高考数学复习专题练习第2讲 排列与组合

高考数学复习专题练习第2讲 排列与组合

第2讲 排列与组合 一、选择题 ‎1．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任某运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有(　　)‎ A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 解析 可以先从其余的4位同学中选出1人担任游泳比赛的志愿者，有C种方法，再从剩余的4人中选出2人分别担任田径和球类比赛的志愿者，有A种方法，则由分步乘法计数原理可得，不同的安排方法共有CA＝48(种)．‎ 答案 C ‎2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有 (　　)．‎ A.24种 B.60种 C.90种 D.120种 解析　可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A＝60(种)．‎ 答案　B ‎3．如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝ (　　)．‎ A．2n B．2n－1 ‎ C．2n－2 D．(n－1)2n－1‎ 解析　(特例法)当n＝2时，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；‎ 当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.故选B.‎ 答案　B ‎4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ‎ (　　)．‎ A.42 B‎.30 ‎ C.20 D.12‎ 解析　可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A＝42)．‎ 答案　A ‎5．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有(　　)‎ A．2 680种 B．4 320种 C．4 920种 D．5 140种 解析 先将7盆花全排列，共有A种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5×A×A种，故所求摆放方法有A－5×A×A＝4 320(种)．‎ 答案 B ‎6．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 (　　)．‎ A．232 B．‎252 ‎ C．472 D．484‎ 解析　若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，乘余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为(用数字作答)________．‎ 解析 分三类：①1女2男，共CC＝50(种)；②2女1男，共CC＝50(种)；③3女0男，共C＝10(种)．‎ 所以共有50＋50＋10＝110(种)．‎ 答案 110‎ ‎8．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．‎ 解析　a，b，c中不含0时，有A个；a，b，c中含有0时，有‎2A个．故共有A＋‎2A＝294个不同的二次函数．‎ 答案　294‎ ‎9．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．‎ 解析　出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法．因此，共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860(种)．‎ 答案　860‎ ‎10．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．‎ 解析　对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．‎ 答案　20‎ 三、解答题 ‎11． 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．‎ ‎(1)A，B必须当选；‎ ‎(2)A，B必不当选；‎ ‎(3)A，B不全当选；‎ ‎(4)至少有2名女生当选；‎ ‎(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．‎ 解　(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C＝120种选法．‎ ‎(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C＝252种选法．‎ ‎(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672种选法．‎ ‎(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C－C·C－C＝596种选法．‎ ‎(5)分三步进行；‎ 第1步，选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法．‎ 第2步，选2男1女补足5人有C·C种选法．‎ 第3步，为这3人安排工作有A方法．由分步乘法计数原理，共有CC·CC·A＝12 600种选法．‎ ‎12．由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数．‎ ‎(1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？‎ ‎(2)若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？‎ ‎(3)若x＝0，其中的偶数共有多少个？‎ ‎(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.‎ 解 (1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有A＝6(个)．‎ ‎(3)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，‎ ‎∴这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，‎ ‎∴共有2×A＝12(个)．‎ ‎(3)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：‎ ‎①0在个位的，有A＝6(个)．‎ ‎②个位是2或4的，有A×A×A＝8(个)，‎ ‎∴这种偶数共有6＋8＝14(个)．‎ ‎(4)显然x≠0，∵1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A×A次，‎ ‎∴这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)×A×A，‎ 即(1＋2＋4＋x)×A×A＝252，‎ ‎∴7＋x＝14，∴x＝7.‎ ‎13．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：‎ ‎(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？‎ ‎(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？‎ ‎(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？‎ ‎(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？‎ 解　(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)；‎ ‎(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)；‎ ‎(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，‎ 共有CC＋C＝6 936(种)；‎ ‎(4)方法一　(直接法)：‎ 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：‎ 一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，‎ 所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(种)．‎ 方法二　(间接法)：‎ 由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)．‎ ‎14．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4 321的逆序数a3＝6.‎ ‎(1)求a4、a5，并写出an的表达式；‎ ‎(2)令bn＝＋，证明：2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….‎ ‎(1)解　由已知条件a4＝C＝10，a5＝C＝15，‎ 则an＝C＝.‎ ‎(2)证明　bn＝＋＝＋＝2＋2 ‎∴b1＋b2＋…＋bn ‎＝2n＋2 ‎＝2n＋2，‎ ‎∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.‎