高考二轮复习数学学案11解三角形

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高考二轮复习数学学案11解三角形

解三角形 ‎【学法导航】高考资源网 处理三角形问题,必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特别要多角度(几何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解 ‎1.三角形中的边角关系 三角形内角和等于180°;高考资源网 三角形中任意两边之和大小第三边,任意两边之差小于第三边;‎ 三角形中大边对大角,小边对小角;‎ 正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC,其中R是△ABC外接圆半径.‎ 在余弦定理中:2bccosA=.高考资源网 三角形的面积公式有:S=ah,S=absinC,S=其中,h是BC边上高,P是半周长.‎ ‎2.利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理.‎ 已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理.‎ 已知三边,求三个角,常选用余弦定理. 高考资源网 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理.‎ 已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理.‎ ‎3.利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是:①化边为角;②化角为边.‎ ‎4.解斜三角形在实际中的运用高考资源网 ‎5.三角形的面积公式:‎ ‎(1)△=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);‎ ‎(2)△=absinC=bcsinA=acsinB;‎ ‎(3)△===;‎ ‎(4)△=2R2sinAsinBsinC。(R为外接圆半径)高考资源网 ‎(5)△=;‎ ‎(6)△=;;‎ ‎(7)△=r·s。高考资源网 ‎6.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。‎ ‎(1)角的变换 因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。;高考资源网 ‎(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。‎ r为三角形内切圆半径,p为周长之半高考资源网 ‎(3)在△ABC中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=‎ ‎60°;△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C成等差数列且a,b,c成等比数列 ‎【专题综合】‎ 1. 正弦定理与余弦定理高考资源网 例1.已知ABC中,A,,求 分析:可通过设一参数k(k>0)使,‎ 证明出 解:设 则有,,‎ 从而==高考资源网 又,所以=2‎ 小结: ABC中,等式恒成立。‎ ‎[补充练习]已知ABC中,,求(答案:1:2:3)‎ ‎(归纳总结):‎ ‎(1)定理的表示形式:;‎ 或,,高考资源网 ‎(2)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边,求其它两边及一角;‎ ‎②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角 例2.在ABC中,已知,,,求b及A 解:∵高考资源网 ‎=cos ‎== 8 ∴‎ 求可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:高考资源网 解法一:∵cos ∴‎ 解法二:∵sin又∵>‎ ‎<∴<, 即<< ∴‎ 评述:解法二应注意确定A的取值范围。高考资源网 例3.在ABC中,已知,,,解三角形 解:由余弦定理的推论得:‎ cos ;‎ cos ;‎ 高考资源网 小结:(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;‎ ‎(2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。‎ ‎2. 三角形中的几何计算 例4.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,.‎ ‎(1)求角A的度数;高考资源网 ‎(2)若a=,b+c=3,求b和c的值. 高考资源网 解析:‎ 小结:正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛. 高考资源网 例5.在△ABC中,已知=a,b=,B=45°,求A、C及c.‎ 分析:这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题,可用正弦定理求解,但先要判定△ABC是否有解,有几解,亦可用余弦定理求解.‎ 解: ∵B=45°<90°,且b
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