2017-2018学年海南省文昌中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年海南省文昌中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年海南省文昌中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题 ‎2．（5分）已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎3．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x ‎4．（5分）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎5．（5分）曲线与曲线的（　　）‎ A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同 ‎6．（5分）若x、y∈R，且2y是1+x和1﹣x的等比中项，则动点（x，y）的轨迹为除去x轴上点的（　　）‎ A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆 ‎7．（5分）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（1，4） D．（0，3）‎ ‎8．（5分）已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．f（b）＞f（c）＞f（d） B．f（b）＞f（a）＞f（c） C．f（c）＞f（b）＞f（a） D．f（c）＞f（b）＞f（d）‎ ‎9．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎10．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎12．（5分）若f（x）=2x3﹣6x2+3﹣a，对任意的x∈[﹣2，2]都有f（x）≤0，则a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，3） B．（2，+∞） C．[3，+∞） D．（0，3）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是　 　．‎ ‎14．（5分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是　 　．‎ ‎15．（5分）已知点P（2，2）在曲线y=ax3+bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么ab=　 　．‎ ‎16．（5分）用边长为48‎ ‎ cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为　 　cm．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知椭圆M：=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0）．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长．‎ ‎18．（12分）设抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，开口向上，焦点到准线的距离为 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）已知抛物线C过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．求证：为定值．‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2，）．直线l过点F且交椭圆C于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（），求直线l的方程．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（x2+x+1）ex（x∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣3，0]上的最值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx．（x＞0）‎ ‎（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年海南省文昌中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题 ‎【分析】根据四种命题的定义，写出原命题的否命题，可判断A的真假；根据充要条件的定义，分析“x=﹣1”与“x2﹣5x﹣6=0”的关系，可判断B的真假；根据特称命题的否定方法，可以判断C的真假；根据同角或等角的三角函数相等，可判断D的真假；进而得到答案 ‎【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为：“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；‎ ‎“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的既不充分又不必要条件，故B错误；‎ 命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故C错误；‎ 若x=y，则x与y的各三角函数值相等，再由逆否命题与原命题等价，故D正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是四种命题，充要条件，全（特）称命题的否定，三角函数的定义，判断时注意命题的否定与否命题的区别，熟练掌握这些基础知识点，并利用这些基础知识判断各个命题的真假是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，‎ 命题q：正数的对数都是正数，是假命题，‎ ‎∴￢p是假命题，￢q是真命题，‎ ‎∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，‎ ‎（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x ‎【分析】通过已知条件b，c，利用a=，求出a，然后求出双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，所以b=1，c=，‎ 则a==，由双曲线﹣=1可知渐近线方程为：y==．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在抛物线y2‎ ‎=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【分析】由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知4+=5，求得p．‎ ‎【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣，‎ 由抛物线的定义知4+=5，‎ 解得P=2．‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）曲线与曲线的（　　）‎ A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同 ‎【分析】根曲线的方程可知前者为椭圆，后者为双曲线，排除B；前者焦点在x轴，后者焦点在y轴，排除CD，答案可知．‎ ‎【解答】解：由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，‎ 由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，排除C，D；‎ 椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1排除B，‎ 故选A ‎【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响 ‎　‎ ‎6．（5分）若x、y∈R，且2y是1+x和1﹣x的等比中项，则动点（x，y）的轨迹为除去x轴上点的（　　）‎ A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆 ‎【分析】‎ 欲求动点（x，y）的轨迹，只须寻找点的坐标x，y之间的关系式即可，利用2y是1+x和1﹣x的等比中项即可得到．‎ ‎【解答】解：∵2y是1+x和1﹣x的等比中项，‎ ‎∴（2y）2=（1+x）（1﹣x），‎ 即x2+4y2=1且y≠0，‎ ‎∴动点（x，y）的轨迹为除去x轴上点的一个椭圆．‎ 故选D．‎ ‎【点评】求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，本题采用直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（1，4） D．（0，3）‎ ‎【分析】首先对f（x）=（x﹣3）ex求导，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，求解可得答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，即（x﹣2）ex＞0，解得x＞2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．f（b）＞f（c）＞f（d） B．f（b）＞f（a）＞f（c） C．f（c）＞f（b）＞f（a） D．f（c）＞f（b）＞f（d）‎ ‎【分析】根据导函数的图象可判断导数的符号，进而可判断函数的单调性，由单调性即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由导函数f′（x）的大致图象知：当x≤c时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，又a＜b＜c，所以f（c）＞f（b）＞f（a）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题以图象的形式给出导数符号，由此可研究函数的单调性问题，进而可解决有关问题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．‎ ‎【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎【分析】求函数的导数，解导数方程即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xlnx，‎ ‎∴f′（x）=lnx+1，‎ 由f′（x0）=2，‎ 得lnx0+1=2，即 lnx0=1，则x0=e，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．‎ ‎【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，‎ 设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，‎ 由抛物线的定义知：‎ ‎|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若f（x）=2x3﹣6x2+3﹣a，对任意的x∈[﹣2，2]都有f（x）≤0，则a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，3） B．（2，+∞） C．[3，+∞） D．（0，3）‎ ‎【分析】求f′（x），判断f′（x）在[﹣2，2]上的符号，从而求出f（x）在[﹣2，2]上的最大值，该最大值小于等于0，即求出了a的取值范围．‎ ‎【解答】解：f′（x）=6x2﹣12x；‎ ‎∴x∈[﹣2，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，2]时，f′（x）＜0；‎ ‎∴f（0）=3﹣a是f（x）在[﹣2，2]上的最大值；3﹣a≤0；‎ ‎∴a≥3；‎ ‎∴a的取值范围为[3，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查根据函数导数符号求函数最值的方法与过程，一元二次不等式解的情况．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是　2　．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．‎ ‎【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，‎ ‎∴焦点到准线的距离是1+1=2‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得半焦距c，然后利用a2=b2+c2求出椭圆的半长轴，则离心率可求．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，得2p=8，=2，其焦点坐标为F（2，0）．‎ 因为椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，‎ 所以椭圆的右焦点为F（2，0）．‎ 则椭圆是焦点在x轴上的椭圆，由a2=b2+c2=2+22=6，得a=．‎ 所以椭圆的离心率为e===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线离心率的求解问题，一定要找到关于a，c的关系，隐含条件a2=b2+c2的应用是解答该题的关键，此题是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知点P（2，2）在曲线y=ax3+bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么ab=　﹣3　．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，然后根据在点P（2，2）的导数值等于9，且该点在曲线上可得到两个方程，联立的求得a，b的值，求出所求．‎ ‎【解答】解：点P（2，2）在曲线y=ax3+bx 则：8a+2b=2‎ ‎∵y'=3ax2+b ‎∴当x=2 时，12a+b=9‎ 联立得：a=1，b=﹣3∴ab=﹣3‎ 故答案为：﹣3‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为　8　cm．‎ ‎【分析】根据题意先设小正方形边长为x，计算出铁盒体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可．‎ ‎【解答】解：设小正方形边长为x，铁盒体积为y．‎ y=（48﹣2x）2•x=4x3﹣192x2+2304x．‎ y′=12x2﹣384x+2304=12（x﹣8）（x﹣24）．‎ ‎∵48﹣2x＞0，‎ ‎∴0＜x＜24．‎ ‎∴x=8时，ymax=8192．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知椭圆M：=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0）．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出c，求出a，即可求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）求出直线方程与椭圆方程联立，消去y，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1又b2=3，‎ 所以，a2=4，所以椭圆方程为： …（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，…（5分）‎ 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到 ‎，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，…（7分）‎ 所以△=288＞0，x1+x2=，x1x2=﹣，…（8分）‎ 所以|CD|===．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，开口向上，焦点到准线的距离为 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）已知抛物线C过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．求证：为定值．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的方程，由题意可得p=，即可求得抛物线方程；‎ ‎（2）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得为定值．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线方程x2=2py，p＞0，由题意知p=，2p=，‎ 抛物线的标准方程为x2=y．…（4分）‎ ‎（2）由（1）可知：抛物线的焦点F（0，），设直线l的方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2）．…（6分）‎ 由 ，整理得：x2﹣kx﹣=0，‎ ‎∴x1x2=﹣，y1y2=4（x1x2）2=，…（9分）‎ ‎=x1x2+y1y2=﹣+=﹣，为定值 ‎∴为定值． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2，）．直线l过点F且交椭圆C于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（），求直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意可得，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）易知直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出AB中点N的坐标，由题意得kMN•k=﹣1，即，把x0，y0用k表示出来即得关于k的方程，解出方程然后运用点斜式即可求得l的方程；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，，解得a2=8，b2=4，‎ 所以椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，不符合题意，‎ 当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），‎ 由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，‎ 因为△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣8）=32（k2+1）＞0，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 因为线段AB的垂直平分线过点M（），‎ 所以kMN•k=﹣1，即，‎ 所以，‎ 解得，，‎ 所以直线l的方程为或．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，韦达定理、判别式是解决该类题目的常用知识，正确挖掘“线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M”所含信息是解决（Ⅱ）问的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．‎ ‎【分析】（1）利用函数的导数，函数的极值，列出方程组求解即可．‎ ‎（2）利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 则 ‎∴‎ ‎（2）由（1）可知，则f（x）的定义域为（0，+∞），，‎ 令f'（x）=0，则x=1或﹣1（舍去），‎ 当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）递减，当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）递增 ‎∴f（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（x2+x+1）ex（x∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣3，0]上的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f（x）=（x2+x+1）ex，导函数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数在（﹣3，﹣2），（﹣1，0）上单调递增，然后求解函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x2+x+1）ex，‎ f'（x）=（2x+1）ex+（x2+x+1）ex=（x2+3x+2）ex，…（3分）‎ 当f'（x）＞0时解得x＜﹣2或x＞﹣1，当f'（x）＜0时解得﹣2＜x＜﹣1，‎ 所以函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）；‎ 单调减区间为（﹣2，﹣1）…（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数在（﹣3，﹣2），（﹣1，0）上单调递增，‎ 在（﹣2，﹣1）单调递减，‎ 极大值为，极小值为，…（9分）‎ 又因为，f（0）=1，…（10分）‎ 所以f（﹣3）＜f（﹣1）＜f（﹣2）＜f（0）…（11分）‎ 所以函数的最大值为f（0）=1，最小值为…（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，导函数的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx．（x＞0）‎ ‎（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间．‎ ‎（2）利用导函数的符号大于等于0，通过分离变量，求解表达式的最值，推出a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）‎ 当a=﹣2时，．…（2分）‎ 当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：…（4分）‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 递减 极小值 递增 由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）、‎ 单调递增区间是（1，+∞） …（6分）‎ ‎（2）由，得．…（8分）‎ 又函数为[1，+∞）上单调增函数，‎ 函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，‎ 即不等式2x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．‎ 也即在[1，+∞）上恒成立．…（9分）‎ 又在[1，+∞）上为减函数，ϕ（x）max=ϕ（1）=0．‎ 所以a≥0．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，最值的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎