人教版高中数学选修1-1课件：3_3_3《函数的最值与导数》

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第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质 , 而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。 观察区间 [ a , b ] 上函数 y = f ( x ) 的图象， 你能找出它的 极大值点 ， 极小值点 吗？ 极大值点 ， 极小值点 你能说出函数的 最大值点 和 最小值点 吗？ 最大值点 ： a ， 最小值点： d 最小值是 f ( b ). 单调函数的最大值和最小值容易被找到。 函数 y = f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上 最大值是 f ( a ), 图 1 最大值是 f ( x 3 ), 图 2 函数 y = f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上 最小值是 f ( x 4 ). 一般地，如果在区间 [ a , b ] 上函数 y = f ( x ) 的图象是 一条连续不断的曲线 ，那么 它必有最大值和最小值。 怎样求函数 y = f ( x ) 在区间 [ a , b ] 内的最大值 和最小值？ 思考 只要把函数 y = f ( x ) 的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。 例 1 、求函数 f ( x )= x 3 - 12 x +12 在 [0, 3] 上的 最大值，最小值。 x ( - ∞, - 2) - 2 ( - 2,2) 2 (2,+∞) + 0 - 0 + f ( x ) 单调递增↗ 28 单调递减↘ - 4 单调递增↗ 例 1 、求函数 f ( x )= x 3 - 12 x +12 在 [0,3] 上的 最大值，最小值。 解：由上节课的例 1 知，在 [0,3] 上， 当 x =2 时， f ( x )= x 3 - 12 x +12 有极小值， 并且极小值为 f (2)= - 4. 又由于 f (0)=12, f (3)=3, 因此，函数 f ( x )= x 3 - 12 x +12 在 [0, 3] 上的 最大值为 12 ，最小值为 - 4 。 ① 求函数 y = f ( x ) 在 ( a , b ) 内的极值 ( 极大值与极小值 ); ② 将函数 y = f ( x ) 的各极值与 f ( a ) 、 f ( b ) （即端点的函数值）作比较 , 其中最大的一个为最大值 , 最小的一个为最小值 . 求函数 y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值与最小值的步骤如下 练习 1 、求函数 y =5 - 36 x +3 x 2 +4 x 3 在区间 [ - 2,2] 上的最大值与最小值。 因为 f ( - 2)=57, f (1.5)= - 28.75, f (2)= - 23 所以函数的最大值为 57 ，最小值为 - 28.75 解： = - 36+6 x +12 x 2 =6(2 x 2 + x - 6) 令 =0, 解得 x 1 = - 2 , x 2 =1.5 练习 2 、求函数 f ( x )= x 3 - 3 x 2 +6 x - 2 在区间 [ - 1,1] 上的最值。 解： =3 x 2 - 6 x +6=3( x 2 - 2 x +2) 因为 在 [ - 1,1] 内恒大于 0, 所以 f ( x ) 在 [ - 1,1] 上是增函数， 故当 x = - 1 时， f ( x ) 取得最小值 - 12 ； 当 x =1 时， f( x ) 取得最大值 2 。 例 2 、已知函数 f ( x )= - x 3 +3 x 2 +9 x + a ; (1) 求 f ( x ) 的单调递减区间； (2) 若 f ( x ) 在区间 [ - 2,2] 上的最大值为 20 ， 求它在该区间上的最小值。 令 <0, 解得 x < - 1 或 x >3 解 : (1) = - 3 x 2 +6 x +9 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( - ∞, - 1) ∪(3,+∞) - 1 2 3 (2) ∵ f ( - 2)=8+12 - 18+ a =2+ a f (2)= - 8+12+18+ a =22+ a ∴ f (2)> f ( - 2) 于是有 22+ a =20, 解得 a = - 2 ∴ f ( x )= - x 3 +3 x 2 +9 x - 2 ∴ f ( x ) 在 [ - 1,2] 上单调递增 ∴ 在 ( - 1,3) 上 >0, 又由于 f ( x ) 在 [ - 2, - 1] 上单调递减， 即函数 f ( x ) 在区间 [ - 2,2] 上的最小值为 - 7 。 ∴ f (2) 和 f ( - 1) 分别是 f ( x ) 在区间 [ - 2,2] 上的 最大值和最小值。 ∴ f ( - 1)=1+3 - 9 - 2= - 7, 例 3 、证明：当 x >0 时， x > ln (1+ x ) 解：设 f ( x )= x - ln (1+ x ). 即 x > ln (1+ x ). 又因为 f ( x ) 在 x =0 处连续， 所以 f ( x ) 在 x ≥0 上单调递增， 从而当 x >0 时，有 f ( x )= x - ln (1+ x )> f (0)=0 练习 3: 当 x >1 时 , 证明不等式 : 证 : 设 显然 f ( x ) 在 [1,+∞) 上连续 , 且 f (1)=0. 显然 , 当 x >1 时 , , 故 f ( x ) 是 [1,+∞) 上的增函数 . 所以当 x >1 时 , f ( x )> f (1)=0, 即当 x >1 时 , 例 4 、求证 证明：设 在 x =1 附近 由负到正 令 =0, 解得 x =1, 当 x =1 时， f ( x ) 有极小值，这里也是最小值 所以当 x >0 时， f ( x ) ≥ f (1)=0 从而 小 结 : ① 求函数 y = f ( x ) 在 ( a , b ) 内的极值 ( 极大值与极小值 ); ② 将函数 y = f ( x ) 的各极值与 f ( a ) 、 f ( b ) （即端点的函数值）作比较 , 其中最大的一个为最大值 , 最小的一个为最小值 . 求函数 y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值与最小值的步骤如下 再见