全国大联考 2020 届 1 月联考文科数学试卷

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文科数学试卷·第 1 页（共 6 页） 20·LK1A·YG1 秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 1 月 2 日 15:00~17:00] 全国大联考 2020 届 1 月联考 文科数学试卷（A） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，需用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 3．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 4．考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，则 A. B. C. D. 2．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数为 D. 为纯虚数 3．已知 m，n 为两条不重合直线，α，β 为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出 的是 A. B. C. D. 4．已知向量 , 满足 ，且 , 则 在 方向上的投影为 A．1 B． C． D． 5．空气质量指数 AQI 是反映空气状况的指数, AQI 指数值越小, 表明空气质量越好, 其对应 关系如下表： AQI 指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 ＞300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某市 8 月 1 日 - 20 日 AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是 { | 1 0}, { 1, 0, 1}A x x B= +  = − AB= {1} { 1}− {0, 1} { 1, 0}− // / / , ,m n m n / / , ,m n m n⊥⊥ , / / , / /m n m n⊥ ,,m n m n⊥ ⊥ ⊥ a b | | 2, | | 2ab== ( 2 )a a b⊥+ b a 2− 2 1− 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考 证号 考场号 座位号 文科数学试卷·第 2 页（共 6 页） 20·LK1A·YG1 A.这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1/4 C.该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D.总体来说,该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质 量好 6．若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是 A. 48+π B. 48-π C. 48+2π D. 48-2π 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任 意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？” 贝特朗 用“随机半径”、 “随机端点”、 “随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同. 该悖 论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化. 已知“随机端点”的方 法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B，连接 AB，所得弦长 AB 大于 圆 O 的内接等边三角形边长的概率. 则由“随机端点”求法所求得的概率为 A. B. C. D. 8．已知 ，则 A． B． C． D． 9．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是 A. 3yx= B. | | 1yx=+ C. 2 1yx= − + D. ||2 xy −= 10．已知双曲线 的左右两个焦点分别为 为其左、右两个 1 4 1 3 1 2 3 2 tan 3 = cos(2 )2  += 3 5− 3 5 4 5 4 5− 22 221( 0, 0)xy abab− =   12, , ,F F A B 文科数学试卷·第 3 页（共 6 页） 20·LK1A·YG1 顶点，以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且 ， 则该双曲线的离心率为 11．已知 的边 AB，AC 的长分别为 2，3， ，则 的角平分线 AD 的长为 12．设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，则在区间 内关于 的方程 解得个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．计算： . 14．在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程是___________. 15．若实数 满足 则 的最小值为 . 16．已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线 上任意一点，过点 向圆 作切线，切点分别为 ， ，则四边形 面积的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本题满分 12 分） 已知正项等比数列 的前 项和为 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 2019 项和. 12FF 30AMB =  21A. 2 B. 13 C. 2 3 19D. 2 ABC△ 120BAC =  3A. 35 3B. 5 C. 6 35 6D. 5 ( )fx R ( ) ( )22f x f x+ = −  )2,0x− ( ) 2 12 x fx =− ( )2,6− x ( ) ( )8log 2 0f x x− + = 2 3lg 25 2lg 2 8+ + = 323 6 10y x x x= + + − ,xy , 6, 3 2, yx xy yx   +  − 5z x y= − + F 2:4C y x= M C M 221( 1) 2xy− + = A B AFBM {}na n 13, 2, 14nS a S== 1 2 2 2 1 2log 1, ( 1) log log n n n n n nn bb a c aa − + = + = − {}nc 文科数学试卷·第 4 页（共 6 页） 20·LK1A·YG1 18．（本题满分 12 分） 据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( )发文称，相比 20 年前世界变得更绿色了， 卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的 来自 于植树造林，下表是中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造 林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷 地区 造林总面积 造林方式 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 重庆 226333 100600 62400 63333 陕西 297642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 57438 7998 新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091 青海 178414 16051 159734 2629 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 19064 10012 4000 3999 1053 （1）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最 大和最小的地区（只要求写出结果即可）. （2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不 足 的概率是多少？ （3）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地 区退化林修复面积超过五万公顷的概率． NASA 42% 50% 文科数学试卷·第 5 页（共 6 页） 20·LK1A·YG1 19．（本题满分 12 分） 如 图 ， 在 四 边 形 中， ， ，点 在 上 ， 且 ， ，现将 沿 折起，使点 到达点 的位置，且 ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． 20．（12 分）椭圆 22 22: 1( 0)xyC a bab+ =   的离心率是√5 3 ，过点 P（0, 1）作斜率为 k 的 直线 l， 椭圆 C 与直线 l 交于 两点，当直线 垂直于 轴时 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 M 的坐标为 ， 是以 为底边的等腰三角形，求 k 值． 21．（12 分）已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）若关于 的方程 在区间 内无零点，求实数 的取值 范围. ABED AB DE∥ AB BE⊥ C AB AB CD⊥ 2AC BC CD= = = ACD△ CD A P 22PE = PBC ⊥ DEBC P EBC− ,AB l y | | 3 3AB = 5( , 0)12 AMB AB ( ) ( 2) , (0, )xf x x e x= −  +  ()fx x 2( ) 2 xf x e ax x= − + + (0, )+ a 文科数学试卷·第 6 页（共 6 页） 20·LK1A·YG1 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上 将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分； 多答按所答的第一题评分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），已知点 ，点 是曲线 上任意一点，点 为 的中点，以坐标原点为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系． （1）求点 的轨迹 的极坐标方程； （2）已知直线 与曲线 交于 ， 两点，若 ，求 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 的最大值为 3，其中 . （1）求 的值； （2）若 ， ， ，求证： . xOy 1C 2cos 2sin x y   = =     ( )4,0Q P 1C M PQ x M 2C :l y kx= 2C A B 3OA AB= k ( ) 2f x x m x m= − − + 0m  m ,abR 0ab  2 2 2a b m+= 33 1ab ba+