高考数学专题复习：专题6不等式、推理与证明、算法框图与复数 第1讲
专题六 第一讲
一、选择题
1．(2014·唐山市一模)己知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|log4x>}，则( )
A．A∩B＝∅ B．B⊆A
C．A∩∁RB＝R D．A⊆B
[答案] A
[解析] A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1
}＝{x|x>2}，∴A∩B＝∅.
2．(2014·山东理，5)已知实数x、y满足ax B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sinx>siny D．x3>y3
[答案] D
[解析] axy，
而幂函数y＝x3在定义域上为增函数，
∴x3>y3.
[点评] 可以用特值检验法求解．
3．(文)(2014·四川文，5)若a>b>0，c B.<
C.> D.<
[答案] B
[解析] ∵c－>0，
又∵a>b>0，∴－>－>0，即<.选B.
(理)已知a、b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是( )
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a|>|b| D．2a>2b
[答案] A
[解析] ∵a>b，b>b－1，∴a>b－1，
但当a>b－1时，a>b未必成立，故选A.
[点评] a>b＋1是a>b的充分不必要条件，2a>2b是a>b的充要条件；|a|>|b|是a>b
的既不充分也不必要条件．
4．(文)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A. B．4
C. D．2
[答案] C
[解析] ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2，
∴ab≤2，∴≥，等号在a＝1，b＝2时成立．
(理)若直线2ax＋by－2＝0(a、b∈R)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是( )
A．1 B．5
C．4 D．3＋2
[答案] D
[解析] 直线平分圆，则必过圆心．
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝11.
∴圆心C(1,2)在直线上⇒2a＋2b－2＝0⇒a＋b＝1.
∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2，故选D.
5．(2013·哈六中三模)在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．2 B.
C. D．2
[答案] B
[解析] 通过解方程组可得A(－，)，B(2,3)，C(0，－1)，E(0,1)，如图可知，S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝×|CE|×(xB－xA)＝.
6．(文)若实数x、y满足不等式组则w＝的取值范围是( )
A．[－1，] B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
[答案] D
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M(x，y)与点P(－1,1)连线斜率的取值范围．
由图可知wmin＝＝－，wmax<1，
∴w∈[－，1)．
(理)如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[答案] C
[解析] 画出表示的平面区域，直线kx－y＋1＝0过定点(0,1)，则k＝0或k＝－，
如图所示：A(，)，B(，1)，
∴所求三角形的面积为或.
二、填空题
7．(文)(2013·合肥质检)不等式组表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k＝________.
[答案] ±1
[解析] 本题可以通过画图解决，如图直线l：x－ky＋k＝0过定点(0,1)．当k＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．
(理)设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的最大值为________．
[答案] 41
[解析] 约束条件画出可行域如图，
易知x＝4，y＝5时，z有最大值，z＝42＋52＝41.
8．(2014·邯郸市一模)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝2，当x1、x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有>0，若f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]、a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
[答案] [－1,1]
[解析] ∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴当x1、x2∈[－1,1]且x1＋x2≠0时，
>0等价于>0，
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．
∵f(1)＝2，∴f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
要使f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]，a∈[－1，1]恒成立，
即－2≥m2－2am－5对所有a∈[－1,1]恒成立，
∴m2－2am－3≤0，设g(a)＝m2－2am－3，
则即∴－1≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[－1,1]．
三、解答题
9．(2013·杭州质检)已知函数f(x)＝－x3＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求过点P(－1,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
(2)当x∈[0,1]时，不等式x－≤f(x)≤x＋恒成立，求a的取值集合．
[解析] (1)a＝1时，f(x)＝－x3＋x，则f ′(x)＝－3x2＋1，
设切点T(x0，y0)，则f ′(x0)＝－3x＋1，
∴切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，
即y－(－x＋x0)＝(－3x＋1)(x－x0)．
把(－1,0)代入得(x0＋1)2(2x0－1)＝0，
∴x0＝－1或x0＝.
当x0＝－1时，切线方程为y＝－2x－2；
当x0＝时，切线方程为y＝x＋.
(2)不等式x－≤f(x)≤x＋，
即x－≤－x3＋ax≤x＋，
①当x＝0时，不等式显然成立．
②当x∈(0,1]时，不等式化为－＋x2≤a≤＋＋x2，
设g(x)＝－＋x2，h(x)＝＋＋x2，
则g′(x)＝＋2x>0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝1，h′(x)＝，
∴h(x)在(0，]上单调递减，在(，1]上单调递增，
∴h(x)min＝h()＝1，
∴1≤a≤1，∴a＝1.
综上知，a的取值集合为{1}.
一、选择题
10．(文)(2013·重庆文，7)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] ∵a>0，∴不等式x2－2ax－8a2<0化为(x＋2a)(x－4a)<0，∴－2a时，解集为(，b)，当b<时，解集为(b，)，当b＝时，解集为∅.
(理)设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b、c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间(，1)内存在唯一零点；
(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；
(3)设n＝2，若对任意x1、x2∈[－1,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围．
[分析] (1)利用零点存在性定理先判断f()．f(1)的正负，再用导数判断函数的单调性；
(2)利用线性规划或构造不等式均可解决；
(3)对任意x1，x2∈[－1,1]，都有≤4，即f(x)的最大值与最小值的差M≤4.
[解析] (1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.
∵f()f(1)＝(－)×1<0，
∴f(x)在(，1)内存在零点．
又当x∈(，1)时，f ′(x)＝nxn－1＋1>0，
∴f(x)在(，1)上是单调递增的，
∴f(x)在(，1)内存在唯一零点．
(2)解法1：由题意知
即
作出可行域如图，
由图形知，b＋3c在点(0，－2)处取到最小值－6，
在点(0,0)处取到最大值0，
∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法2：由题意知
－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①
－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②
①×2＋②得
－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，
当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，
所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法三：由题意知
解得b＝，c＝，
∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.
又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，
∴－6≤b＋3c≤0，
当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；
当b＝c＝0时，b＋3c＝0，
所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
(3)当n＝2时，f(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1、x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：
(ⅰ)当||>1，即|b|>2时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．
(ⅱ)当－1≤－<0，即0
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