2018-2019学年安徽省蚌埠第二中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省蚌埠第二中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省蚌埠第二中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知等差数列的前三项依次为,,，则此数列的通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知条件确定出公差d,再由通项公式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 等差数列中，，可得，‎ 由通项公式可得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.‎ ‎2．若为第一象限角，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为α为第二象限角，，‎ 所以．‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．‎ ‎3．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )‎ A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 ‎【答案】B ‎【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则===85.5，所以=9.5，由题知==31.5，所以=10.5，所以公差=−1，所以==2.5，故选B．‎ ‎4．已知等差数列中，若，则它的前7项和为（ ）‎ A．105 B．110 C．115 D．120‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等差数列的前7项和公式和性质计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 等差数列中，，,‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由确定cosα和sinα异号，从而可判断出选项.‎ ‎【详解】‎ 由即可确定cosα和sinα异号，则定有sin2α=2sinαcosα<0成立，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数值的符号，考查二倍角的正弦公式，是基础题．‎ ‎6．如果-1,a,b,c,-9依次成等比数列，那么 (　 )‎ A．b＝3， ac＝9 B．b＝3， ac＝-9‎ C．b＝-3， ac＝-9 D．b＝-3， ac＝9‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号.‎ 详解：由题意，又，∴，∴，‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.‎ ‎7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：因为向量，，若 ‎，‎ 解得为选C ‎8．已知，则等于（ ）‎ A．8 B．-8 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，可得，∴，，∴，故选．‎ ‎9．设等比数列的前n项和记为Sn，若，则（ ）‎ A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由为等比数列，再根据比例关系，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，则，由为等比数列，则，‎ 将、代入可得：，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的常见结论，已知数列为等比数列，则也为等比数列，若已知数列为等差数列也为等差数列.‎ ‎10．为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n,Sn)所在的抛物线可能为(　 　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当n≥1时{an}单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.‎ ‎11．已知Sn是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】运用等比数列的通项公式及前n项和公式，把问题中的两个相等关系转化为关于公比q与m的关系式，构成方程组求解即可。‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为，首项为，前n项和，‎ 由等比数列的前n项和公式及通项公式得，‎ ‎===28，即，‎ ‎==‎ 所以，解得，‎ 所以，所以答案选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题。‎ ‎12．已知函数，，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为当时函数值为，所以函数的最小值为等价于在上恒成立，利用参变分离可以求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 因为的最小值为且 时 ，‎ 故恒成立，也就是，‎ 当时，有；‎ 当时，有，故，‎ 所以选C．‎ ‎【点睛】‎ 含参数的函数的最值问题可以转化为恒成立即：‎ ‎（1）在上的最小值为等价于恒成立且存在，使得；‎ ‎（2）在上的最大值为等价于恒成立且存在，使得．‎ 二、填空题 ‎13．若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎14．函数的最小正周期是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y，再根据y＝Asin（ωx+）的周期等于T，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 函数＝，‎ ‎∴最小正周期为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角公式的逆用，三角函数的周期性及其求法，利用了y＝Asin（ωx+）的周期等于T可求，属于基础题．‎ ‎15．等比数列的前项和，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当时，，又 ，且数列为等比数列，所以，所以.‎ ‎【考点】等比数列的性质与前项和公式.‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列的性质与前项和公式，属中档题；当 时，等比数列的性质与前项和公式为，当时，等比数列的性质与前项和公式为,由此可知当给出一数列的前项和公式为时，只要，则该数列一定是等比数列.本题就是考查这一性质的.‎ ‎16．设等差数列的前n项和为,，，若，，则数列的最小项是____________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由S12＞0，S13＜0，结合等差数列的求和公式和性质可得a6＞0，a7＜0，a6＞|a7|从而得到判断．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的前n项和为,‎ 由S12＞0，得到，‎ 由S13＜0，得到，‎ 即a6+a7＞0，a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，a6＞|a7|，数列为单调递减数列，‎ 所以|a7|最小．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前 项和公式的应用，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质与前 项和的关系.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间。‎ ‎【答案】（1）2 ； （2）‎ ‎【解析】（1）由二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数式，再由特殊角的三角函数值，即可得到；‎ ‎（2）运用正弦函数的单调增区间，解不等式，即可得到所求区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）‎ ‎＝2sinxcosx+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x ‎＝1+sin（2x），‎ 则f（）＝1+sin（）＝1=2；‎ ‎（2）令2k2x2k，解得，kxk，k∈Z，‎ 则单调递增区间为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式及运用，考查三角函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知公差不为0的等差数列的前三项和为12，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意列出方程组，求得，即可得到数列的通项公式．‎ ‎（2）由（1）知，利用等比数列的前项和公式，即可求解数列的和．‎ 因为，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的首项为，公差为.‎ 依题意有，即.‎ 由，解得，所以. ‎ ‎（2）由（1）知.‎ 因为，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 等差、等比数列的综合是高考考查的热点，一般都是突出基本量和方程思想，强调基本的运算.解题时，关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量，即与来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化.‎ ‎19．设，已知向量，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知结合数量积的坐标运算求得，进一步得到，则答案可求；‎ ‎（2）由（1）利用二倍角公式求得sin（2）及cos（2），然后由展开两角和的余弦求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，且.‎ 所以，‎ 所以， ‎ 因为，所以， ‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2） 由（1）得，‎ 因为，所以，‎ 所以， ‎ 所以 ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，考查平面向量数量积的坐标运算，考查倍角公式及两角和的余弦，是中档题．‎ ‎20．（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式.‎ ‎ （2）若数列的前n项和，证明为等比数列.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）应用 （n） 求解，再验证，进而列出数列的通项公式.‎ ‎（2）应用 （n） ，求得与bn-1的关系，进而证明 为等比数列.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 显然当n＝1时，不满足上式.‎ 故数列的通项公式为 ‎(2)证明：由Tn＝bn＋，得当n≥2时，Tn－1＝bn－1＋， ‎ 两式相减，得bn＝bn－bn－1，‎ ‎∴当n≥2时，bn＝－2bn－1，‎ 又n＝1时，T1＝b1＝b1＋，∴b1＝1，‎ ‎∴bn＝(－2)n－1.即为b1＝1，公比q=-2的等比数列.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知Sn求通项公式，考查了等比数列，关键是理解并灵活应用 （n） ..‎ ‎21．已知函数 .‎ ‎（1）若函数在上的值域为 ，求的最小值；‎ ‎（2）在中， ，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)解析式进行化简得到，写出的范围，然后利用正弦函数图像的性质即可得到答案；（2）由条件可求得角A,然后将角B=代入已知等式进行化简即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 因为，所以，根据函数值域为，‎ 结合正弦函数图象分析知： ， ‎ 所以，所以的最小值为.‎ ‎（2）由，得，‎ 又是的内角，所以， ‎ ‎，化简整理得，‎ 则，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像性质的应用，属于基础题.‎ ‎22．已知数列满足，且．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）令，，求数列的前2019项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用分离常数法，将已知化简得，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式.（2）由（1）化简 利用分组求和法求得的值.‎ 试题解析：（1），且，‎ ‎∴，即，∴，‎ 数列是等差数列，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）由（1）知，∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎ ．‎