高中数学必修1示范教案（3_1 单调性与最大（小）值 第2课时）
第2课时 函数的最值
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思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?
学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.
思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］；
③f(x)=x2+2x+1;④f(x)=x2+2x+1,x∈［-2,2］.
学生回答后，教师引出课题：函数的最值.
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新知探究
提出问题
①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.
图1-3-1-11
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？
③你是怎样理解函数图象最高点的?
④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？
图1-3-1-12
⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？
⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？
⑦函数最大值的几何意义是什么？
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？
⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？
⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？
讨论结果:
①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.
⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.
⑦函数图象上最高点的纵坐标.
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.
⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.
提出问题
①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
讨论结果：①函数最小值的定义是:
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.
②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.
应用示例
思路1
例1求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.
活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解：设2≤x1
0,(x1-1)(x2-1)>0.
∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间［2，6］上是减函数.
所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；
当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f(6)= .
变式训练
1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.
答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.
2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.
分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.
设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，
又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，
则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t≥0)取最小值－1.
所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.
答案：-1
3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.
分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.
解：函数图象如图1-3-1-13所示.
图1-3-1-13
由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，
故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18
，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.
解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.
图1-3-1-14
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
当t==1.5时，函数有最大值,
即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
变式训练
1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2≥2.
当x=2时，S取最小值2m2.故选D.
答案：D
2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.
分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.
解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则
y=(x-8)［60-(x-10)·10］
=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).
当且仅当x=12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.
思路2
例1已知函数f(x)=x+,x>0，
（1）证明当00的最小值.
活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.
（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）=（x1＋）－（x2+）=（x1－x2）+=，
∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，
∴f（x1）－f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2），即当00，
∴f（x1）－f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.
（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值.
又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x>0取最小值是2.
解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，
图1-3-1-15
由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.
利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,
再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.
图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.
变式训练
1.求函数y=（x≥0）的最大值.
解析:可证明函数y=（x≥0）是减函数，
∴函数y=（x≥0）的最大值是f(0)=3.
2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.
解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=其图象如图1-3-1-16所示.
图1-3-1-16
由图象得，函数的最小值是2，无最大值.
解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，
图1-3-1-17
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.
3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0400时，f(x)=60000-100x是减函数;
又f(x)<60000-100×400<25000,
所以，当x=300时，有最大值25000,
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.
知能训练
课本P32练习5.
［补充练习］
2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.
解：（1）每件产品的成本为元，故2007年的利润
y=1.5××x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3)-m=28-m（万元）（m≥0）.
（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.
拓展提升
问题：求函数y=的最大值.
探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，
图1-3-1-18
故图象最高点是(,).
则函数y=的最大值是.
(方法二)函数的定义域是R，
可以证明当x<时，函数y=是增函数；
当x≥时，函数y=是减函数.
则当x=时，函数y=取最大值,
即函数y=的最大值是.
(方法三)函数的定义域是R，
由y=,得yx2+yx+y-1=0.
∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，
当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.
当y≠0时，则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，
则有Δ=(-y)2-4×y(y-1)≥0.∴00时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.
2.反比例函数：y=(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）上存在最值，当k>0时，函数y=的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k<0时，函数y=的最大值为f(b)＝，最小值为f(a)＝.
3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)＝km+b，最小值为f(n)＝kn+b.
4.二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0):
当a>0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值.
二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：
(1)若＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).
(2)若p≤≤q，则f(x)min=f(),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p≤＜时，则f(x)max=f(q);
②当＝时，则f(x)max=f(p)＝f(q);
③当＜＜q时，则f(x)max=f(p).
(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).
由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.
(设计者：方诚心)
