专题01 集合与常用逻辑用语-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

专题01 集合与常用逻辑用语-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

1 专题 01 集合与常用逻辑用语 易错点 1 忽略集合中元素的互异性 设集合 2{ }, , , 1,{ , }A x x xy B x y  ，若 A B ，则实数 ,x y的值为 A． 1x y    R B． 1 0 x y     C． 1 1 x y    D． 1x y    R 或 1 0 x y     或 1 1 x y    【错解】由 A B 得 2 1x xy y     或 2 1 x y xy     ，解得 1x y    R 或 1 0 x y     或 1 1 x y    ，所以选 D． 【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案 是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含 条件，加以重视．当 1x y    R 时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当 1 1 x y    时，A=B={1,1,1} 也不满足元素的互异性；当 1 0 x y     时，A=B={1，−1,0}，满足题意． 集合中元素的特性： （1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素， 2 要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合； （2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特 性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 （3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c组成的集合与 b，c，a组成的集合是相同的集 合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 1．集合{x–1，x2–1，2}中的 x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】当 x=2 时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当 x=3时，x–1=2，集合 中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当 x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集 合表示正确；当 x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选 B．学#科网 【答案】B 易错点 2 误解集合间的关系致错 已知集合   { |0,1 }A B x x A  ， ，则下列关于集合 A与 B的关系正确的是 A． A B B． A B C． B  A D． A B 【试题解析】因为 x A ，所以      0 1{ 0,1 }B  ， ， ， ，则集合  0,1A  是集合 B中的元素，所以 3 A B ，故选 D． 【参考答案】D （1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是 否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征. （2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合 A，B，如果集合 A中任意一个元素都是 集合 B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集合 B的子集，记作 A B （或 B A ）； 如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，我们称集合 A是集合 B的真子集，记作 A B （或 B A ）. 2．若集合 ， ，则有 A． B．M  N C．M N D． 【解析】 ， ， 故M  N . 故选 B． 【答案】B 易错点 3 忽视空集易漏解 已知集合 2{ | 3 10 0}A x x x= - - £ ， { | 1 2 1}B x m x m= + ＃ - ，若 A B A= ，则实数 m的取值 范围是 4 A．[ 3,3] B．[2,3] C． ( ,3] D．[2, ) 【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中， 往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合 A，都有 A A  ，所 以错解中忽略了 B 时的情况. 【试题解析】∵ A B A= ，∴ B A . 2{ | 3 10 0} { | 2 5}A x x x x x= - - � - ＃ ， ①若B =，则 1 2 1m m+ > - ，即 2m < ，故 2m < 时， A B A= ； ②若B ，如图所示， 则 1 2 1m m+ £ - ，即 2m ³ . 由 B A 得 2 1 2 1 5 m m       ，解得 3 3m   .又∵ 2m ³ ，∴ 2 3m  . 由①②知，当 3m  时， A B A= . 【参考答案】C （1）对于任意集合 A，有 A   ，A A  ，所以如果 A B   ，就要考虑集合 A B或 可能是； 如果 A B A ，就要考虑集合 B可能是 . （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 A  ， ( )B B   . 5 3．集合 ，若 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】当 时，集合 ，满足题意；当 时， ，若 ，则 ，∴ ， 所以 ，故选 B． 【答案】B 易错点 4 A 是 B 的充分条件与 A 的充分条件是 B 的区别 设 ,a bR ,则“ 4ba ”是“ 2,2  ba 且 ”的] A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【错解】选 A． 【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错. 【试题解析】若 2, 2a b 且 ，则 4a b  ，但当 4, 1a b  时也有 4a b  ，故本题选 B． 【参考答案】B （1）“A的充分不必要条件是 B”是指 B能推出 A，且 A不能推出 B，即 B⇒A且 A /Þ B； （2）“A是 B的充分不必要条件”则是指 A能推出 B，且 B不能推出 A，即 A⇒B且 B /Þ A . 4．已知 a，bR，若 2 2 1a b  的一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m  ，则实数m的取值范围是 A． 1, 2      B．  , 2  C． 1 ,0 2     D． 2,0 6 【解析】由基本不等式得， 2 2 12 1 2 a b ab ab     ，由 10 2 ab ab    ，又因为 2 2 1a b  的 一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m  ，则 1 2 m   ，故选 A． 【答案】A 易错点 5 命题的否定与否命题的区别 命题“  * *n f n  N N， 且  f n n ”的否定形式是 A．  * * ( )n f n f n n   N N， 且 B． * *( ) ( )n f n f n n   N N， 或 C． * * 0 0 0 0)( ) (n f n f n n   N N， 且 D． * * 0 0 0 0( ) ( )n f n f n n   N N， 或 【错因分析】错解 1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词； 对于错解 2，除上述错误外，还没有否定量词； 错解 3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选． 【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“  * *n f n  N N， 且  f n n ”的否定形式是 “    * * 0 0 0 0n f n f n n   N N， 或 ”．故选 D． 【参考答案】D 1．命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其 结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p的结论． 7 2．命题的否定 （1）对“若 p，则 q”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定． （4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将 其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论 即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题． 5．已知 2| | 1: 5 2 3, : 0 4 5 p x q x x      ，则¬p是¬q A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 将命题 2 1: 0 4 5 q x x    的否定形式错误地认为： 2 1: 0 4 5 q x x     ，∴x2＋4x−5<0导致错误． 一、集合 1．元素与集合的关系： a A a A    属于，记为 不属于，记为 . 2．集合中元素的特征： 8 （1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元 素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合. （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个 特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.学科！网 （3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c组成的集合与 b，c，a组成的集合是相同的 集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系. 3．常用数集及其记法： 集合 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N 或 +N Z Q R C 4．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本 基本 关系 子集 集合 A中任意一个元素都是集 合 B的元素 A B （或 B A ） 真子集 集合 A是集合 B的子集，且集 合 B中至少有一个元素不在集 合 A中 A B （或 B A ） 相等 集合 A，B中元素相同或集合 A，B互为子集 A B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集 A  ， ( )B B  （1）若集合 A中含有 n个元素，则有 2n 个子集，有 2 1n  个非空子集，有 2 1n  个真子集，有 2 2n  个非 空真子集． （2）子集关系的传递性，即 ,A B B C A C    . （3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况， 9 否则会造成漏解. 5．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合 A 且属于 集合 B 的所有元素组 成的集合 { | }A B x x A x B   且 并集 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素组 成的集合 | }{A B x x A x B   或 补集 由全集 U 中不属于集 合 A 的所有元素组成 的集合 { | }U A x x U x A  且ð （1）集合运算的相关结论 交集 A B A A B B A A A A   A B B A  并集 A B A A B B A A A A A  A B B A  补集 ( )U U A A UU ð U U ð ( )U A A ð ( )U A A Uð （2） ( .)U U UA B A B A A B B A B A B           二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 若 p ，则 q 逆否命 题 若 q ，则 p 10 2．四种命题间的关系 （1）常见的否定词语 正面词语 = >(<) 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有 1(n)个 至少有 1个 否定词   ( ) 不是 不都是 某个 某两个 至少有 2(n+1)个 1个也没有 （2）四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件的概念 (1)若 p⇒q，则 p是 q的充分条件，q是 p的必要条件； (2)若 p⇒q且 q / p，则 p是 q的充分不必要条件； (3)若 p / q且 q⇒p，则 p是 q的必要不充分条件； (4) 若 p⇔q，则 p是 q的充要条件； (5) 若 p / q且 q / p，则 p是 q的既不充分也不必要条件. (1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ①p是 q的充分不必要条件 q 是 p 的充分不必要条件； ②p是 q的必要不充分条件 q 是 p 的必要不充分条件； ③p是 q的充要条件 q 是 p 的充要条件； 11 ④p是 q的既不充分也不必要条件 q 是 p 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件 若 p以集合 A的形式出现，q以集合 B的形式出现，即 p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则 ①若 A B ，则 p是 q的充分条件； ②若B A ，则 p是 q的必要条件； ③若 A B ，则 p是 q的充分不必要条件； ④若B A ，则 p是 q的必要不充分条件； ⑤若 A B ，则 p是 q的充要条件； ⑥若 A B 且 B A ，则 p是 q的既不充分也不必要条件. 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．常见的逻辑联结词：或、且、非 一般地，用联结词“且”把命题 p和 q联结起来，得到一个新命题，记作 p q ，读作“p且 q”； 用联结词“或”把命题 p和 q联结起来，得到一个新命题，记作 p q ，读作“p或 q”； 对一个命题 p的结论进行否定，得到一个新命题，记作 p ，读作“非 p”． 2．复合命题的真假判断 “p且 q”“p或 q”“非 p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定： p q p q p q p q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 3．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等  存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等  4．含有一个量词的命题的否定 12 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示： 命题 命题的否定 , ( )x M p x  0 0, ( )x M p x   0 0, ( )x M p x  , ( )x M p x   含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1） p q 中一假则假，全真才真． （2） p q 中一真则真，全假才假． （3）p与 p 真假性相反． 注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆 这两者的概念. 1．（2018浙江）已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 =U Að A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合  2 2 0A x x x    ，则 A Rð A． 1 2x x   B． 1 2x x   C．  | 1 | 2x x x x   D．  | 1 | 2x x x x   3．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合  | 1 0A x x  ≥ ，  0 1 2B  ，， ，则 A B  A． 0 B． 1 C． 1 2， D． 0 1 2，， 13 4．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合   2 2 3A x y x y x y   Z Z， ≤ ， ， ，则 A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 5．（2018浙江）已知平面α，直线 m，n满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2018天津理科）设 xR ，则“ 1 1| | 2 2 x   ”是“ 3 1x  ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2017北京理科）设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得 m n ”是“ 0<m n ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2016上海理科）设aR，则“ 1a ”是“ 12 a ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2017新课标Ⅱ卷理）设集合  1,2,4A  ，  2 4 0B x x x m    ．若  1A B  ，则 B  A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5 10．（2017新课标Ⅲ卷理）已知集合 A= 2 2( , ) 1x y x y │ ，B= ( , )x y y x│ ，则 A B中元素的个数 为 A．3 B．2 C．1 D．0 11．（2016浙江卷理）命题“ *x n   ，R N ，使得 2n x ”的否定形式是 14 A． *x n   ，R N ，使得 2n x B． *x n   ，R N ，使得 2n x C． *x n   ，R N ，使得 2n x D． *x n   ，R N ，使得 2n x 12．（2017北京卷理）设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得 m n ”是“ 0<m n ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2017天津卷理）设 R，则“ π π| | 12 12    ”是“ 1sin 2   ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知集合  | 0 0{ } ,1x x ax   ，则实数 a的值为 A．−1 B．0 C．1 D．2 15．已知集合 , ,则  P Q R ð A． B． C． D． 16．设命题 p: 1, lnx x x   ,则 p 为 A． 0 0 01, lnx x x   B． 0 0 01, lnx x x   C． 0 0 01, lnx x x   D． 1, lnx x x   17．“若 1 2 a  ，则 0x  ，都有   0f x  成立”的逆否命题是 A． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2 a  B． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2 a  C． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2 a  D． 0x  ，有   0f x  成立，则 1 2 a  18．已知集合  { , | 1,0 1}A x y y x x     ，集合  { , | 2 ,0 10}B x y y x x    ，则集合 A B  15 A． 1,2 B． 1, 2x y  C．   1,2 D． 1, 2x x  19．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 20．“ 1m  ”是“函数   3 3 3x mf x   在区间 1, 无零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．设a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使  a b a b 成立的充分条件是 A．  a b B． ∥a b C． 2a b D． ∥a b 且 a b 22．已知命题 p :对任意 xR ,总有 2 0; : 1x q x  是 2x  的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 A． p q B． p q  C． p q  D． p q 23．已知命题 p：“关于 x的方程 2 4 0x x a   有实根”，若 p 为真命题的充分不必要条件为 3 1a m  ， 则实数m的取值范围是 A． 1, B．  1, C．  ,1 D．  ,1 24．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 p是“第一次射击击中目标”，命题 q是“第二次射击击中目 标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 A．    p q   为真命题 B．  p q  为真命题 C．    p q   为真命题 D． p q 为真命题 25．（2018北京理科）能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增 函数”为假命题的一个函数是__________． 26．已知集合  1,2,2 1A m   ，集合  22,B m ，若 B A ，则实数m =________． 16 27．若命题“ 2 0 0 0, 2 0x x x m    R ”是假命题，则m的取值范围是__________． 28．已知条件  2: log 1 0p x  ，条件 :q x a ，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 ______． 29．下列有关命题的说法一定正确的是________.（填序号） ①命题“ x R， sin 1x  ”的否定是“ 0x R， 0sin 1x  ” ②若向量 ∥a b ，则存在唯一的实数使得 a b ③若函数  f x 在R上可导，则  0 0f x  是 0x 为函数极值点的必要不充分条件 ④若“ p q ”为真命题，则“  p q  ”也为真命题 30．命题 p：若 0x  ，则 x a ；命题q：若 2m a  ，则  sinm x x R 恒成立.若 p的逆命题， q的 逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是__________. ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 17