高考数学理二轮专练四中档大题目三

高考数学理二轮专练四中档大题目三

中档大题(三)‎ ‎1．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a≠0)，an＋2＝p·(其中p为非零常数，n∈N*)．‎ ‎(1)判断数列{}是不是等比数列；‎ ‎(2)求an.‎ ‎2．(2013·高考重庆卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD ＝.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥PBDF的体积．‎ ‎3．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)已知函数f(x)＝2sin(＋)(0≤x≤5)，点A、B分别是函数y＝f(x)图象上的最高点和最低点．‎ ‎(1)求点A、B的坐标以及·的值；‎ ‎(2)设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．‎ ‎4．(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.‎ ‎(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；‎ ‎(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为y＝，求这批产品平均每个的利润．‎ ‎5．(2013·北京市东城区高三教学统一检测)如图，在菱形ABCD中，MA⊥平面ABCD，且四边形ADNM是平行四边形．‎ ‎(1)求证：AC⊥BN；‎ ‎(2)当点E在AB的什么位置时，使得AN∥平面MEC，并加以证明．‎ ‎ ‎ ‎6．(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年的SO2的年排放量约为9.3万吨．‎ ‎(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？‎ ‎(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度，在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．‎ ‎(参考数据：≈0.950 5，≈0.955 9)‎ 答案：‎ ‎1．【解】(1)由an＋2＝p·，得＝p·.‎ 令cn＝，则c1＝a，cn＋1＝pcn.‎ ‎∵a≠0，∴c1≠0，＝p(非零常数)，‎ ‎∴数列{}是等比数列．‎ ‎(2)∵数列{cn}是首项为a，公比为p的等比数列，‎ ‎∴cn＝c1·pn－1＝a·pn－1，即＝apn－1.‎ 当n≥2时，an＝··…··a1＝(apn－2)×(apn－3)×…×(ap0)×1＝an－1p，‎ ‎∵a1满足上式，∴an＝an－1p，n∈N*.‎ ‎2．【解】(1)证明：因为BC＝CD，‎ 所以△BCD为等腰三角形．‎ 又∠ACB＝∠ACD，所以BD⊥AC.‎ 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，‎ 从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)三棱锥PBCD的底面BCD的面积 S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD ‎＝×2×2×sin＝.‎ 由PA⊥底面ABCD，得 VPBCD＝·S△BCD·PA＝××2＝2.‎ 由PF＝7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，‎ 故VFBCD＝·S△BCD·PA＝×××2＝，‎ 所以VPBDF＝VPBCD－VFBCD＝2－＝.‎ ‎3．【解】(1)∵0≤x≤5，∴≤＋≤，‎ ‎∴－≤sin(＋)≤1.‎ 当＋＝，即x＝1时，sin(＋)＝1，f(x)取得最大值2；‎ 当＋＝，即x＝5时，sin(＋)＝－，f(x)取得最小值－1.‎ 因此，点A、B的坐标分别是A(1，2)、B(5，－1)．‎ ‎∴·＝1×5＋2×(－1)＝3.‎ ‎(2)∵点A(1，2)、B(5，－1)分别在角α、β的终边上，‎ ‎∴tan α＝2，tan β＝－，‎ ‎∵tan 2β＝＝－，‎ ‎∴tan(α－2β)＝＝.‎ ‎4．【解】(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.‎ 设样本容量为n.∵样本中产品净重小于100克的个数是36，‎ ‎∴＝0.300，∴n＝120.‎ ‎∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，‎ ‎∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.‎ ‎(2)产品净重在[96，98)，[98，104)，[104，106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，0.075×2＝0.150.‎ ‎∴其相应的频数分别为120×0.100＝12，120×0.750＝90，120×0.150＝18.‎ ‎∴这批产品平均每个的利润(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)．‎ ‎5．【解】(1)证明：连接BD，则AC⊥BD.‎ 由已知得DN⊥平面ABCD，‎ 因为DN∩DB＝D，‎ 所以AC⊥平面NDB.‎ 又BN⊂平面NDB，‎ 所以AC⊥BN.‎ ‎(2)当E为AB的中点时，有AN∥平面MEC.‎ 设CM与BN交于F，连接EF.‎ 由已知可得四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点，‎ 因为E是AB的中点，‎ 所以AN∥EF.‎ 又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，‎ 所以AN∥平面MEC.‎ ‎6．【解】(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，‎ 依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，‎ 所以y＝5×9.3＋×(－0.3)＝43.5(万吨)．‎ 所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨．‎ ‎(2)由已知得，2012年的SO2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，‎ 所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1－p的等比数列．‎ 由题意得9×(1－p)8<6，‎ 由于04.95%.‎ 所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%，1)．‎