【精品】人教版 九年级下册数学 27

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第 1 页 共 9 页 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质 学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重 点、难点) 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点) 自主学习 一、知识链接 1. 相似三角形的判定方法有哪几种？ 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素? 合作探究 一、要点探究 探究点 1：相似三角形对应线段的比 思考 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平 分线的比各是多少？ 第 2 页 共 9 页 证明 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应高的比. 试一试 仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应 中线的比、对应角平分线的比. 【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比. 【典例精析】 例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm， EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长. 【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ， 第 3 页 共 9 页 对应边上的中线的比是 . 2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为 3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上 的高 A'D' ＝ . 思考 如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？ 【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比. 探究点 2：相似三角形面积的比 思考 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？ 证 明 画 出 它 们 的 高 ， 由 前 面 的 结 论 ， 我 们 有 kCB BC  ， kDA AD  ， 2 2 1 2 1 kkkDA AD CB BC DACB ADBC S S CBA ABC     △ △ 【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 第 4 页 共 9 页 2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍. 3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 为 60 cm，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是 . 例 2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的 边 BC 上的高为 6，面积为 512 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. 【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较 小三角形对应边上的高为______. 例 3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 5 3 AB AD AC AE ， 求四边形 BCDE 的面积. 相似比 2 k …… 周长比 1 3 …… 面积比 10000 …… 第 5 页 共 9 页 【针对训练】如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S 四边形 BFED : S△ABC 的值. 二、课堂小结 当堂检测 1. 判断： 第 6 页 共 9 页 (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ) 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP ＝2，则 DQ 的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D. 2 1 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于___ ___，面积比等于___________. 4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm， 面积是 12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2. 5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积. 6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC. 【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出 相似比，观察得到△ADE 与△DCE 是同高，得到 AE 与 CE 的比，进而求解. 第 7 页 共 9 页 参考答案 自主学习 一、知识链接 解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似 （2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似 （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （5）两角分别相等的两个三角形相似 （6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似 解：还有高，中线，平分线等等 合作探究 一、要点探究 探究点 1：相似三角形对应线段的比 证明 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' . ∴△ABD ∽△A' B' D' .∴ kBA AB DA AD  . 【典例精析】 例 1 解：∵ △ABC ∽△DEF，∴ EF BC EH BG  (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴ 4 68.4  EH ，解得 EH = 3.2.∴ EH 的长为 3.2 cm. 【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cm 思考 解：等于，如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 kAC CA CB BC BA AB  ， 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 kACCBBA ACkCBkBAk ACCBBA CABCAB    . 探究点 2：相似三角形面积的比 【针对训练】1. 第 8 页 共 9 页 2. (1) 5 (2) 10 3. (1) 100cm，40cm (2) 50cm2,8cm2 例 2 解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE，AC=2DF，∴ 2 1 AC DF AB DE . 又 ∵∠D=∠A，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 2 1 . ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 512 ，∴△DEF 的边 EF 上的高为 2 1 ×6 = 3， 面积为 535122 1 2      . 【针对训练】 14 例 3 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 5 3 AB AD AC AE ，∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25. 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). 【针对训练】解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，∴ △ADE ∽ △ABC ， ∴ 2 1 AB AD AC AE ，即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又∵ EF∥AB，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 2 1 AC CE ， ∴面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S 四边形 BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S 四边形 BFED : S△ABC = 2 : 4 = 2 1 . 当堂检测 相似比 2 1 3 100 k …… 周长比 2 1 3 100 k …… 面积比 4 1 9 10000 2k …… 第 9 页 共 9 页 1. (1) √ (2) × 2. C 3. 1:1 1:4 4. 14 3 4 5. 解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF， ∴△ADE ∽△EFC. 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25. 6. 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F，则 2 2 1 2 1     EC AE DFEC DFAE S S DCE ADE △ △ ， ∴ 3 2 AC AE . 又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC. ∴ 9 4 3 2 22          AC AE S S ABC ADE △ △ ，即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.