2019年高考数学高分突破复习练习专题六 第2讲
第2讲 基本初等函数、函数与方程
高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A.－ B. C. D.1
解析 f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，
则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
答案 C
2.(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析 c＝log＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c>a>1.又b＝ln 2<1，故c>a>b.
答案 D
3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
解析 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
答案 C
4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
答案 30
考 点 整 合
1.指数式与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).
2.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0
1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当00，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝在R上有最大值，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.
因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，
∴∴a≤－，∵a(a＋1)≠0，
∴|a|∈∪(1，＋∞).当x≤时，g(x)＝4x∈(0，2]，又g(x)＝在R上有最大值，则当x>时，log|a|x≤2，且|a|∈，∴log|a|≤2，∴|a|2≤，则|a|≤，又a≤－，∴－≤a≤－.
答案 (1)B (2)A
探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.
2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件.
【训练1】 (1)函数y＝ln |x|－x2的图象大致为( )
(2)(2018·西安调研)设函数f(x)＝则满足f[f(t)]＝2f(t)的t的取值范围是________.
解析 (1)易知y＝ln|x|－x2是偶函数，排除B，D.当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.A项满足.
(2)若f(t)≥1，显然成立，则有或
解得t≥－.
若f(t)<1，由f[f(t)]＝2f(t)，可知f(t)＝－1，
所以t＋＝－1，得t＝－3.
综上，实数t的取值范围是.
答案 (1)A (2)
热点二 函数的零点与方程
考法1 确定函数零点个数或其存在范围
【例2－1】 (1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )
A. B. C.(1，2) D.(2，3)
(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________.
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
f ＝log2－＝－1－2＝－3＜0，
f(1)＝log21－＝0－1＜0，
f(2)＝log22－＝1－＝＞0，
f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.
(2)由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
答案 (1)C (2)3
探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.
2.判断函数零点个数的主要方法：
(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；
(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.
【训练2】 函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
解析 f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：
由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
答案 2
考法2 根据函数的零点求参数的取值或范围
【例2－2】 (2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________.
解析 当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝ 作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a<<2a，解得40)的交点个数问题：常见的错误是误认为y＝2a，y＝a是两条直线，忽视x的限制条件.
2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
【训练3】 (2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________.
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 －
热点三 函数的实际应用
【例3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.
【训练4】 (2018·大连质检)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为( )
A.5海里 B. 海里
C.5海里 D.10海里
解析 设中转站M到B处的距离为x海里，修造管道的费用为y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，y＝a(3＋100－x)，0≤x≤100，则y′＝a＝a.令y′＝0，得3x＝，解得x＝.∴当x＝时，y取得最小值.
答案 B
1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0，且a≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.
2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)零点存在性定理注意两点：
①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.
3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.
(3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.
一、选择题
1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析 M≈3361，N≈1080，≈，
则lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴≈1093.
答案 D
2.(2018·潍坊三模)已知a＝，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系是( )
A.a1.因此c>b>a.
答案 A
3.函数f(x)＝ln x＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
A. B. C.(1，e) D.(e，＋∞)
解析 函数f(x)＝ln x＋ex在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点.
当x→0＋时，f(x)→－∞；又f ＝ln＋e＝e－1>0，
∴函数f(x)＝ln x＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.
答案 A
4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A.a＋b0，b<0，所以ab<0，所以ab4.
答案 (1，3]∪(4，＋∞)
7.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为________.
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 5
8.(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是________.
解析 在同一坐标系内，作函数y＝f(x)与y＝ax的图象，当y＝ax是y＝ln x的切线时，设切点P(x0，y0)，∵y0＝ln x0，a＝(ln x)′|x＝x0＝，∴y0＝ax0＝1＝ln x0，x0＝e，故a＝.故y＝ax与y＝f(x)的图象有三个交点时，01时，由f(x)＝3f(2)＝3得x＋1＝27，即x＝26.
当x≤1时，由f(x)＝3得5－x＝8，即x＝－3.
故方程f(x)＝3f(2)的解集为{－3，26}.
(2)当x>1时，f(x)＝log3(x＋1)递增，且f(x)∈(log32，＋∞).
当x≤1时，f(x)＝log2(5－x)递减，且f(x)∈[2，＋∞).
由g(x)＝f(x)－a＝0得f(x)＝a，
故当a∈(－∞，log32]时，g(x)的零点个数为0；
当a∈(log32，2)时，g(x)的零点个数为1；
当a∈[2，＋∞)时，g(x)的零点个数为2.
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，
即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
11.(2018·江苏卷选编)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0∈R
，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.
(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；
(2)若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝ln x存在“S点”，求实数a的值.
(1)证明 函数f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2，
则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2.
由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得
此方程组无解，
因此，f(x)与g(x)不存在“S点”.
(2)解 函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x，
则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.
设x0为f(x)与g(x)的“S点”，
由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得
即 (*)
得ln x0＝－，即x0＝e－，则a＝＝.
当a＝时，x0＝e－满足方程组(*)，
即x0为f(x)与g(x)的“S点”.
因此，a的值为.
