数学理卷·2019届河南省南阳市第一中学高二下学期第一次月考（2018-03）

数学理卷·2019届河南省南阳市第一中学高二下学期第一次月考（2018-03）

南阳一中2018年春期高二年级第一次月考 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，则复数=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）‎ A．2 B． C． D．1 ‎ ‎4.定义的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中（5），（6）对应的运算是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设在可导，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知是关于的方程的一个根，则（ ）‎ A．-1 B．1 C.-3 D．3‎ ‎7.以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.在下列命题中，正确命题的个数是（ ）‎ ‎①两个复数不能比较大小；‎ ‎②复数对应的点在第四象限；‎ ‎③若是纯虚数，则实数；‎ ‎④若，则.‎ A．0 B．1 C.2 D．3‎ ‎9.已知函数，则其导函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ）‎ A．男护士 B．女护士 C.男医生 D．女医生 ‎11.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ）‎ A．在直线上 B．在直线上 C.在直线上 D．在直线上 ‎12.若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）‎ A．9 B．10 C.11 D．12‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于第 象限．‎ ‎14.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 ．‎ ‎15.我们知道，在边长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ．‎ ‎16.二维空间中圆的一维测量（周长），二维测量（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度= ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 求下列函数的导数.‎ ‎（1）； （2）； （3）.‎ ‎18. 为何实数时，复数满足下列要求：‎ ‎（1）是纯虚数；‎ ‎（2）在复平面内对应的点在第二象限；‎ ‎（3）在复平面内对应的点在直线上.‎ ‎19. 设函数且.‎ ‎（1）试用反证法证明：；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎20. 若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值.‎ ‎21. 设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.‎ ‎22.已知数列的前项和（为正整数）.‎ ‎（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，试比较与的大小，并予以证明.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CADBA 6-10:AAACA 11、12：AD 二、填空题 ‎13.二 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ ‎（3）函数看作和的复合复数，‎ ‎，同样的可以求出的导数，所以题中函数的导数为.‎ ‎18.（1）‎ ‎.‎ ‎，得，即时，是纯虚数.‎ ‎（2）由，得，‎ 即时，在复平面内对应的点在第二象限.‎ ‎（3）由，得，‎ 即时，在复平面内对应的点在直线上.‎ ‎19.（1）假设，‎ 将上述不等式相加得，‎ ‎，‎ 这与矛盾，假设不成立，.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎20.设直线与曲线的切点坐标为，‎ 则，则切线的斜率或，若，此时切线的方程为，‎ 由，消去，可得，其中，即，‎ 解可得；若，其切线方程为，‎ 由，消去可得，又由，即，‎ 解可得.故或.‎ ‎21.（1）方程可化为.当时，.‎ 又，于是，解得，故.‎ ‎（2）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即.‎ 令得，从而得切线与直线的交点坐标为.‎ 令得，从而得切线与直线的交点坐标为.‎ 所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为.‎ 故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，此定值为6.‎ ‎22.（1）在中，令，可得，即.‎ 当时，，，‎ ‎，即，‎ ‎，即当时，.‎ 又，数列是首项和公差均为1的等差数列，‎ 于是.‎ ‎（2）由（1）得，所以 ‎，‎ 得 ‎，.‎ ‎，‎ 于是确定与的大小关系等价于比较与的大小.‎ 猜想：当时，.证明如下：‎ 证法1：（1）当时，由猜想显然成立.‎ ‎（2）假设时猜想成立，即.‎ 则时，，‎ 所以当时猜想也成立.‎ 综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有.‎ 证法2: 当时,‎ ‎，‎ 综上所述，当时，；当时，.‎