2009年湖南省高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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文档介绍

2009年湖南省高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

‎2009年湖南省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1. 若log‎2‎a<0‎,‎(‎1‎‎2‎‎)‎b>1‎,则( )‎ A.a>1‎,b>0‎ B.‎00‎ C.a>1‎,b<0‎ D.‎0K,取函数f(x)=2-x-‎e‎-x.若对任意的x∈(+∞, -∞)‎,恒有fk‎(x)=f(x)‎,则( )‎ A.K的最大值为‎2‎ B.K的最小值为‎2‎ C.K的最大值为‎1‎ D.K的最小值为‎1‎ 二、填空题(共7小题,每小题5分,满分35分)‎ ‎9. 某班共‎30‎人,其中‎15‎人喜爱篮球运动,‎10‎人喜爱乒乓球运动,‎8‎人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.‎ ‎10. 在‎(1+x‎)‎‎3‎+(1+x‎)‎‎3‎+(1+‎‎3‎x‎)‎‎3‎的展开式中,x的系数为________(用数字作答).‎ ‎11. 若x∈(0, π‎2‎)‎则‎2tanx+tan(π‎2‎-x)‎的最小值为________.‎ ‎12. 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为‎60‎‎∘‎,则双曲线C的离心率为________.‎ ‎13. 一个总体分为A,B两层,其个体数之比为‎4:1‎,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为‎10‎的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为‎1‎‎28‎,则总体中的个体数是________.‎ ‎14. 在半径为‎13‎的球面上有A,B,C 三点,AB=6‎,BC=8‎,CA=10‎,则 ‎(1)球心到平面ABC的距离为________;‎ ‎(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为________.‎ ‎15. 将正‎△ABC分割成n‎2‎‎(n≥2, n∈N)‎个全等的小正三 角形(图‎1‎,图‎2‎分别给出了n=‎2‎,‎3‎的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于‎△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于‎3‎时)都分别依次成等差数列,若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为‎1‎,记所有顶点上的数之和为f(n)‎,则有f(2)‎=‎2‎,f(3)‎=________‎10‎‎3‎ …,f(n)‎=________‎1‎‎6‎‎(n+1)(n+2)‎ .‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16. 在‎△ABC,已知‎2AB‎→‎⋅AC‎→‎=‎3‎|AB‎→‎|⋅|AC‎→‎|=3BC‎2‎,求角A,B,C的大小.‎ ‎17. 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎,‎1‎‎6‎,现在‎3‎名工人独立地从中任选一个项目参与建设,选择哪个工程是随机的.‎ ‎(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;‎ ‎(2)记X为‎3‎人中选择的项目属于基础设施工程的人数,求X的分布列及数学期望.‎ ‎18. 如图,在正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,AB=‎2‎AA‎1‎,点D是A‎1‎B‎1‎的中点,点E在A‎1‎C‎1‎上,且DE⊥AE.‎ ‎(1)证明:平面ADE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎;‎ ‎(2)求直线AD和平面ABC‎1‎所成角的正弦值.‎ ‎19. 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测一个桥墩的工程费用为‎256‎万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为‎(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.‎ ‎(1)试写出y关于x的函数关系式;‎ ‎(2)当m=640‎米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎20. 在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3, 0)‎的距离的‎4‎倍与它到直线x=2‎的距离的‎3‎倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与‎18‎之和 ‎(I)求点P的轨迹C;‎ ‎(II)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值.‎ ‎21. 对于数列‎{un}‎若存在常数M>0‎,对任意的n∈‎N‎'‎,恒有‎|un+1‎-un|+|un-un-1‎|+...+|u‎2‎-u‎1‎|≤M 则称数列‎{un}‎为B-‎数列 ‎(1)首项为‎1‎,公比为q(|q|<1)‎的等比数列是否为B-‎数列?请说明理由;‎ ‎(2)设Sn是数列‎{xn}‎的前n项和,给出下列两组论断;‎ A组:①数列‎{xn}‎是B-‎数列      ②数列‎{‎xn}‎不是B-‎数列 B组:③数列‎{Sn}‎是B-‎数列      ④数列‎{Sn}‎不是B-‎数列 请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题.‎ 判断所给命题的真假,并证明你的结论;‎ ‎(3)若数列‎{an}‎,‎{bn}‎都是B-‎数列,证明:数列‎{anbn}‎也是B-‎数列.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 参考答案与试题解析 ‎2009年湖南省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.D ‎【解释】‎ 解:依题意,根据指数函数与对数函数的图象和单调性知‎0=0‎,可解得λ>0‎,‎ ‎∴ λ‎1‎,λ‎2‎均大于‎0‎ 根据图象有x‎1+λ‎1‎x‎>‎x‎1+λ‎2‎x ‎∴ ‎‎1+λ‎1‎x<1+λ‎2‎x ‎∴ ‎λ‎1‎x<λ‎2‎x ‎∵ ‎x≥0‎ ‎∴ ‎‎0<λ‎1‎<‎λ‎2‎ 故选A.‎ ‎5.C ‎【解释】‎ 解:∵ 丙没有入选,‎ ‎∴ 只要把丙去掉,把总的元素个数变为‎9‎个,‎ ‎∵ 甲、乙至少有‎1‎人入选,‎ ‎∴ 由条件可分为两类:一类是甲乙两人只选一个的选法有:C‎2‎‎1‎‎⋅C‎7‎‎2‎=42‎,‎ 另一类是甲乙都选的选法有C‎2‎‎2‎‎⋅C‎7‎‎1‎=7‎,‎ 根据分类计数原理知共有‎42+7=49‎,‎ 故选C.‎ ‎6.B ‎【解释】‎ 解:如图阴影部分表示x-2y≥0,‎x+3y≥0,‎确定的平面区域,所以劣弧AB的弧长即为所求.‎ ‎∵ kOB‎=-‎‎1‎‎3‎,kOA‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎∴ tan∠BOA=|‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎‎1-‎1‎‎2‎×‎‎1‎‎3‎|=1‎,‎ ‎∴ ‎∠BOA=‎π‎4‎.‎ ‎∴ 劣弧AB的长度为‎2×π‎4‎=‎π‎2‎.‎ 故选B.‎ ‎7.C ‎【解释】‎ 解:如图:正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎,E、F分别是BC和A‎1‎D‎1‎的中点,连接AF和FC‎1‎,‎ 根据正方体的性质知,BB‎1‎⊥AB,C‎1‎C⊥‎B‎1‎C‎1‎,故B‎1‎到异面直线AB,CC‎1‎的距离相等,‎ 同理可得,D到异面直线AB,CC‎1‎的距离相等,‎ 又有AB⊥BC,C‎1‎C⊥BC,故E到异面直线AB,CC‎1‎的距离相等,‎ F为A‎1‎D‎1‎的中点,易计算FA=FC‎1‎,故F到异面直线AB,CC‎1‎的距离相等,共有‎4‎个点.‎ 故选C.‎ ‎8.D ‎【解释】‎ 解:由题意可得出k≥f(x‎)‎最大值,‎ 由于f'(x)=-1+‎e‎-x,令f'(x)=0‎,e‎-x‎=1=‎e‎0‎解出‎-x=0‎,即x=0‎,‎ 当x>0‎时,f'(x)<0‎,f(x)‎单调递减,‎ 当x<0‎时,f'(x)>0‎,f(x)‎单调递增.‎ 故当x=0‎时,f(x)‎取到最大值f(0)=2-1=1‎.‎ 故当k≥1‎时,恒有fk‎(x)=f(x)‎.‎ 因此K的最小值是‎1‎.‎ 故选D.‎ 二、填空题(共7小题,每小题5分,满分35分)‎ ‎9.‎‎12‎ ‎【解释】‎ 解:设两者都喜欢的人数为x人,则只喜爱篮球的有‎(15-x)‎人,只喜爱乒乓球的有‎(10-x)‎人,‎ 由此可得‎(15-x)+(10-x)+x+8=30‎,解得x=3‎,‎ 所以‎15-x=12‎,‎ 即所求人数为‎12‎人,‎ 故答案为:‎12‎.‎ ‎10.‎‎7‎ ‎【解释】‎ 解:C‎3‎‎1‎‎+C‎3‎‎2‎+C‎3‎‎3‎=‎2‎‎3‎-1=7‎.‎ 故答案为‎7‎ ‎11.‎‎2‎‎2‎ ‎【解释】‎ 解:‎‎2tanx+tan(π‎2‎-x)=2tanx+‎‎1‎tanx ‎∵ x∈(0, π‎2‎)‎,∴ tanx>0‎,‎ ‎∴ ‎2tanx+‎1‎tanx≥2‎2tanx⋅‎‎1‎tanx=2‎‎2‎(当且仅当tanx=‎‎2‎‎2‎时,等号成立)‎ 故答案为:‎2‎‎2‎.‎ ‎12.‎‎6‎‎2‎ ‎【解释】‎ 解:设双曲线C的焦点坐标是F‎1‎和F‎2‎,虚轴两个端点是B‎1‎和B‎2‎,则四边形F‎1‎B‎1‎F‎2‎B‎2‎为菱形.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 若‎∠B‎2‎F‎1‎B‎1‎=‎‎60‎‎∘‎,则‎∠B‎2‎F‎1‎F‎2‎=‎‎30‎‎∘‎.由勾股定理可知c=‎3‎b.∴ a=‎3b‎2‎-‎b‎2‎=‎2‎b,‎ 故双曲线C的离心率为e=‎3‎b‎2‎b=‎‎6‎‎2‎.‎ 若‎∠F‎1‎B‎2‎F‎2‎=‎‎60‎‎∘‎,则‎∠F‎1‎B‎2‎B‎1‎=‎‎30‎‎∘‎,由勾股定理可知b=‎3‎c,不满足c>b,所以不成立.‎ 综上所述,双曲线C的离心率为‎6‎‎2‎.‎ 答案:‎6‎‎2‎.‎ ‎13.‎‎40‎ ‎【解释】‎ 解:设B层中有n个个体,‎ ‎∵ B层中甲、乙都被抽到的概率为‎1‎‎28‎,‎ ‎∴ ‎1‎Cn‎2‎‎=‎‎1‎‎28‎,‎ ‎∴ n‎2‎‎-n-56=0‎,‎ ‎∴ n=-7‎(舍去),n=8‎.‎ ‎∵ 总体分为A,B两层,其个体数之比为‎4:1‎,‎ ‎∴ 共有个体‎(4+1)×8=40.‎ 故答案为:‎40‎.‎ ‎14.(1)‎12‎;(2)‎3‎.‎ ‎【解释】‎ 解:(1)AB=6‎,BC=8‎,CA=10‎,‎△ABC是直角三角形,平面ABC是小圆,圆心在AC的中点D,‎ AO=13‎‎,AD=5‎,球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离,‎ 即:‎OD=12‎ ‎(2)过D作DE垂直AB于E,连接OE则‎∠OED就是过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角.‎ 易得DE=4‎ 所以tan∠OED=ODED=3‎ ‎15.,‎ ‎【解释】‎ 由题意可得,‎ 当n=‎2‎时,根据等差数列的性质可得,A+B=‎2D,A+C=‎2E,B+C=‎2F,且A+B+C=‎‎1‎ ‎2(D+E+F)‎‎=‎2(A+B+C)‎=‎2‎,D+E+F=‎‎1‎ ‎∴ f(2)‎=‎‎2=‎‎3×4‎‎6‎ 当n=‎3‎时,根据等差数列的性质可得,A+B=D+E,A+C=I+H,B+C=F+G,且A+B+C=‎‎1‎ 从而可得D+E+H+I+F+F=‎2(A+B+C)‎=‎‎2‎ 同样根据等差中项可得,M的数为‎1‎‎3‎ ‎∴ f(3)‎=‎‎3+‎1‎‎3‎=‎10‎‎3‎=‎‎4×5‎‎6‎ 同理可得,f(4)‎=‎‎5=‎‎5×6‎‎6‎ f(n)=‎‎(n+1)(n+2)‎‎6‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.解:设BC=a,AC=b,‎AB=c 由‎2AB‎→‎⋅AC‎→‎=‎3‎|AB‎→‎||AC‎→‎|‎得‎2abcocA=‎3‎bc所以cosA=‎‎3‎‎2‎ 又A∈(0, π)‎因此A=‎π‎6‎由‎3‎‎|AB‎→‎||AC‎→‎|=3BC‎2‎得bc=‎‎3‎a‎2‎;‎ 于是sinCsinB=‎3‎sin‎2‎A=‎‎3‎‎4‎ 所以sinCsin(‎5π‎6‎-C)=‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴ ‎‎2sinCcosC+2‎3‎sin‎2‎C=‎‎3‎ 即sin(2C-π‎3‎)=0‎ ‎∵ ‎A=π‎6‎∴ 0=‎|n‎→‎|⋅|AD‎→‎|‎‎˙‎=‎2‎‎3‎‎10‎‎×‎‎3‎=‎‎10‎‎5‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 由此即知,直线AD和平面ABC‎1‎所成角的正弦值为‎10‎‎5‎.‎ ‎【解释】‎ 解:(1)证明:如图所示,由正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的性质知AA‎1‎⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎.‎ 又DE⊂‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎,‎ 所以DE⊥AA‎1‎.‎ 而DE⊥AE.AA‎1‎∩AE=A,‎ 所以DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎.‎ 又DE⊂‎平面ADE,‎ 故平面ADE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎.‎ ‎(2)如图所求,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,‎ 不妨设AA‎1‎=‎‎2‎,则AB=2‎,相关各点的坐标分别是 A(0, -1, 0)‎‎,B(‎3‎, 0, 0)‎,C‎1‎‎(0, 1, ‎2‎)‎,D(‎3‎‎2‎, -‎1‎‎2‎, ‎2‎)‎.‎ 易知AB‎→‎‎=(‎3‎, 1, 0)‎,‎ AC‎1‎‎→‎‎=(0, 2, ‎2‎)‎‎,‎ AD‎→‎‎=(‎3‎‎2‎, ‎1‎‎2‎, ‎2‎)‎‎.‎ 设n‎→‎‎=(x, y, z)‎是平面ABC‎1‎的一个法向量,‎ 则有n‎→‎‎⋅AC‎1‎‎→‎=2y+‎2‎z=0‎‎˙‎ 解得x=-‎3‎‎3‎y,z=-‎2‎y.‎ 故可取n‎→‎‎=(1, -‎3‎, ‎6‎)‎.‎ 于是cos=‎|n‎→‎|⋅|AD‎→‎|‎‎˙‎=‎2‎‎3‎‎10‎‎×‎‎3‎=‎‎10‎‎5‎ 由此即知,直线AD和平面ABC‎1‎所成角的正弦值为‎10‎‎5‎.‎ ‎19.解:(1)相邻桥墩间距x米,需建桥墩‎(mx-1)‎个 则y=256(mx-1)+(2+x)x⋅mx=256⋅mx+mx+2m-256,(0‎‎2‎‎6‎时,‎ f'(x)>0‎‎,f(x)‎单调递增,‎ ‎0‎‎2‎‎6‎时,‎ f'(x)>0‎‎,f(x)‎单调递增,‎ ‎02‎时,由①得‎(x-3‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎=6-‎1‎‎2‎x,‎ 化简得x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎27‎=1‎.‎ 当x≤2‎时由①得‎(3-x‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎=3+x 化简得y‎2‎‎=12x 故点P的轨迹C是椭圆C‎1‎‎:x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎27‎=1‎在直线x=2‎的右侧 部分与抛物线C‎2‎‎:y‎2‎=12x在直线 x=2‎的左侧部分(包括它与直线x=2‎ 的交点)所组成的曲线,参见图‎1‎ ‎(II)如图‎2‎所示,‎ 易知直线x=2‎与C‎1‎,C‎2‎的交点都是A(2, 2‎6‎)‎,‎ B(2, -2‎6‎)‎‎,直线AF,BF的斜 率分别为kAF‎=-2‎‎6‎,kBF‎=2‎‎6‎.                       图‎2‎ 当点P在C‎1‎上时,由②知‎|PF|=6-‎1‎‎2‎x.④‎ 当点P在C‎2‎上时,由③知‎|PF|=3+x⑤‎ 若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为y=k(x-3)‎ ‎(1)当k≤‎kAF,或k≥‎kBF,即k≤-2‎‎6‎时,直线I与轨迹C的两个交点M(x‎1‎, y‎1‎)‎,N(x‎_‎, y‎_‎)‎都在C‎1‎上,此时由④知 ‎|MF|=6-‎1‎‎2‎x‎1‎|NF|=6-‎‎1‎‎2‎x‎_‎ 从而‎|MN|=|MF|+|NF|=(6-‎1‎‎2‎x‎1‎)+(6-‎1‎‎2‎x‎_‎)=12-‎1‎‎2‎(x‎1‎+x‎_‎)‎ 由y=k(x-3)‎x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎27‎=1‎得‎(3+4k‎2‎)x‎2‎-24k‎2‎x+36k‎2‎-108=0‎则x‎1‎,x是这个方程的两根,‎ 所以x‎1‎‎+x‎_‎=‎24‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎*|MN|=12-‎1‎‎2‎(x‎1‎+x‎_‎)=12-‎‎12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎ 因为当k≤2‎‎6‎,或k≥2‎‎6‎时,k‎2‎‎≥24‎,‎|MN|=12-‎12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎=12-‎12‎‎1‎k‎2‎‎+4‎=‎‎100‎‎11‎.‎ 当且仅当k=±2‎‎6‎时,等号成立.‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎(2)当kAE‎2‎时,由①得‎(x-3‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎=6-‎1‎‎2‎x,‎ 化简得x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎27‎=1‎.‎ 当x≤2‎时由①得‎(3-x‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎=3+x 化简得y‎2‎‎=12x 故点P的轨迹C是椭圆C‎1‎‎:x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎27‎=1‎在直线x=2‎的右侧 部分与抛物线C‎2‎‎:y‎2‎=12x在直线 x=2‎的左侧部分(包括它与直线x=2‎ 的交点)所组成的曲线,参见图‎1‎ ‎(II)如图‎2‎所示,‎ 易知直线x=2‎与C‎1‎,C‎2‎的交点都是A(2, 2‎6‎)‎,‎ B(2, -2‎6‎)‎‎,直线AF,BF的斜 率分别为kAF‎=-2‎‎6‎,kBF‎=2‎‎6‎.                       图‎2‎ 当点P在C‎1‎上时,由②知‎|PF|=6-‎1‎‎2‎x.④‎ 当点P在C‎2‎上时,由③知‎|PF|=3+x⑤‎ 若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为y=k(x-3)‎ ‎(1)当k≤‎kAF,或k≥‎kBF,即k≤-2‎‎6‎时,直线I与轨迹C的两个交点M(x‎1‎, y‎1‎)‎,N(x‎_‎, y‎_‎)‎都在C‎1‎上,此时由④知 ‎|MF|=6-‎1‎‎2‎x‎1‎|NF|=6-‎‎1‎‎2‎x‎_‎ 从而‎|MN|=|MF|+|NF|=(6-‎1‎‎2‎x‎1‎)+(6-‎1‎‎2‎x‎_‎)=12-‎1‎‎2‎(x‎1‎+x‎_‎)‎ 由y=k(x-3)‎x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎27‎=1‎得‎(3+4k‎2‎)x‎2‎-24k‎2‎x+36k‎2‎-108=0‎则x‎1‎,x是这个方程的两根,‎ 所以x‎1‎‎+x‎_‎=‎24‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎*|MN|=12-‎1‎‎2‎(x‎1‎+x‎_‎)=12-‎‎12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 因为当k≤2‎‎6‎,或k≥2‎‎6‎时,k‎2‎‎≥24‎,‎|MN|=12-‎12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎=12-‎12‎‎1‎k‎2‎‎+4‎=‎‎100‎‎11‎.‎ 当且仅当k=±2‎‎6‎时,等号成立.‎ ‎(2)当kAE‎
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