‎ 故是公比为2的等比数列 ‎∴.…………………………………………………………6分 ‎（2）∵ ， ‎ ‎∴, 而 ， …………………9分 ‎ ∴四边形的面积为：‎ ‎∴,‎ 故.……………………………………………14分 ‎55.（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）（本小题满分15分）‎ 甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml， 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和. 记，，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为， ‎ ‎（I）试用，表示，； ‎ ‎（II）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；‎ ‎（III）求出数列｛｝，｛｝的通项公式.‎ 答案 （本小题满分15分）‎ ‎（1）‎ ‎（2）两式相减 ‎ 所以等比 两式相加 ‎＝…….＝ 所以常数列；‎ ‎（3） ‎ ‎56．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足递推式： ‎ ‎ （1）若的通项公式；‎ ‎ （2）求证： ‎ 答案 解：（1）‎ ‎ ………………5分 ‎ （2）由（2）知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎57．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）（22分）已知函数的反函数为，数列满足：‎ ‎ 处的切线在y轴上的截距为 ‎ （1）若数列的通项公式；‎ ‎ （2）若数列的取值范围；‎ ‎ （3）令函数 证明：‎ 答案 ‎ ‎58.（浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）（本小题满分14分）从集合中，抽取三个不同元素构成子集．‎ ‎（Ⅰ）求对任意的，满足的概率；‎ ‎（Ⅱ）若成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望．‎ 答案 (Ⅰ)基本事件数为，满足条件 ‎，及取出的元素不相邻，则用插空法，有种 ‎ 故所求事件的概率是 7分 ‎（Ⅱ）分析三数成等差的情况：‎ ‎ 的情况有7种，123，234，345，456，567，678，789‎ ‎ 的情况有5种，135，246，357，468，579‎ ‎ 的情况有3种，147，258，369‎ ‎ 的情况有1种，159‎ 分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎． 14分 ‎2010年联考题 题组二 一、填空题 ‎1．（岳野两校联考）等差数列中，，公差，且、、恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为（ ）‎ A．2 B． C． D．4‎ 答案 D ‎2.（三明市三校联考）在等比数列中，已知，则的值为 （ ） ‎ ‎ A．16 B．24 C．48 D．128‎ 答案A ‎3.（昆明一中一次月考理）已知是公比为的等比数列，且成等差数列. 则 ‎ ‎ A．1或 B．1 C． D ．‎ 答案:A ‎ ‎4. (安徽六校联考)若等差数列的前项和为，且为确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数是( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 B ‎5．（昆明一中四次月考理）等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C）8 （D）6‎ 答案：A ‎6. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知等差数列的前项和为，若等于（ ）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ 答案D ‎ ‎7．（玉溪一中期中理）等差数列中，，其前项和为，且（ ）‎ A． B．1 C． 0 D． 2 ‎ 答案：C ‎8.（祥云一中二次月考理）各项均为正数的等比数列的前项和为，若则等于（ ）‎ A.16 B. 26 C. 30 D. 80‎ 答案：C ‎9.（祥云一中二次月考理）在数列的值为 （ ）‎ ‎ A. 4950 B 4951 C.5050 D. 5051 ‎ 答案：B ‎ ‎10.（祥云一中二次月考理）在等差数列成等比数列，则的通项公式为 （ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. 或 答案：D 二、填空题 ‎11．（安庆市四校元旦联考）对于数列{}，定义数列{}为数列{}的 ‎“差数列”，若，{}的“差数列”的通项 为，则数列{}的前项和= ‎ 答案 ‎ ‎12．（祥云一中三次月考理）已知数列的通项公式为，数列的前项和为,则=_________‎ 答案：1‎ ‎13. （祥云一中三次月考文） 数列中，，则= ‎ 答案：2‎ 三、解答题 ‎14. （池州市七校元旦调研）在数列中，, ‎ ‎（I）设，求数列的通项公式; ‎ ‎（II）求数列的前项和 解：（I）由已知有 ‎ 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎（II）由（I）知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得 =‎ ‎15.（三明市三校联考）（本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和为，，且（为正整数）‎ ‎（Ⅰ）求出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.‎ 解：（Ⅰ）， ① 当时，. ② ‎ ‎ 由 ① - ②，得. . ‎ ‎ 又 ，，解得 . ‎ ‎ 数列是首项为1，公比为的等比数列.‎ ‎ （为正整数） ……………………（7分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎ 由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.‎ ‎ 数列单调递增， 当时，数列中的最小项为， ‎ ‎ 必有，即实数的最大值为1 ……………… （13分）‎ ‎16. （安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 ；‎ ‎⑴求常数的值； ⑵求数列的通项公式；‎ ‎⑶记，求数列的前项和。‎ 解：（1）由及，得： ‎ ‎ （2）由 ①‎ ‎ 得 ②‎ ‎ 由②—①，得 ‎ ‎ 即：‎ ‎ ‎ ‎ 由于数列各项均为正数， 即 ‎ ‎ 数列是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎ 数列的通项公式是 ‎ ‎ （3）由，得： ‎ ‎ ‎ ‎17.（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）‎ 在数列 ‎（1）‎ ‎（2）设 ‎（3）求数列 ‎18.解（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）证法一：对于任意 ‎ ‎ ‎ =，‎ ‎ 数列是首项为，公差为1的等差数列.‎ ‎ 证法二：（等差中项法）‎ ‎ （3）由（2）得，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 即 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 两式相减得，‎ ‎ ‎ ‎ 整理得， ‎ ‎ 从而 题组一（1月份更新）‎ 一、选择题 ‎1、（2009滨州一模）等差数列中，，，则的值为 A．15 B．23 C．25 D．37‎ 答案 B ‎2、（2009昆明市期末）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1，a3，a4成等比数列，‎ Sn为数列{an}的前n 项和，则的值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎3、（2009番禺一模）已知等比数列的各项均为正数，前项之积为，若＝，则必有（ 　）‎ A．＝1　　　 　 B．＝1　　　 C．＝1　　 　 D．＝1‎ 答案 B ‎4、（2009昆明一中第三次模拟）己知等比数列满足则=( )‎ A．64 B81 C．128 D．243‎ 答案 A ‎5、（2009茂名一模）已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于（ ）‎ A、-4 B、-6 C、-8 D、8‎ 答案 D ‎6、（2009牟定一中期中）等比数列中，若、是方程的两根，则的值为( )‎ ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ 答案 B ‎7、（2009上海十四校联考）无穷等比数列…各项的和等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案B ‎8、（2009江门一模）已知数列的前项和，是等比数列的充要条件是 A. B C. D.‎ 答案 D ‎9、（2009杭州高中第六次月考）数列{}满足，，是的前项和，则的值为 （ ）‎ ‎ A． B． C．6 D．10‎ 答案A ‎10、（2009聊城一模）两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b，则双曲线的离心率e等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案B ‎11、（2009深圳一模）在等差数列中，，表示数列的前项和，则 A． B． C． D．‎ 答案 B 二、填空题 ‎1、（2009上海十四校联考）若数列为 ‎“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的 条件 ‎2、（2009上海八校联考）在数列中，，且，_________。‎ 答案 2550‎ ‎3、（2009江门一模）是等差数列的前项和，若，，‎ 则 ．‎ 答案 ‎ ‎4、（2009宁波十校联考）已知是等差数列，，则该数列前10项和=________‎ 答案 100‎ 三、解答题 ‎1、（2009杭州二中第六次月考）数列中，其中且，是函数 的一个极值点．‎ ‎（Ⅰ）证明: 数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ ‎（1）由题意得即，‎ ‎，‎ 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎（2）即 ‎，此式对也成立．‎ ‎2、（2009滨州一模）已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．‎ ‎（I）求与的关系式；‎ ‎（II）令，求证：数列是等比数列；‎ ‎（III）若（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。‎ (1) 解：过的直线方程为 联立方程消去得 ‎∴‎ 即 ‎（2）‎ ‎∴是等比数列 ‎ ，;‎ ‎（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立， ‎ 即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立．‎ ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立．‎ 又（）n－1的最小值为1．∴λ<1． 10分 ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）n-1恒成立，‎ 又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－． 11分 即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，‎ ‎∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有． 12分 ‎3、（2009台州市第一次调研）已知数列的首项，前n项和.‎ ‎（Ⅰ）求证：;‎ ‎（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.‎ 解：（1）由①，得②，‎ ‎②-①得：. 4分 ‎（2）由求得. 7分 ‎∴， 11分 ‎∴. 14分 ‎4、（2009上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，，‎ 一般地，（）．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）求和：．‎ ‎（1）； ……3分 ‎（2）当时，（）‎ ‎， ……6分 所以，（）． ……8分 ‎（3）与（2）同理可求得：， ……10分 设=，‎ 则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得 ‎，所以 ‎． ……14分 ‎5、（2009上海八校联考）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。‎ ‎（1）证明:数列是等差数列；‎ ‎（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；‎ ‎（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。‎ ‎（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）‎ 解: (1)依题意有,于是.‎ 所以数列是等差数列. 　　　　　　　　.4分 ‎(2)由题意得,即 , () ①‎ 所以又有. ② ‎ 由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　６分 由都是等差数列. ‎ ‎，那么得 ,‎ ‎. ( ８分 故 　　 1０分 ‎(3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数 ‎ 提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数 解：问题① 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分 当为奇数时,,所以 当为偶数时,所以 　　　　‎ 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. 　　　　　　　　　　　　１３分 当为奇数时,有,即 ①‎ ‎， 当, 不合题意.15分 当为偶数时,有 ，,同理可求得 ‎ 当时,不合题意. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分 综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. 　　　　　　　 1８分 解：问题② 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分 当为奇数时,,所以 当为偶数时,所以 　　　　‎ 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. 　　　　　　　　　　　　１３分 当为奇数时,有,即 ①‎ ‎， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分 当为偶数时,有 ，,同理可求得 .‎ ‎；；当时，不合题意．1７分 综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为 ‎；；　；1８分 ‎6、（2009广州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.‎ ‎(1)求证：数列{ an－×2n}是等比数列；‎ ‎(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由. ‎ ‎(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)‎ ‎(1)证法1：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，‎ ‎∴ ……2分 由an+an+1=2n，得，故数列 是首项为，公比为－1的等比数列. ……4分 证法2：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，‎ ‎∴ ……2分 ‎∵‎ ‎，‎ 故数列是首项为，公比为－1的等比数列. ‎ ‎ ……4分 ‎(2)解：由(1)得，即，‎ ‎∴‎ ‎ ……6分 ‎∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]‎ ‎， ……8分 要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，‎ 即对任意n∈N*都成立. ‎ ‎①当n为正奇数时，由(*)式得，‎ 即，‎ ‎∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.‎ 当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分 ‎①当n为正奇数时，由(*)式得，‎ 即，‎ ‎∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.‎ 当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分 ‎②当n为正偶数时，由(*)式得，‎ 即，‎ ‎∵2n－1>0，∴对任意正偶数n都成立.‎ 当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分 综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).‎ ‎……14分 ‎7、（2009宣威六中第一次月考）已知数列满足，且 ‎（1）用数学归纳法证明：；‎ ‎（2）若，且，求无穷数列所有项的和。‎ 解：‎ ‎8、（2009广东三校一模）,是方程的两根,数列的前项和为,且 ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)记=,求数列的前项和.‎ ‎ 解：(1)由.且得 2分 ‎, 4分 ‎ 在中,令得当时,T=,‎ 两式相减得, 6分 ‎. 8分 ‎(2), 9分 ‎,, 10分 ‎=2‎ ‎=, 13分 ‎ 14分 ‎ ‎9、（2009江门一模）已知等差数列和正项等比数列，，．‎ ‎⑴求、；‎ ‎⑵对，试比较、的大小；‎ ‎⑶设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．‎ 解：⑴由，得-------1分 由且得-------2分 所以，-------4分 ‎⑵显然，时，；时，，，-------5分 时，‎ ‎-------6分 -------7分 因为、，所以时，-------8分 ‎⑶-------9分，‎ 恒成立，则有-------11分，解得，-------12分 ‎，‎ ‎-------13分 所以，当，时，恒成立-------14分 ‎10、（2009汕头一模）在等比数列｛an｝中，an＞0 (nN＊），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，‎ a3与as的等比中项为2。‎ ‎ （1)求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎ (2)设bn＝log2 an，数列｛bn｝的前n项和为Sn当最大时，求n的值。‎ 解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以， + 2a3a5 +＝25‎ ‎ 又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………2分 又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4‎ 而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，‎ ‎…………………………6分 ‎（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，‎ 所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分 所以， ‎ 所以，当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，‎ 当n＝8或9时，最大。　　…………………………12分 ‎11、（2009深圳一模文）设数列的前项和为，，且对任意正整数,点 在直线上. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.‎ ‎（Ⅲ）求证： .‎ 解：(Ⅰ)由题意可得：‎ ‎ ①‎ 时, ② …………………… 1分 ‎ ①─②得， …………………… 3分 是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分 ‎（Ⅱ）解法一: ……………… 5分 若为等差数列，‎ 则成等差数列, ……………… 6分 得 ……………… 8分 又时，，显然成等差数列，‎ 故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分 解法二: ……………… 5分 ‎ …………… 7分 欲使成等差数列,只须即便可. ……………8分 故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分 ‎（Ⅲ） …… 10分 ‎ ………… 11分 ‎ ………… 12分 又函数在上为增函数， ‎ ‎， ………… 13分 ‎，． ……… 14分