高中数学必修4:1_1_1任意角(教、学案)

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文档介绍

高中数学必修4:1_1_1任意角(教、学案)

‎1. 1.1‎任意角 一、教材分析 ‎“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念,它又是学好本章教学内容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后,对三角函数有一定的了解的基础上,进行的推广。它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且,通过这部分内容的学习,可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。‎ 二、教学目标 ‎1.理解任意角的概念;‎ ‎2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写。‎ 三、教学重点难点 ‎1.判断已知角所在象限;‎ ‎2.终边相同的角的书写。‎ 四、学情分析 五、教学方法 ‎1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法,通过多媒体课件在教师的带领下,学生发现就概念、就方法的不足之处,进而探索新的方法,形成新的概念,突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用,是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.‎ ‎2.学案导学:见后面的学案。‎ ‎3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 七、课时安排:1课时 八、教学过程 ‎(一)复习引入:‎ ‎1.初中所学角的概念。‎ ‎2.实际生活中出现一系列关于角的问题。‎ ‎(二)新课讲解:‎ ‎1.角的定义:一条射线绕着它的端点,从起始位置旋转到终止位置,形成 一个角,点 是角的顶点,射线分别是角的终边、始边。‎ 说明:在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记为.‎ ‎2.角的分类:‎ 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;‎ 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;‎ 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。‎ 说明:零角的始边和终边重合。‎ ‎3.象限角:‎ 在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与轴的非负轴重合,则 ‎(1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。‎ 例如:都是第一象限角;是第四象限角。‎ ‎(2)非象限角(也称象限间角、轴线角):如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。例如:等等。‎ 说明:角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为 轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的射线。‎ ‎4.终边相同的角的集合:由特殊角看出:所有与角终边相同的角,连同角 自身在内,都可以写成的形式;反之,所有形如 的角都与角的终边相同。 从而得出一般规律:‎ 所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,‎ 即:任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和。‎ 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。‎ ‎5.例题分析:‎ 例1 在与范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角?‎ ‎ (1) (2) (3) ‎ 解:(1),‎ 所以,与角终边相同的角是,它是第三象限角;‎ ‎(2),‎ 所以,与角终边相同的角是角,它是第四象限角;‎ ‎(3),‎ 所以,角终边相同的角是角,它是第二象限角。‎ 例2 若,试判断角所在象限。‎ 解:∵ ‎ ‎ ∴与终边相同, 所以,在第三象限。‎ 例3 写出下列各边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素 写出来: (1); (2); (3).‎ 解:(1),‎ 中适合的元素是 ‎ ‎ ‎(2),‎ S中适合的元素是 ‎ ‎ ‎(3)‎ S中适合的元素是 ‎ ‎ ‎(三)反思总结,当堂检测。‎ 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。‎ 设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课堂实录)‎ ‎(四)发导学案、布置预习。‎ 九、板书设计 十、教学反思 以学生的学习为视角,可以对这节课的教学进行如下反思:‎ ‎(1)学生对课堂提问,回答是否积极?学生能否独立或通过合作探索出问题的结果?‎ ‎(2)学生处理课堂练习题情况如何?可能的原因是什么?‎ ‎(3)教学任务是否完成?‎ 下面我们着重分析一下提问的效果。‎ 在回答教学设计中的各项提问时,大多数学生存在一定困难,特别是“问题1:任意画一个锐角α,借助三角板,找出sinα的近似值.”和“问题5:现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角α,sinα怎样定义好呢?”‎ 对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外,学生不熟悉独立地由一个锐角α,构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因,他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。‎ 对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样?”后,有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高,学生仅利用锐角三角函数的有关知识,难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此,教师必须要提供必要的脚手架。‎ ‎ 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步!‎ 十一、学案设计(见下页) ‎ ‎1.1.1‎任意角 ‎ 课前预习学案 一、预习目标 ‎1、认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分;‎ ‎ 2、能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性;‎ ‎3、能用集合和数学符号表示象限角;‎ ‎4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.‎ 二、预习内容 ‎ ‎1.回忆:初中是任何定义角的?‎ 一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫α的顶点。 ‎ 在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720o” (即转体2周),“转体1080o”(即转体3周);再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?如果慢了5分钟,又该如何校正?‎ ‎2.角的概念的推广: ‎3.正角、负角、零角概念 ‎4.象限角 思考三个问题: ‎ ‎1.定义中说:角的始边与x轴的非负半轴重合,如果改为与x轴的正半轴重合行不行,为什么?‎ ‎2.定义中有个小括号,内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字?‎ ‎3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?‎ ‎4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?‎ ‎(1)4200; (2)-750; (3)8550; (4)-5100.‎ ‎5.终边相同的角的表示 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎(1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;‎ ‎(2)理解任意角以及象限角的概念;‎ ‎(3)掌握所有与角a终边相同的角(包括角a)的表示方法;‎ 学习重难点:‎ 重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。‎ 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。‎ 二、学习过程 例1. 例1在范围内,找出与 角终边相同的角,并判定它是第几象限角.(注:是指)‎ 例2.写出终边在轴上的角的集合.‎ 例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式 的元素写出来.‎ ‎(三)【回顾小结】‎ ‎1.尝试练习 ‎(1)教材第3、4、5题.‎ ‎ (2)补充:时针经过3小时20分,则时针转过的角度为 ,分针转过的角度为 。‎ 注意: (1);(2)是任意角(正角、负角、零角);(3)终边相同的角不一定相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差的整数倍.‎ ‎2.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗?‎ (2) 象限角是如何定义的呢?‎ ‎(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?‎ ‎ (四)当堂检测 ‎1.设, ,那么有(  ).‎ ‎  A.   B.  C.( )  D. ‎ ‎2.用集合表示:‎ ‎  (1)各象限的角组成的集合.  (2)终边落在 轴右侧的角的集合.‎ ‎3.在~ 间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角 ‎(1) ;(2) ;(3) .‎ ‎3.解:(1)∵ ‎ ‎    ∴与 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;‎ ‎  (2)∵ ‎ ‎    ∴与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角;‎ ‎  (3) ‎ ‎  所以与 角终边相同的角是 ,它是第二象限角.‎ 课后练习与提高 ‎1. 若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少?‎ ‎2. 下列命题正确的是: ( )‎ ‎ (A)终边相同的角一定相等。 (B)第一象限的角都是锐角。‎ ‎ (C)锐角都是第一象限的角。 (D)小于的角都是锐角。‎ ‎3. 若a是第一象限的角,则是第 象限角。‎ ‎4.一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _.‎ ‎5.集合M={α=k,k∈Z}中,各角的终边都在(   )‎ ‎  A.轴正半轴上,     B.轴正半轴上,‎ ‎  C. 轴或 轴上,     D. 轴正半轴或 轴正半轴上 ‎6.设 ,      ‎ ‎    C={α|α= k180o+45o ,k∈Z} ,      ‎ ‎     ‎ 则相等的角集合为_ _.‎ 参考答案 ‎1. 解:2小时40分=小时,‎ ‎ 故分针走过的角为480。‎ ‎ 2. C 3. 一或三 4. 5. C 6. _B=D,C=E ‎
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