高考模拟数学试题汇编——解析几何解答题概率统计复习资料

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‎2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何（解答题）‎ ‎1．已知定点、，动点满足：等于点到点距离平方的倍.‎ ‎（Ⅰ）试求动点的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；‎ ‎（Ⅱ）（文）当时，求最大值和最小值.‎ ‎(理)当时，求最大值和最小值.‎ ‎2．已知两个动点A、B和一个定点M均在抛物线上.设F为抛物线的焦点，Q为对称轴上一点，若成等差数列.‎ ‎ （1）求的坐标；‎ ‎ （2）若││=3，的取值范围.‎ A B C O 如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|． 　　(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程； 　　(2)如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，‎ 证明：存在实数，使．‎ ‎4．‎ ‎5． 已知在平面直角坐标系中，向量的面积为，且，‎ ‎ （Ⅰ）设，求向量与的夹角的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且 当取最小值时，求椭圆的方程.‎ ‎6． 如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.‎ ‎ （I）求曲线E的方程；‎ ‎ （II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），‎ ‎ 且满足，求的取值范围.‎ ‎7． ‎ ‎8．如图，已知在坐标平面内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一点，△PMN的面积为 ‎（Ⅰ）求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）过点B（－1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=－4于点E，点B、E分 ‎ 、，求证：.‎ ‎9．如图：P（－3，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，且 的延长线上取一点M，使|=2|.‎ ‎（I）当A点在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（II）已知为 方向向量的直线l与轨迹C交于E、F两点，又点D（1，0），若∠EDF为钝角时，求k的取值范围.‎ ‎10．已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且 ‎（1）动点N的轨迹方程；‎ ‎（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.‎ ‎11、‎ ‎12． ‎ ‎2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何（解答题）‎ 参考答案 ‎1．解（I）设动点M的坐标为则，由题意 即整理，‎ 得………………………………………………3分 即所求动点轨迹方程 当时，方程化为，表示过（0，1）点且平行于轴的直线.………………………………………………………………………………………4分 当时，方程化为，表示以（0，为圆心，以为半径的圆.………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）（文）当时，方程化为 ‎ ………………………………………………………………………………8分 ‎…………………………………………………10分 ‎……………………………………………………12分 ‎（理）当时，方程化为 ‎ ‎………………………………………………………………………………………8分 设 ，‎ 则………10分 其中 ‎……………12分 ‎2．解：（1）设…1分 由成等差数列，有 ‎…………2分 ‎∵两式相减，得…………3分 设AB的中点为 ‎∴NQ是AB的垂直平分线，设…………4分 ‎∴…………5分 ‎∴ ∴…………6分 ‎（2）由……7分 ‎∴抛物线为…………8分 ‎∴有……9分 ‎∴…………10分 由…………11分 ‎∴的取值范围为（0，4）.…………12分 ‎3．(1)解：以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，设A(2，0)， 　　则椭圆方程为 2分 　　∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB| 又∵，∴AC⊥BC 又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形 ∴点C的坐标为(1，1) ∴点B的坐标为(－1，－1) 4分 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得， 则求得椭圆方程为 6分 ‎(2)证：证：由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)， 　　不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k， 　　因此PC、QC的直线方程分别为y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1 　　由 得：(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0 * 8分 　　∵点C(1，1)在椭圆上，∴x＝1是方程(*)的一个根， 　　∴xP•1＝即xP＝ 　　同理xQ＝ 9分 　　∴直线PQ的斜率为 11分 　　又∵，∴向量∥，即总存在实数，使成立． 12分 ‎4．‎ ‎5．解：（Ⅰ）由……2分 由……4分 夹角的取值范围是…………6分 ‎（Ⅱ）（解法一）设P不妨令 ‎ 由（I）知，PF所在直线的倾斜角为，则 ‎ ‎ 又 又由………………………………………………8分 当且仅当取最小值，此时，‎ ‎……………………………………10分 椭圆长轴 ‎ ‎ 故所求椭圆方程为………………………………………………12分 ‎（解法二）设P ‎ ‎ ‎ ……………………8分 又 ‎ 以下同解法一 ‎6．解：（1）‎ ‎∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又 ‎∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.‎ 且椭圆长轴长为焦距‎2c=2. ……………5分 ‎∴曲线E的方程为………………6分 ‎（2）当直线GH斜率存在时，‎ 设直线GH方程为 得 设……………………8分 ‎，‎ ‎……………………10分 又当直线GH斜率不存在，方程为 ‎……………………………………12分 ‎7． ‎ ‎8．解：（1）设 则 ‎ ① 又 ②…………2分 ‎ 由已知 即 ③‎ 将①②代入③， ‎ ‎ …………………………4分 设椭圆方程为在椭圆上，‎ ‎∴椭圆方程为：……………………6分 ‎（2）①当l的斜率不存在时，无交点，‎ 不合题意.‎ ‎②当的斜率存在时，设方程为，‎ 代入椭圆方程 化简得：……8分 设点、，则：‎ ‎，‎ ‎………10分 ‎ 而 ‎， …………12分 ‎9．解：（I）设A（0，y0）、Q（x0，0）、M（x，y），‎ 则 又 ①……3分 ‎ ②‎ 将②代入①，有…………………………………………6分 ‎（II）联立，‎ 得 ‎ ③………………8分 又……10分 而 ‎ ④…………………………12分 将③代入④整理有 由题知……………………………14分 ‎10．（1）设动点N的坐标为（x,y），则 …………………2分 ‎，因此，动点的轨迹方程为 ……4分 ‎（2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时，‎ 则由， 不合题意，‎ 故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由…6分 由点A，B在抛物线 又y2=4x, y=kx+b得ky2－4y+4b=0,……………………8分 所以……10分 因为解得直线l的斜率的取值范围是.………………………………………………………………12分 ‎11、解：‎ ‎12．‎ 第11部分:概率统计 一选择题 ‎1．（宁波市理）‎ 如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为C 第3题图 ‎（A） ， （B） ，‎ ‎（C） ， （D） ，‎ ‎2．（宁波市文）名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有D Ａ． B． 　 C． D．‎ ‎3．（台州市2008学年第一学期理文）用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是B A． B． C． D． ‎ ‎1．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有 Ａ． B． 　 C． D．‎ 答案：D ‎2．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文）)在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：C 第3题图 ‎3．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(理)）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ‎（A） ， （B） ，‎ ‎（C） ， （D） ，‎ 答案：C ‎4．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文理）)某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）‎ A．， B．， C．， D．， （第4题）‎ 答案：C ‎5.(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（）) 某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）. ‎ A．， B．， C．， D．， ‎ ‎ ‎ ‎5．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：B 二、填空题 ‎1（浙江省杭州市2009年）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 . ‎ ‎．23；23　‎ ‎2（温州市部分省重点中学2009）‎ ‎．为了解温州地区新高三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的 样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：‎ 分组 ‎151.5～158.5‎ ‎158.5～165.5‎ ‎165.5～172.5‎ ‎172.5～179.5‎ 频数 ‎6‎ ‎2l 频率 ‎0.1‎ 则表中的 ， 。‎ ‎2． 6 ， 0.45 ‎ ‎3（．浙江省嘉兴市文）．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：‎ 组别 ‎（10，20]‎ ‎（20，30]‎ ‎（30，40]‎ ‎（40，50]‎ ‎（50，60]‎ ‎（60，70]‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 则样本在(20，50]上的频率为 ▲ ． 60％．‎ ‎4．．（浙江省嘉兴市文）设，a，b∈R，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则使复数z2为纯虚数的概率为 ▲ ．．．‎ ‎6‎ ‎5. （台州市2008学年第一学期理）右图是某学校举行十佳歌手比赛，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，‎ 所剩数据的平均数是 ▲ ，方差是 ▲ .‎ ‎.85,2 ‎ ‎1.（2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题题（文））频率/组距 ‎ 月均用电量/度 ‎50 60 70 80 90 100 110‎ ‎（第1题）‎ ‎0．012‎ 某地为了了解该地区10000户家庭用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月均用电量，并根据这500户家庭月均用电量画出频率分布直方图(如图），则该地区10000户家庭中月均用电度数在[70，80]的家庭有________户．‎ 答案：1200‎ ‎2. （2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题（文））从1,2,3,4,5,6这6个数字中, 任取2个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ . ‎ 答案：‎ 三、解答题 ‎1（浙江省杭州市2009）19．（本题14分）设集合，，．用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计），若．‎ ‎（1）求方程有实根的概率；‎ ‎（2）求的分布列和数学期望．‎ ‎1．（本题14分）‎ 解：（1）∵‎ 当时，； 　　 --- 2分 当时，．基本事件总数为14． 　 --- 3分 记“方程有实根”为事件A，‎ 若使方程有实根，则，即，共6种．　 --- 2分 ‎∴． 　　 --- 2分 ‎（2）的分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 8/14‎ `1/14‎ 5/14‎ ‎--- 3分 ‎. 　　　　 　 --- 2分 ‎2（温州市部分省重点中学‎2009g理）‎ ‎（本小题满分14分）‎ ‎ 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.‎ ‎（Ⅰ）求油罐被引爆的概率;‎ ‎（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为.‎ 求的分布列及.( 结果用分数表示)‎ ‎2．解: ‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 4/9‎ 8/27‎ 4/27‎ 1/9‎ ‎3．（温州市部分省重点中学2009文）20．（本小题满分14分）‎ 现有8名数理化成绩优秀者，其中数学成绩优秀，物理成绩优秀，化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．‎ ‎（Ⅰ）求被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求和不全被选中的概率．‎ ‎3解：（Ⅰ）从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，‎ 其一切可能的结果组成的基本事件空间 ‎{，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎}‎ 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，‎ 因此这些基本事件的发生是等可能的．‎ 用表示“恰被选中”这一事件，则 ‎{，，， ，，，，，}‎ 事件由9个基本事件组成，因而．………………7分 ‎（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，‎ 则其对立事件表示“全被选中”这一事件，‎ 由于{}，事件有2个基本事件组成，‎ 所以，‎ 由对立事件的概率公式得．………………14分 ‎4（浙江省嘉兴市理）18．(本小题满分14分)‎ ‎ 一袋中有m(m∈N*)个红球，3个黑球和2个自球，现从中任取2个球．‎ ‎ （Ⅰ）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；‎ ‎ （Ⅱ）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；‎ ‎ （Ⅲ）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．‎ ‎4．解：(1)设“取出的2个球颜色相同”为事件A ‎ P(A)= 4(分)‎ ‎(2)‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 5/14‎ 15/28‎ 3/28‎ ‎ 7(分)‎ Eξ=0×+1×+2×= 9分 ‎(3)设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则 P(B)= 11分 ‎ ∴x2-6x+2>0‎ ‎ ∴x>3+或x<3-，x的最小值为6． 14分 ‎5．（宁波市理）（本题14分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．‎ ‎（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；‎ ‎（2）求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎5（Ⅰ）、可能的取值为、、，‎ ‎，，‎ ‎，且当或时，． …………4分 因此，随机变量的最大值为．‎ 有放回抽两张卡片的所有情况有种，‎ ‎． …………………………………………7分 ‎（Ⅱ）的所有取值为．…………………………………8分 时，只有这一种情况，‎ ‎ 时，有或或或四种情况，‎ 时，有或两种情况． ‎ ‎，，． …………11分 则随机变量的分布列为：‎ 1/9‎ 4/9‎ ‎2/9‎ 2/9‎ ‎………………………………………………………………12分 因此，数学期望．…………14分 ‎6 （台州市2008学年第一学期理）（本题满分14分）某商场在七月初七举行抽奖促销活动，要求一男一女参加抽奖，抽奖规则是:从装有3个白球和2个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回. 若1人摸出一个红球得奖金10元，1人摸出2个红球得奖金50元. 规定:一对男女中男的摸一次，女的摸二次.令表示两人所得奖金总额.‎ ‎（1）求=20时的概率;‎ ‎（2）求的数学期望.‎ ‎6对应的事件为：男的摸到红球且女的一次摸到红球，‎ ‎ ………………5分 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎27/125‎ 54/125‎ ‎24/125‎ ‎12/125‎ ‎8/125‎ ‎=16.8‎ ‎1.（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理））、甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任意取一张，用，分别表示甲、乙取得的卡片上的数字.（1）求概率）；（2）记，求的分布列与数学期望.‎ 解析：（1）记“”为事件A， （）的取值共有10种情况，满足的（）的取值有以下4种情况：（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），所以；‎ ‎（2）随机变量的取值为2，3，4，5，的分布列是 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎1/2‎ ‎1/5‎ 所以的期望为 ‎2.(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（理）)（本小题满分14分）在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.‎ ‎ （Ⅰ）求选出的4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；‎ ‎ （Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和 ‎ 数学期望．‎ 解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件 ‎ ‎ A，“从第二小组选出的2人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.由于事 ‎ 件A、B相互独立， 且, .……4分 ‎ 所以选出的4人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为 ‎ …………………………… 7分 ‎ （Ⅱ）设可能的取值为0,1,2,3.得 ‎ ,,‎ ‎ …………… 11分 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 4/45‎ ‎22/45‎ ‎2/9‎ ‎1/45‎ ‎ ∴ 的数学期望 …………14分 ‎3.（2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题（文））（本题14分）设集合，，, 若．‎ ‎(Ⅰ) 求b = c的概率；‎ ‎（Ⅱ）求方程有实根的概率．‎ 解：(Ⅰ) ∵, 当时，； ‎ 当时，．基本事件总数为14． --- 4分 其中,b = c的事件数为7种.‎ 所以b=c的概率为. ---- 3分 ‎（Ⅱ） 记“方程有实根”为事件A，‎ 若使方程有实根，则，即，共6种． --- 4分 ‎∴． --- 3分 ‎4．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(理)）（本题14分）在一个盒子中，放有标号分别为 ‎，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．‎ ‎（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；‎ ‎（2）求随机变量的分布列和数学期望．‎ 解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，‎ ‎，，‎ ‎，且当或时，． …………4分 因此，随机变量的最大值为．‎ 有放回抽两张卡片的所有情况有种，‎ ‎． …………………………………………7分 ‎（Ⅱ）的所有取值为．…………………………………8分 时，只有这一种情况，‎ ‎ 时，有或或或四种情况，‎ 时，有或两种情况． ‎ ‎，，． …………11分 则随机变量的分布列为：‎ 1/9‎ 4/9‎ ‎2/9‎ ‎2/9‎ ‎………………………………………………………………12分 因此，数学期望．…………14分