高考数学专题复习练习：9-4 专项基础训练

高考数学专题复习练习：9-4 专项基础训练

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)‎ A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0‎ B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0‎ C．2x－y＋＝0或2x－y－5＝0‎ D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0‎ ‎【解析】 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎2．(2017·江西吉安一中月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)‎ A．相离　　　　　　　　　　　B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎【解析】 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，‎ ‎∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，‎ ‎∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．‎ ‎∴直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎3．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)‎ A．21 B．19‎ C．9 D．－11‎ ‎【解析】 圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2017·辽宁大连双基测试)已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点．若·＝，则实数m＝(　　)‎ A．±1 B．± C．± D．± ‎【解析】 由得2x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝8－4m2＞0，所以－＜m＜.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，所以y1y2＝.‎ 因为＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，所以·＝(－x1，－y1)·(x2－x1，y2－y1)＝－x1(x2－x1)＋(－y1)(y2－y1)＝－x1x2－y1y2＋x＋y＝－2·＋1＝，解得m＝±，满足题意．故选C.‎ ‎【答案】 C ‎5．(2017·四川宜宾模拟)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设＝k，则y＝kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．‎ 所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．‎ 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，‎ 此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．‎ 由题意，得|OC|＝2，|CE|＝，所以|OE|＝1.k＝＝，即为的最大值，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2017·云南名校联考)已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．‎ ‎【解析】 过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝＝.又|OA|＝1，所以|PA|＝＝2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎7．(2017·北京海淀模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1.若l ‎1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为________．‎ ‎【解析】 圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2.‎ 圆心到直线l1：y＝x的距离为＝，所以直线l1被圆C所截得的弦长为2＝2.‎ 圆心到直线l2：y＝kx－1的距离d＝，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2，所以d＝0，所以2k－1＝0，k＝.‎ ‎【答案】 ‎8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．‎ ‎【解析】 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．‎ 由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，‎ 即≤2.整理，得3k2－4k≤0.‎ 解得0≤k≤.‎ 故k的最大值是.‎ ‎【答案】 ‎9．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ ‎【解析】 (1)证明 ∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋.‎ ‎∴圆C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝；‎ 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，‎ ‎∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，‎ 即△OAB的面积为定值．‎ ‎(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，‎ ‎∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN＝－2，∴kOC＝.‎ ‎∴＝t，解得t＝2或t＝－2.‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，|OC|＝，‎ 此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，‎ 此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.‎ 圆C与直线y＝－2x＋4不相交，‎ ‎∴t＝－2不符合题意，舍去．‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎10．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎【解析】 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，‎ 所以圆心为C(0，4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．‎ 由题设知·＝0，‎ 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，‎ 所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．‎ 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．‎ 又P在圆N上，从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为x＋3y－8＝0.‎ 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，‎ 所以|PM|＝，S△POM＝××＝，故△POM的面积为.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·四川双流中学月考)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为(　　)‎ A．3 B. C. D．2‎ ‎【解析】 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，r＝1.当PC与直线kx＋y＋4＝0(k＞0)垂直时，切线长|PA|最小．‎ 在Rt△PAC中，|PC|＝＝，即点C到直线kx＋y＋4＝0(k＞0)的距离为，∴d＝＝，∴k＝±2.又∵k＞0，∴k＝2.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎12．(2017·重庆巴蜀中学月考)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的最小值为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎【解析】 由题意以AB为直径的圆与圆C有公共点，又圆C的圆心坐标为(，1)，半径为1，以AB为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为t，则|t－1|≤≤t＋1，解得1≤t≤3.所以t的最小值为1，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎13．(2017·河南郑州一中模拟)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．‎ ‎【解析】 如图，连接OA，OB，PO，则|OA|＝|OB|＝1，|PO|＝2，OA⊥PA，OB⊥PB.‎ 在Rt△PAO中，|OA|＝1，|PO|＝2，|PA|＝，∴∠OPA＝30°，∴∠BPA＝2∠OPA＝60°.‎ ‎∴·＝||||cos 60°＝××＝.‎ ‎【答案】 ‎14．(2017·福建四地六校联考)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2，0)，边AB所在的直线方程为x＋y－2＝0，点(－1，1)在边AD所在的直线上．‎ ‎(1)求矩形ABCD的外接圆方程；‎ ‎(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆相交，并求最短弦长．‎ ‎【解析】 (1)依题意得AB⊥AD，∵kAB＝－1，∴kAD＝1，‎ ‎∴直线AD的方程为y－1＝x＋1，即y＝x＋2.‎ 解得即A(0，2)．‎ 矩形ABCD的外接圆是以P(2，0)为圆心，|AP|＝2为半径的圆，方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ ‎(2)证明 ∵直线l的方程可整理为 ‎(x＋y－5)＋k(y－2x＋4)＝0，k∈R，‎ ‎∴解得∴直线l过定点M(3，2)．‎ 又∵点M(3，2)在圆内，∴直线l与圆相交．‎ ‎∵圆心P与定点M的距离d＝，‎ ‎∴最短弦长为2＝2.‎ ‎15．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ ‎【解析】 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切、与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.‎ 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)如图所示，因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.‎ 设直线l的方程为y＝2x＋m，‎ 即2x－y＋m＝0，‎ 则圆心M到直线l的距离d＝＝.‎ 因为BC＝OA＝＝2，‎ 而MC2＝d2＋，‎ 所以25＝＋5，‎ 解得m＝5或m＝－15.‎ 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 因为A(2，4)，T(t，0)，＋＝，‎ 所以①‎ 因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②‎ 将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.‎ 于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，‎ 从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，‎ 所以5－5≤≤5＋5，‎ 解得2－2≤t≤2＋2.‎ 因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．‎