高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.6 微积分基本定理

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.6 微积分基本定理

1.6 微积分基本定理 [学习目标] 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接] 1．导数与定积分有怎样的联系？ 答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们 可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算． 2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？ 答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知： 图(1)中 S＝错误!f(x)dx， 图(2)中 S＝－错误!f(x)dx， 图(3)中 S＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx. [预习导引] 1．微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 错误!f(x)dx＝F(b)－F(a)． 2．函数 f(x)与其一个原函数的关系 (1)若 f(x)＝c(c 为常数)，则 F(x)＝cx； (2)若 f(x)＝xn(n≠－1)，则 F(x)＝ 1 n＋1·xn＋1； (3)若 f(x)＝1 x ，则 F(x)＝ln_x(x>0)； (4)若 f(x)＝ex，则 F(x)＝ex； (5)若 f(x)＝ax，则 F(x)＝ ax ln a(a>0 且 a≠1)； (6)若 f(x)＝sin x，则 F(x)＝－cos_x； (7)若 f(x)＝cos x，则 F(x)＝sin_x. 要点一 求简单函数的定积分 例 1 计算下列定积分 (1)错误!3dx； (2)错误!(2x＋3)dx； (3)错误!－1(4x－x2)dx； (4)错误!(x－1)5dx. 解 (1)因为(3x)′＝3， 所以 错误!3dx＝(3x)|2 1 ＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3， 所以错误!(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|2 0 ＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为 2x2－x3 3 ′＝4x－x2， 所以错误!－1(4x－x2)dx＝ 2x2－x3 3 |3 －1 ＝ 2×32－33 3 － 2×－12－－13 3 ＝20 3 . (4)因为 1 6 x－16 ′＝(x－1)5， 所以 错误!1(x－1)5dx ＝1 6(x－1)6|2 1 ＝1 6(2－1)6－1 6(1－1)6 ＝1 6. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如 F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数 c. 跟踪演练 1 求下列定积分： (1)∫π 20(3x＋sin x)dx； (2)错误!1 ex－1 x dx. 解 (1)∵ 3 2x2－cos x ′＝3x＋sin x， ∴∫π 20(3x＋sin x)dx＝ 3 2x2－cos x |π 2 0 ＝ 3 2 × π 2 2－cos π 2 － 3 2 ×0－cos 0 ＝3π2 8 ＋1； (2)∵(ex－ln x)′＝ex－1 x ， ∴错误!1(ex－1 x)dx＝(ex－ln x)|2 1 ＝(e2－ln 2)－(e－0) ＝e2－e－ln 2. 要点二 求较复杂函数的定积分 例 2 求下列定积分： (1)错误!1 x(1－ x)dx； (2)∫π 202cos2x 2dx； (3)错误!1(2x＋ 1 x )dx. 解 (1)∵ x(1－ x)＝ x－x， 又∵ 2 3x3 2 －1 2x2 ′＝ x－x. ∴错误!1 x(1－ x)dx＝ 2 3x3 2 －1 2x2 |4 1 ＝ 2 3 ×43 2 －1 2 ×42 － 2 3 －1 2 ＝－17 6 . (2)∵2cos2x 2 ＝1＋cos x，(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∴原式＝∫π 20(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|π 2 0 ＝π 2 ＋1. (3)∵ 2x ln 2 ＋2 x ′＝2x＋ 1 x ， ∴错误!1(2x＋ 1 x )dx＝ 2x ln 2 ＋2 x |4 1 ＝ 24 ln 2 ＋2 4 － 2 ln 2 ＋2 ＝ 14 ln 2 ＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数 不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函 数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练 2 计算下列定积分： (1)∫π 30(sin x－sin 2x)dx； (2)错误!ex(1＋ex)dx. 解 (1)sin x－sin 2x 的一个原函数是－cos x＋ 1 2cos 2x，所以∫π 30(sin x－sin 2x)dx ＝ －cos x＋1 2cos 2x |π 3 0 ＝ －1 2 －1 4 － －1＋1 2 ＝－1 4. (2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x， ∴ ex＋1 2e2x ′＝ex＋e2x， ∴错误!ex(1＋ex)dx＝错误!(ex＋e2x)dx ＝ ex＋1 2e2x |ln 2 0 ＝eln 2＋1 2e2ln 2－e0－1 2e0 ＝2＋1 2 ×4－1－1 2 ＝5 2. 要点三 定积分的简单应用 例 3 已知 f(a)＝错误!0(2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值． 解 ∵ 2 3ax3－1 2a2x2 ′＝2ax2－a2x， ∴错误!0(2ax2－a2x)dx＝ 2 3ax3－1 2a2x2 |1 0 ＝ 2 3a－1 2a2， 即 f(a)＝2 3a－1 2a2＝－1 2 a2－4 3a＋4 9 ＋2 9 ＝－1 2 a－2 3 2＋2 9 ， ∴当 a＝2 3 时，f(a)有最大值2 9. 规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而 对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练 3 已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0，错误!0f(x)dx＝－2，求 a、b、c 的值． 解 由 f(－1)＝2，得 a－b＋c＝2. ① 又 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0， ② 而 错误!0f(x)dx＝错误!0(ax2＋bx＋c)dx＝ 1 3ax3＋1 2bx2＋cx |1 0 ＝1 3a＋1 2b＋c， ∴1 3a＋1 2b＋c＝－2， ③ 由①②③式得 a＝6，b＝0，c＝－4. 要点四 求分段函数的定积分 例 4 计算下列定积分： (1)若 f(x)＝ x2 x≤0 cos x－1 x>0 ，求∫π 2－1f(x)dx； (2)错误!0|x2－4|dx. 解 (1)∫π 2－1f(x)dx＝错误!－1x2dx＋∫π 20(cos x－1)dx， 又∵ 1 3x3 ′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1 ∴原式＝1 3x3|0 －1 ＋(sin x－x)|π 2 0 ＝ 0＋1 3 ＋ sinπ 2 －π 2 －(sin 0－0) ＝4 3 －π 2. (2)∵|x2－4|＝ x2－4 x≥2 或 x≤－2， 4－x2 －23 2 ， ∴错误!－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx ＝∫－3 2－3(－4x)dx＋∫3 2 －3 26dx＋∫33 24xdx ＝－2x2|－3 2 －3 ＋6x| 3 2 －3 2 ＋2x2| 3 3 2 ＝45. 1．∫π 2 －π 2(1＋cos x)dx 等于( ) A．π B．2 C．π－2 D．π＋2 答案 D 解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∴ ∫π 2 －π 2 1＋cos xdx＝x＋sin x|π 2 －π 2 ＝π 2 ＋sinπ 2 － －π 2 ＋sin －π 2 ＝π＋2. 2．若 错误! 2x＋1 x dx＝3＋ln 2，则 a 的值是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 D 解析 错误! 2x＋1 x dx＝错误!2xdx＋错误!1 xdx＝x2|a1＋ ln x|a 1 ＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，解得 a＝2. 3．错误! x2－2 3x dx＝________. 答案 4 3 解析 错误! x2－2 3x dx＝错误!x2dx－错误!2 3xdx ＝x3 3 |2 0 －x2 3|20＝8 3 －4 3 ＝4 3. 4．已知 f(x)＝ 4x－2π，0≤x≤π 2 ， cos x，π 20，所以 f(1)＝lg 1＝0.又 x≤0 时，f(x)＝x＋错误!3t2dt＝x＋t3|a0＝x＋a3， 所以 f(0)＝a3.因为 f[f(1)]＝1，所以 a3＝1，解得 a＝1. 11．设 f(x)是一次函数，且 错误!f(x)dx＝5，错误!xf(x)dx＝17 6 ，求 f(x)的解析式． 解 ∵f(x)是一次函数，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 错误!f(x)dx＝错误!(ax＋b)dx＝错误!axdx＋错误!bdx ＝1 2a＋b＝5， 错误!xf(x)dx＝错误!x(ax＋b)dx＝错误!(ax2)dx＋错误!bxdx ＝1 3a＋1 2b＝17 6 . 由 1 2a＋b＝5 1 3a＋1 2b＝17 6 ，得 a＝4 b＝3 .即 f(x)＝4x＋3. 12．若函数 f(x)＝ x3，x∈[0，1]， x，x∈1，2]， 2x，x∈2，3]. 求 错误!f(x)dx 的值． 解 由积分的性质，知： 错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx ＝错误!x3dx＋错误! xdx＋错误!2xdx ＝x4 4 |1 0 ＋2 3x3 2|21 ＋ 2x ln 2|32 ＝1 4 ＋4 3 2－2 3 ＋ 8 ln 2 － 4 ln 2 ＝－ 5 12 ＋4 3 2＋ 4 ln 2. 三、探究与创新 13．求定积分错误!－4|x＋a|dx. 解 (1)当－a≤－4 即 a≥4 时， 原式＝错误!－4(x＋a)dx＝ x2 2 ＋ax |3－4＝7a－7 2. (2)当－4＜－a＜3 即－3＜a＜4 时， 原式＝错误![－(x＋a)]dx＋错误!－a(x＋a)dx ＝ －x2 2 －ax |－a －4 ＋ x2 2 ＋ax |3－a ＝a2 2 －4a＋8＋ a2 2 ＋3a＋9 2 ＝a2－a＋25 2 . (3)当－a≥3 即 a≤－3 时， 原式＝错误!－4[－(x＋a)]dx＝ －x2 2 －ax |3－4＝ －7a＋7 2. 综上，得错误!－4|x＋a|dx＝ 7a－7 2 a≥4， a2－a＋25 2 －3＜a＜4， －7a＋7 2 a≤－3.