【数学】新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试试题（文）

【数学】新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试试题（文）

新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为不等式的解集为或，‎ 所以集合或，‎ 由补集的定义可知，.‎ 故选：D.‎ ‎2.设为虚数单位，复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，‎ 由共轭复数的定义知，，‎ 由复数的几何意义可知，在复平面对应的点为，位于第二象限.‎ 故选：B.‎ ‎3.已知是第二象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，由诱导公式可得，，‎ 因为，是第二象限角，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示：‎ 薪资 岗位 数据开发 数据分析 数据挖掘 数据产品 由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（ ）‎ A. 数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析 B. 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析 C. 数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品 D. 数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发 ‎【答案】B ‎【解析】由表中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为 ‎（万元），‎ 数据分析岗位的平均薪资为（万元），‎ 数据挖掘岗位的平均薪资为（万元），‎ 数据产品岗位的平均薪资为（万元），‎ 因为，所以该市各类岗位的薪资水平高低情况为：‎ 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析.‎ 故选：B.‎ ‎5.双曲线的右焦点为，点为的一条渐近线上的点，为坐标原点.若，则 ( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为双曲线方程为，‎ 所以其渐近线方程为，右焦点为，‎ 因为点为的一条渐近线上的点，不妨设点在上，且点在第一象限；‎ 又，所以为等腰三角形，‎ 所以点横坐标为，因此，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎6.已知是等腰直角三角形，为斜边的中点，且，以为折痕，将折成直二面角，则过，，，四点的球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为折痕，将折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，‎ 在三棱锥中，，‎ 因为，，‎ 所以为正方体相邻的三条棱，‎ 所以过，，，四点的球即为正方体的外接球，‎ 其直径为正方体的体对角线，即,‎ 所以，‎ 由球的表面积公式可得，.‎ 故选：B.‎ ‎7.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A：因为，所以其定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项A排除；‎ 对于选项B：因为，所以其定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项B排除；‎ 对于选项C：因为，所以其定义域为关于原点对称，‎ 因为，所以函数为奇函数，‎ 故选项C排除；‎ 对于选项D：因为，所以其定义域为关于原点对称，‎ 因为，所以函数为上的偶函数，‎ 又当时，，又因为指数函数为上的增函数，‎ 所以函数为上的增函数，故选项D符合题意.‎ 故选：D.‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. 2‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是四棱锥，高为，底面为边长和的矩形，如图所示：‎ 由四棱锥的体积公式可得，.‎ 故选：B.‎ ‎9.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，，分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且和都远小于，当远小于1时，，则的近似值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，‎ ‎，‎ 因为和都远小于，当远小于1时，，‎ 所以 ‎，‎ 故选：B.‎ ‎10.设，，，则下列正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，，因为幂函数在上单调递增，‎ 所以，即；令，‎ 则，所以时，，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 因为，所以，，‎ 所以，即，所以，‎ 综上可知，.‎ 故选：C ‎11.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对于满足的，，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，函数，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以或，‎ 所以或，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 可得，所以.‎ 故选：B.‎ ‎12.已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，因为方程的两根为，‎ 所以在同一直角坐标系下作出函数的图象如图所示：‎ 由图可知，当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：‎ 当时，函数恰 有两个零点，图象如图所示：‎ 综上可知，所求实数的取值范围为.‎ 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.从3个不同奇数，2个不同偶数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】】记事件“从五个不同的数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数”,‎ 由题意知，从五个不同的数中随机抽取两个数包含总的基本事件数为，‎ 若抽取的两个数为偶数，则这两个数都为奇数或者都为偶数，‎ 若这两个数都为奇数，则有种选择；若这两个数都为偶数，则有种选择，‎ 由分类加法计数原理可得，事件A包含的基本事件数为，‎ 由古典概型概率计算公式可得，.‎ 故答案为：‎ ‎14.在中，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，在中，，‎ 由平面向量加法的三角形法则知，，‎ 即，所以，‎ 又，，所以，‎ 由平面向量的数量积的坐标表示知，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎15.设的角，，的对边分别为，，，已知的面积为，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，又，‎ 所以，即，‎ 由正弦定理可得，，，‎ 所以，‎ 即，因为，‎ 所以，‎ 又，所以.‎ 故答案：‎ ‎16.已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，作图如下：‎ 设，则，由椭圆的定义知，‎ ‎，，‎ 因为，所以，在中，由余弦定理可得，‎ ‎，‎ 在中，由余弦定理可得，，‎ 即，解得，‎ 所以，所以椭圆离心率.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列前项和为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ 解：（Ⅰ），令，解得，‎ ‎，，两式相减，得，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以数列的通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ 所以，即，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，，分别是和上动点，且.‎ ‎（Ⅰ）若与重合，求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求点到平面的距离.‎ ‎（Ⅰ）证明：当与重合时，∵，‎ ‎∴与重合，要证，即要证.‎ ‎∵，∴，即，又，，∴平面，∴，‎ 又正方形中，，，‎ ‎∴平面，∴，即；‎ ‎（Ⅱ）解：∵平面，∴，∵，∴，‎ ‎∴，在中，，∴，，设点到平面的距离为，‎ 由，得，，‎ ‎∴，即点到平面的距离为.‎ ‎19.某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物，，（，，的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：（表中的数据都以一个疗程计）‎ 药物 单价（单位：元）‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎800‎ 治愈率 市场使用量（单位：人）‎ ‎305‎ ‎122‎ ‎183‎ ‎（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？‎ ‎（Ⅱ）试估算每名感染患者在一个疗程的药物治疗费用平均是多少.‎ 解：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为，‎ 治疗费是1000元的概率为；‎ 治疗费是800元的概率为；‎ 药物治疗费用平均为：元.‎ ‎20.已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设抛物线的准线与轴交于点，直线过点且与抛物线交于，两点（点在点，之间），点满足，求与的面积之和取得最小值时直线的方程.‎ 解：（Ⅰ）的焦点为，依题意有，解得，‎ 所以，抛物线的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的标准方程为，其准线方程为：，‎ 所以点易知直线的斜率存在，且不为零，其方程为，‎ 设，，因为，即，‎ ‎∴，联立方程，消去，得，，‎ 根据题意，作图如下：‎ ‎.‎ 当且仅当，即或时，‎ 与的面积之和最小，最小值为.‎ 时，，，直线的方程为；‎ 时，，，直线的方程为，‎ ‎∴与的面积之和最小值时直线的方程为或.‎ ‎21.已知.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求证.‎ 解：（Ⅰ）由，∴，又，‎ ‎∴切线方程为，令 由题意知， ，‎ 则，解得或；‎ ‎（Ⅱ）令，‎ 则，设的零点为，‎ 则，即且，‎ 因为函数为上的增函数，‎ 所以当时，；当时，，‎ 所以函数在上递减，上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴时，恒成立，从而恒成立，‎ ‎∴总成立.‎ 选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，将曲线：上的点按坐标变换，得到曲线，为与轴负半轴的交点，经过点且倾斜角为的直线与曲线的另一个交点为，与曲线的交点分别为，（点在第二象限）.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程及直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ 解：（Ⅰ）由题得代入的方程得 ‎：，即的方程为，‎ 因为曲线：，令，则，‎ 因为为与轴负半轴的交点，所以点，‎ 因为直线的倾斜角为，所以，‎ 所以的参数方程为（为参数）；‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的方程为，‎ 因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为 ‎，‎ 由弦长公式可得，，‎ 将（为参数）代入，整理得，‎ 设，为方程的两个根，则，，‎ ‎∴.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）因为，∴不等式即为，两边平方得，‎ 解得，即时，的解集为；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，方程只有一个实根，‎ 即与的图象只有一个交点，‎ 因为，‎ 又的图象由向左或向右平移了个单位，‎ 作图如下：‎ 由图象可知，它们只有一个公共点，则或.‎