2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

6 . 3 . 1 　 平面向量基本定理 6 . 3 . 2 　 平面向量的正交分解及坐标表示 课标阐释 思维脉络 1 . 理解基底的定义 , 并能判断两个向量能否构成一个基底 . ( 数学抽象、逻辑推理 ) 2 . 理解并掌握平面向量基本定理 , 会用基底表示平面向量 . ( 数学抽象、数学运算 ) 3 . 理解平面向量正交分解以及坐标表示的意义 . ( 数学抽象、逻辑推理 ) 激趣诱思 知识点拨 音乐是人们在休闲时候的一种选择 , 不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐 , 还是高雅的古典音乐 , 它们都给了人们不同的享受 . 事实上 , 音乐有基本音符 :do 　 re 　 mi 　 fa 　 sol 　 la 　 si, 所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合 , 音乐的奇妙就在于此 . 在多样的向量中 , 我们能否找到它的 “ 基本音符 ” 呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、平面向量基本 定理 定理 条件 e 1 ,e 2 是同一平面内的两个 不共线 向量 结论 对于这一平面内的 任一 向量 a, 有且只有 一对实数 λ 1 , λ 2 , 使 a= λ 1 e 1 + λ 2 e 2 基底 若 e 1 ,e 2 不共线 , 我们把 {e 1 ,e 2 } 叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底 名师点析 对平面向量基本定理的理解 (1) 基底具备两个主要特征 : ① 基底是由两个不共线的向量构成的 ; ② 基底的选择是不唯一的 . (2) 基底 e 1 , e 2 确定后 , 平面内任一向量 a 的分解式是唯一的 , 特别地 , a 1 e 1 +a 2 e 2 = 0 时 , 恒有 a 1 =a 2 = 0 . (3) 用向量解决几何问题时 , 可以选择适当的基底 , 将问题中涉及的向量向基底化归 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 中的一对实数 λ 1 , λ 2 是否唯一 ? 提示 : 当 e 1 , e 2 不共线时 , 由平面向量基本定理知 , λ 1 , λ 2 是唯一的 ; 当 e 1 , e 2 共线时 , λ 1 , λ 2 不唯一 . 微练习 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 平面内的任一向量 a , 都可以用平面内的两个非零向量 e 1 , e 2 表示 B. 当 a 与两个不共线的非零向量 e 1 , e 2 之一平行时 , a 不能用 e 1 , e 2 表示 C. 零向量可以作为基底中的向量 D. 平面内的基底是不唯一的 解析 : 根据平面向量基本定理可知 , 只要是不共线的两个向量就可以作为基底 , 因此基底是不唯一的 . 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 知识 点二、平面向量的正交分解及坐标表示 1 . 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量 , 叫做把向量作正交分解 . 2 . 平面向量的坐标表示 (1) 基底 : 在平面直角坐标系中 , 设与 x 轴、 y 轴方向 相同 的两个 单位 向量分别为 i , j , 取 { i , j } 作为 基底 . (2) 坐标 : 对于平面内的任意一个向量 a , 由平面向量基本定理可知 , 有且只有一对实数 x , y , 使得 a =x i +y j . 这样 , 平面内的任一向量 a 都可由 x , y 唯一确定 , 我们把有序实数对 ( x , y ) 叫做向量 a 的坐标 , 记作 a = ( x , y ), 其中 , x 叫做 a 在 x 轴上的坐标 , y 叫做向量 a 在 y 轴上的坐标 . (3) 坐标表示 : a = ( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示 . (4) 特殊向量的坐标 : i = (1,0) , j = (0,1) , 0 = (0,0) . 激趣诱思 知识点拨 微思考 在直角坐标平面内 , O 为原点 , 向量 的 坐标与点 A 的坐标有什么关系 ? 微 练习 在平面直角坐标系中 , 若 i , j 是与 x 轴、 y 轴正方向相同的单位向量 , 且 a = 2 i - 6 j , b = 5 j , c =- 4 i , 则向量 a , b , c 的坐标分别是 　　　　　 , 　　　　　 , 　　　　　 .  答案 : (2, - 6) 　 (0,5) 　 ( - 4,0) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 对平面向量基本定理的理解 例 1 给出下列说法 : ① 若向量 e 1 , e 2 不共线 , 则平面内的零向量不能用 e 1 , e 2 表示 ; ② 若向量 e 1 , e 2 共线 , 则平面内任一向量 a 都不能用 e 1 , e 2 表示为 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 ( λ 1 , λ 2 ∈ R ) 的形式 ; ③ 若向量 e 1 , e 2 是一组基底 , 则 e 1 +e 2 与 e 1 -e 2 也可以作为一组基底 . 其中正确说法的序号是 　　　 .  解析 : ① 错误 . 零向量也可以用一组基底来线性表示 . ② 错误 . 当 e 1 , e 2 共线时 , 平面内的有些向量可以表示为 λ 1 e 1 + λ 2 e 2 ( λ 1 , λ 2 ∈ R ) 的形式 , 有些向量则不可以 . ③ 正确 . 当 e 1 , e 2 不共线时 , e 1 +e 2 与 e 1 -e 2 一定不共线 , 可以作为基底 . 答案 : ③ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 平面向量基本定理的四个要点 ① 不共线的向量 e 1 , e 2 ; ② 平面内的任意向量 a ; ③ 存在唯一一对实数 λ 1 , λ 2 ; ④ a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A. ①② B. ①③ C . ①④ D. ③ ④ 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 平面向量基本定理的应用 例 2 在 △ ABC 中 . 分析 根据平面向量基本定理 , 结合向量的线性运算进行求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量 , 基本方法有两种 : 一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化 , 直至用基底表示为止 ; 另一种是通过列向量方程或方程组的形式 , 利用基底表示向量的唯一性求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 平面向量的坐标表示 例 3 已知 i , j 分别是与 x 轴、 y 轴正方向相同的单位向量 , a = 3 i - 2 j , b =- i + 5 j , 求向量 a + 4 b 的坐标 . 分析 将 a + 4 b 先用 i , j 表示 , 再转化为坐标的形式 . 解 : 因为 a = 3 i - 2 j , b =- i + 5 j , 所以 a + 4 b = (3 i - 2 j ) + 4( - i + 5 j ) = 3 i - 2 j - 4 i + 20 j =- i + 18 j , 因此向量 a + 4 b 的坐标为 ( - 1,18 ) . 反思感悟 求平面向量坐标的方法 (1) 若 i , j 是分别与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量 , 则当 a =x i +y j 时 , 向量 a 的坐标即为 ( x , y ) . (2) 求向量的坐标一般转化为求点的坐标 . 解题时 , 常常结合几何图形 , 利用三角函数的定义和性质进行计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 巧用直线的向量参数方程式 解题 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 设 { e 1 , e 2 } 是平面内一个基底 , 则 ( 　　 ) A. 零向量不能用 e 1 , e 2 表示 B. 对实数 λ 1 , λ 2 , λ 1 e 1 + λ 2 e 2 不一定在该平面内 C. 对平面内任一向量 a , 使 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 的实数 λ 1 , λ 2 有无数对 D. 若实数 λ 1 , λ 2 使 λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = 0 , 则 λ 1 = λ 2 = 0 解析 : 由平面向量基本定理可知 D 项正确 , 这是由于 0 = 0 e 1 + 0 e 2 , 而 λ 1 , λ 2 是唯一的 , 所以 λ 1 = λ 2 = 0 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 已知 = ( - 2,4), 则下面说法正确的是 ( 　　 ) A. 点 A 的坐标是 ( - 2,4) B. 点 B 的坐标是 ( - 2,4) C. 当 B 是原点时 , 点 A 的坐标是 ( - 2,4) D. 当 A 是原点时 , 点 B 的坐标是 ( - 2,4) 解析 : 由任一向量的坐标的定义可知 , 当点 A 是原点时 , 点 B 的坐标是 ( - 2,4) . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知 e 1 , e 2 不共线 , 且 a =k e 1 - e 2 , b = e 2 - e 1 , 若 { a , b } 不能作为基底 , 则 k 等于 　　　　　 .  答案 : 1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测