四川省棠湖中学2020届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题

四川省棠湖中学2020届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题

四川省成都双流棠湖中学高2020届第一次高考适应性考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若集合A＝{x|log2x＜3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∪B＝ ‎ A．{x|x＜8} B．{x|﹣2≤x≤4} C．{x|﹣2≤x＜8} D．{x|0＜x≤4}‎ ‎2．复数的虚部为 ‎ A．﹣i B．﹣ C．i D．‎ ‎3．已知，则 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b ‎4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N（modm）‎ 表示正整数n除以正整数m的余数为N，例如10≡4（mod6）．执行该程序框图，则 输出的n等于 A．11 B．13 ‎ C．14 D．17‎ ‎5.新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如 图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的 方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是 A．样本容量为240 ‎ B．若样本中对平台三满意的人数为40，则m＝40% ‎ C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300 ‎ D．样本中对平台一满意的人数为24人 ‎6．设不同直线l1：x﹣my+1＝0，l2：（m﹣1）x﹣2y﹣2＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．的展开式的常数项为 ‎ A．112 B．48 C．﹣112 D．﹣48‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2，（a2+a10）（2a3+a9）＝12，则S5＝ ‎ A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5‎ ‎9．已知，是单位向量，且+＝（，﹣1），则|﹣|＝‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎10．已知圆x2+y2﹣2x+4y＝0关于双曲线的一条渐近线对称，则m＝ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）＝2x+log2x，且实数a＞b＞c＞0，满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 ‎ A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c ‎12．如图，二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为60°，A，B是1上的两个定点，且AB＝2．C∈α，D∈β，满足AB与平面BCD所成的角为30°，且点A在平面BCD上的射影H在△BCD的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度等于 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若变量x，y满足，则x+y的最小值为　 　．‎ ‎14．已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2＝1，则a1＝　 　，d＝　 　．‎ ‎15．已知y＝f（x）的定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0（a，b∈R）有且仅有6个不同的实数根，在实数a的取值范围是　 　．‎ ‎16．△ABC中，（3+2）•＝0，且对于t∈R，|﹣t|最小值为|BC|，则∠BAC＝　 　．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）△ABC为直角三角形，斜边BC上一点D，满足．‎ ‎（I）若∠BAD＝30°，求∠C；‎ ‎（II）若，AD＝2，求BC．‎ ‎18．（12分）某省即将实行新高考，不再实行文理分科．某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下：‎ ‎（I）根据以上提供的信息，完成2×2列联表，并完善等高条形图；‎ 选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 ‎260‎ 总计 ‎600‎ ‎1000‎ ‎（II）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？‎ 附：‎ 临界值表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）如图，在多面体ABCDFE中，AB∥CD∥EF，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形．‎ ‎（I）求证：四边形CDFE为矩形；‎ ‎（II）若平面ABEF⊥平面ABCD，AB＝2，CD＝6，AD＝2，求在多面体ABCDFE的体积．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）＝a（x+1）2，g（x）＝xex．‎ ‎（I）若g（x）的切线过（﹣4，0），求该切线方程；‎ ‎（II）讨论f（x）与g（x）图象的交点个数．‎ ‎21．（12分）已知圆，圆，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．‎ ‎（I）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（II）过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OH⊥l与点H，且交曲线C于点Q．问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．‎ ‎（I）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（II）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2，求实数α的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．‎ ‎（I）解不等式f（x）≤9；‎ ‎（II）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．‎ 四川省成都双流棠湖中学高2020届第一次高考适应性考试 理科数学参考答案与试题解析 ‎1-5：CBBDB 6-10:CDDAD 11-12:DA ‎13.-3 14. 15. 16.‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．解：（1）∵△ABC为直角三角形，，∠BAD＝30°，‎ ‎∴由正弦定理：，即＝，‎ ‎∴，可得∠ADB＝∠C+∠DAC＝120°，‎ ‎∵∠BAD＝30°，∠C为直角，可得∠DAC＝60°，∴∠C＝60°．‎ ‎（2）设BD＝CD＝a，‎ ‎∴AB＝a，，BC＝3a，∴cosC＝＝，∵AD＝2，‎ ‎∴由余弦定理得：cosC＝＝＝，得，∴．‎ ‎18．解：（1）根据题意填写列联表如下，‎ 选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 ‎420‎ ‎320‎ ‎740‎ 数学成绩不优秀 ‎180‎ ‎80‎ ‎260‎ 总计 ‎600‎ ‎400‎ ‎1000‎ 完善等高条形图，如图所示；‎ ‎（2）由表中数据，计算K2＝≈12.474＞3.841，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关．‎ ‎19．解：（1）证明：分别取DF、CE的中点M，N，‎ ‎∵四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形，‎ ‎∴EF＝CD，且CD∥EF，‎ ‎∴四边形CDEF是平行四边形，‎ ‎∵AD＝AF，M为DF的中点，‎ ‎∴AM⊥DF，同理BN⊥CE，∴DF⊥BN，‎ ‎∵M为DF的中点，N为CE的中点，‎ ‎∴MN∥EF∥CD∥AB，且MN＝EF＝CD，‎ ‎∴A，B，N，M四点共面，且四边形ABNM是以AB，MN为底的梯形，‎ ‎∵DF⊥AM，DF⊥BN，且AM，BN是平面ABNM内的相交线，‎ ‎∴DF⊥平面ABNM，‎ ‎∵MN⊂平面ABNM，∴DF⊥MN，‎ 又MN∥EF，∴EF⊥DF，‎ ‎∴四边形CDFE为矩形．‎ ‎（2）解：连结AC，CF，作AH⊥CD，垂足为H，则AH⊥AB，‎ ‎∵AB＝2，CD＝6，∴DH＝2，‎ 在Rt△AHD中，AH＝＝＝2，‎ ‎∵CD∥AB，CD⊄平面ABEF，AB⊂平面ABEF，‎ ‎∴CD∥平面ABEF，‎ ‎∵平面ABEF⊥平面ABCD，AH⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，AH⊂平面ABCD，‎ ‎∴AH⊥平面ABEF，∴点C到平面ABEF的距离为2，‎ 同理，点F到平面ABCD的距离为2，‎ ‎∴S△ACD＝，VF﹣ACD＝＝4，‎ S梯形ABEF＝＝8，VC﹣ABEF＝，‎ ‎∴多面体ABCDFE的体积：‎ V＝VF﹣ACD+VC﹣ABEF＝4+＝．‎ ‎20解：（1）g（x）＝xex的导数为g′（x）＝（x+1）ex，‎ 设切点为（x0，y0），则，‎ 化简得x0＝x02+5x0+4，所以x0＝﹣2，k＝﹣e﹣2，‎ 切线方程为y＝﹣e﹣2（x+4）；‎ ‎（2）设F（x）＝g（x）﹣f（x），即讨论F（x）的零点个数．‎ F′（x）＝（1+x）ex﹣2a（1+x）＝（1+x）（ex﹣2a），‎ a＝0时，F（x）只有一个零点；‎ a＜0时，F（x）在（﹣∞，﹣1）↓，（﹣1，+∞）↑，‎ F（﹣1）＝﹣＜0，x→﹣∞，x→+∞时，F（x）均→+∞，此时，F（x）有两个零点；‎ a＞0时，x→﹣∞时，F（x）→﹣∞，x→+∞时，F（x）→+∞，‎ 由F'（x）＝0得x＝﹣1，x＝ln（2a），‎ 若时，F（x）在R上递增，只有一个零点；‎ 若a≠时，F（﹣1）＝﹣＜0，F（ln（2a））＝﹣a﹣aln2（2a）＜0，‎ 极大值、极小值均小于0，从而也只有一个零点．‎ 综上，a≥0时，f（x）与g（x）的图象只有一个交点；a＜0时，有两个交点．‎ ‎21．解：方法一：（1）如图设∠BOE＝α，则，D（2cosα，2sinα），所以xP＝2cosα，．所以动点P的轨迹C的方程为．‎ 方法二：（1）当射线OD的斜率存在时，设斜率为k，OD方程为y＝kx，‎ 由得，同理得，所以，‎ 即有动点P的轨迹C的方程为．‎ 当射线OD的斜率不存在时，点也满足．‎ ‎（2）由（1）可知E为C的焦点，设直线l的方程为（斜率不为0时），‎ 且设点M（x1，y1），N（x2，y2），由，‎ 得，‎ 所以，所以，‎ 又射线OQ方程为y＝﹣mx，代入椭圆C的方程得x2+2（my）2＝4，‎ 即，，，所以，‎ 又当直线l的斜率为0时，也符合条件．综上，为定值，且为．‎ ‎22解：（1）由曲线C1的参数方程为参数），得曲线C1的普通方程为，由曲线C2的极坐标方程ρ＝2cosθ，得C2‎ 的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；‎ ‎（2）曲线C1化为极坐标方程为，‎ 设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，‎ ‎∴，‎ 由知，，‎ ‎∵，∴或，∴或．‎ ‎23．解：（1）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，‎ 故，或，或；…（2分）‎ 解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1； …（4分）‎ 不等式的解集为[﹣2，4]；…（5分）‎ ‎（2）由题意：f（x）＝﹣x2+a⇔a＝x2﹣x+5，x∈[0，2]．‎ 故方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解⇔函数y＝a和函数y＝x2﹣x+5，图象在区间[0，2]上有交点 ‎∵当x∈[0，2]时，y＝x2﹣x+5∈[，7]‎ ‎∴，实数a的取值范围是[，7]…………………（10分）‎