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【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷4【附详细答案和解析_可编辑】
【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷4【附详细答案和解析 可编辑】 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 已知复数z满足z(1+i)=2-i（i是虚数单位），则|z|=( ) A.52 B.25 C.52 D.102 2. 已知全集U＝R，A＝{x|2x<1}，则∁UA＝（ ） A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|x>0} D.{x|x≥0} 3. 已知两条不同直线a、b，两个不同平面α、β，有如下命题： ①若a // α，b⊂α，则a // b；②若a // α，b // α，则a // b； ③若α // β，a⊂α，则a // β；④若α // β，a⊂α，b⊂β，则a // b； 以上命题正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 4. 等差数列an中， a1=5,a3=7，则 an的公差为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5. 已知曲线y=x22-3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.12 6. 已知向量a→=(1,m)，b→=(3,-2)，且(a→+b→)//b→，则m=（ ） A.-23 B.23 C.-8 D.8 7. 某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ） A.45+92π B.36π C.63π D.216+9π 8. 抛物线y=14x2的焦点坐标是（ ） A.(1, 0) B.(0, 1) C.(116, 0) D.(0, 116) 9. 若函数f(x)=mx,x>1(4-m2)x+2,x≤1是R上的单调递增函数，则实数m的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.(4,8) C.[4,8) D.(1,4) 10. 已知定义在区间[-3,3]上的函数f(x)=2x+m满足f(2)=6，在[-3,3]上任取一个实数x，使得f(x)的值不小于4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.23 11. 双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ) A.42 B.43 C.4 D.2 12. 如图所示，在正方体AC1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α-β)＝（ ） A.66 B.33 C.306 D.63 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） 13. 若变量x，y满足约束条件x-2≤0x+y≥0x-y+2≥0，则z=3x+y的最大值是________. 14. 数列{an}中，若a1=2，an+1=2an+1，an=bn+2bn-1，n∈N*，则数列{|bn|}的前n项和为________． 15. 若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有________个（用数字作答）． 16. 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________． 三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计90分 ， ） 17.(14分) 在△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0． （1）求角B的值； （2）若b=7，a+c=5，求△ABC的面积． 18.(14分) 如图（1），在四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=23，BC=4，AD=6，E是AD上的点，AE=13AD．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，且A1C=4，如图（2）． （1）求证：平面A1BE⊥平面BCDE； （2）若P为线段BE上任一点，求直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值． 19.(14分) 设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2, 0)． （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，求∠OMA∠OMB的值． 20.(14分) 某24小时便利店计划购进一款盒装寿司（保质期为2天），已知该款寿司的进价为10元/盒，售价为15元/盒，如果2天之内无法销售，就当做垃圾处理，且2天内的销售情况相互独立．若该便利店每两天购进一批新做寿司，连续200天该款寿司的日销售情况如下表所示： 日销售量/盒 25 26 27 28 29 天数 40 10 80 50 20 (1)求便利店该款寿司这200天的日销售量的方差s2； (2)若n表示该便利店某日的寿司进货量，用这200天的日销售量频率代替对应日需求量的概率，以连续两天的销售总利润为决策依据，判断n=52和n=53哪一种进货量更加合适，并说明理由． 参考数据：265×0.7775=206.0375，250×0.1625=40.625． 21.(14分) 已知函数f(x)＝x-1x+alnx，g(x)＝xex-1x+1． （1）若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为1，求实数a的值 （2）若函数f(x)在区间[1, 2]上存在极小值，求实数a的取值范围； （3）当a＝1时，若g(x)≥f(x)+m恒成立，求实数m的最大值． 22.(10分) 在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P(-3, 0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-3＝0． （1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围； （2）设M(x, y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围． 23.(10分) 设函数f(x)=|x-2|+|2x-a|. (1)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)当f(x)=|x-a+2|时，求实数x的取值范围. 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷4【附详细答案和解析 可编辑】 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D 【解答】 由z(1+i)=2-i，得z=2-i1+i=(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2=12-32i， ∴ |z|=(12)2+(-32)2=102． 2.【答案】 D 【解答】 ∵ A＝{x|x<0}，U＝R， ∴ ∁UA＝{x|x≥0}． 3.【答案】 C 【解答】 解：①若a // α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误； ②若a // α，b // α，则a与b平行，相交或异面，故②错误； ③若α // β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a // β，故③正确； ④若α // β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故④错误． ∴ 正确的个数为1． 故选C. 4.【答案】 B 【解答】 解：因为a1=5,a3=7， 所以5+2d=7，解得d=1. 故选B. 5.【答案】 A 【解答】 解：设切点的横坐标为(x0，y)0)， 因为曲线y=x22-3lnx的一条切线的斜率为2， ∴ y'=x0-3x0=2, 解得：x0=3或-1(不合题意舍去)， 故x0=3. 故选A. 6.【答案】 D 【解答】 解：∵ 向量a→=(1,m)，b→=(3,-2)， ∴ a→+b→=(4,m-2)， ∵ (a→+b→)//b→， ∴ (-2)×4=3×(m-2)， 解得m=-23． 故选A． 7.【答案】 C 【解答】 解：由三视图知该几何体由上、下两部分组成，上方是底面圆的半径为3，高为6的圆柱， 下方是底面圆的半径为3、高为3的圆锥． 故该几何体的体积V=π×32×6+13×π×32×3=63π. 故选C. 8.【答案】 B 【解答】 解：由抛物线y=14x2可得x2=4y， 故焦点坐标为(0, 1). 故选B． 9.【答案】 C 【解答】 解：∵ 函数f(x)=mx,x>1(4-m2)x+2,x≤1是R上的单调递增函数， ∴ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 m>1，4-m2>0，m≥4-m2+2. 解得m∈[4,8). 故选C. 10.【答案】 B 【解答】 解：∵ f(2)=6，∴ 22+m=6，解得m=2， 故f(x)=2x+2．由f(x)≥4得2x+2≥4， ∴ x≥1，而x∈[-3,3]， 故根据几何概型的概率计算公式， 得x∈[-3,3]时f(x)的值不小于4的概率 P=3-13-(-3)=13． 故选B． 11.【答案】 C 【解答】 解：双曲线的标准方程为x24-y28=1，实轴长为4. 故选C. 12.【答案】 A 【解答】 连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C． ∵ B1A＝B1C，O是AC的中点，∴ OB1⊥AC， ∵ B1E=∥OB，∴ 四边形ODEB1是平行四边形， ∴ OB1 // DE， ∴ DE⊥AC， ∴ 直线AC与直线DE所成的角为α＝90∘， ∵ OM⊥BC，OM⊥BB1， ∴ OM⊥平面BCC1B1， ∴ ∠OB1M为直线DE与平面BCC1B1所成的角β， ∴ cos(α-β)＝sinβ=OMOB1， ∵ 正方体的棱长AB＝2，∴ OM＝1，OB=12BD=2， ∴ OB1=4+2=6， ∴ sinβ=16=66． 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】 10 【解答】 通过计算可得，当取点(2,4)时，z=3x+y的值最大， z=3×2+4=10. 14.【答案】 42n-1 【解答】 解：解法一 因为an=bn+2bn-1， 所以an+1=bn+1+2bn+1-1， 又an+1=2an+1， 所以bn+1+2bn+1-1=2bn+2bn-1+1， 化简得bn+1=-2bn． 又由a1=2和a1=b1+2b1-1， 可求得b1=4， 所以数列{bn}是以4为首项， -2为公比的等比数列， 所以bn=4⋅(-2)n-1， 所以|bn|=2n+1． 故数列{|bn|}的前n项和为221-2n1-2=42n-1． 故答案为：42n-1． 解法二 因为an=bn+2bn-1， 所以bn=an+2an-1， 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 又an+1=2an+1， 所以bn+1=an+1+2an+1-1=2an+1+22an+1-1 =4+2an1-an=-2×an+2an-1=-2bn． 又由a1=2和a1=b1+2b1-1， 可求得b1=4， 所以数列{bn}是以4为首项， -2为公比的等比数列， 所以bn=4⋅(-2)n-1， 所以|bn|=2n+1． 故数列{|bn|}的前n项和为221-2n1-2=42n-1． 故答案为：42n-1． 解法三 因为a1=2， 所以an+1=2an+1中取n=1，2，3， 可求得a2=23，a3=65，a4=1011， 从而在an=bn+2bn-1中取n=1，2，3，4， 可求得b1=4，b2=-8，b3=16，b4=-32， 据此推测得bn=(-1)n-1⋅2n+1， 所以|bn|=2n+1． 故数列{|bn|}的前n项和为221-2n1-2=42n-1． 故答案为：42n-1． 15.【答案】 288 【解答】 解：由题意知需要3个偶数3个奇数， 第一步先将1，3，5，7排列选3个奇数，排成一排，共有A43=24种排法； 第二步再将2，4，6插空排列，不能空着两个偶数之间的空，先用两个元素排列中间两个空， 从在把两端的空位选一个放第三个元素，共有2A33=12种排法； 由分步乘法计数原理得共有24×12=288. 故答案为：288． 16.【答案】 -332 【解答】 解：由题意可得T=2π 是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0, 2π)上的值域， 先来求该函数在[0, 2π)上的极值点， 求导数可得f'(x)=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos2x-1) =2(2cosx-1)(cosx+1)， 令f'(x)=0，可解得cosx=12或cosx=-1， 可得此时x=π3，π或5π3； ∴ y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=π3，π 或 5π3和边界点中取到， 计算可得f( π3)=332， f(π)=0，f( 5π3)=-332，f(0)=0， ∴ 函数的最小值为-332. 故答案为：-332． 三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计90分 ） 17.【答案】 △ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0． 则：2cos2B+cosB-1=0 整理得：(2cosB-1)(cosB+1)=0 解得：cosB=12（-1舍去）． 则：B=π3． 利用余弦定理：b2=a2+c2-2accosB， 由于：b=7，a+c=5， 解得：ac=6． 所以：S△ABC=12acsinB=332． 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 【解答】 △ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0． 则：2cos2B+cosB-1=0 整理得：(2cosB-1)(cosB+1)=0 解得：cosB=12（-1舍去）． 则：B=π3． 利用余弦定理：b2=a2+c2-2accosB， 由于：b=7，a+c=5， 解得：ac=6． 所以：S△ABC=12acsinB=332． 18.【答案】 （1）证明：取BE的中点O，连结A1O，CO，CE． 在四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=23，BC=4，AD=6，AE=13AD， 所以A1E=AE=2，BE=DE=4． 所以四边形BCDE为菱形，且△BCE为等边三角形． 又因为BO=EO，所以CO⊥BE． 因为A1O=12BE=2，CO=23，A1C=4， 所以A1O2+CO2=A1C2，即CO⊥A1O． 又因为A1O∩BE=O，所以CO⊥平面A1BE． 又因为CO⊂平面BCDE，所以平面A1BE⊥平面BCDE． （2）解：以O为原点，向量OB→，OC→的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则C(0,23，0)，D(-4,23，0)，A1(-1,0,3)． 设P(t, 0, 0)(-2≤t≤2)， 所以PA1→=(-1-t,0,3)，CD→=(-4,0,0)，A1C→=(1,23,-3)． 设n→=(x, y, z)是平面A1CD的一个法向量， 则n→⋅CD→=0，n→⋅A1C→=0， 即-4x=0，x+23y-3z=0． 令y=1，得n→=(0, 1, 2)． 设直线PA1与平面A1CD所成角为θ， 则sinθ=|cos⟨PA1→，n→⟩|=23(t+1)2+3×5≤255， 当且仅当t=-1时，即点P的坐标为(-1, 0, 0)时等号成立， 所以直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值为255． 【解答】 （1）证明：取BE的中点O，连结A1O，CO，CE． 在四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=23，BC=4，AD=6，AE=13AD， 所以A1E=AE=2，BE=DE=4． 所以四边形BCDE为菱形，且△BCE为等边三角形． 又因为BO=EO，所以CO⊥BE． 因为A1O=12BE=2，CO=23，A1C=4， 所以A1O2+CO2=A1C2，即CO⊥A1O． 又因为A1O∩BE=O，所以CO⊥平面A1BE． 又因为CO⊂平面BCDE，所以平面A1BE⊥平面BCDE． （2）解：以O为原点，向量OB→，OC→的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则C(0,23，0)，D(-4,23，0)，A1(-1,0,3)． 设P(t, 0, 0)(-2≤t≤2)， 所以PA1→=(-1-t,0,3)，CD→=(-4,0,0)，A1C→=(1,23,-3)． 设n→=(x, y, z)是平面A1CD的一个法向量， 则n→⋅CD→=0，n→⋅A1C→=0， 即-4x=0，x+23y-3z=0． 令y=1，得n→=(0, 1, 2)． 设直线PA1与平面A1CD所成角为θ， 则sinθ=|cos⟨PA1→，n→⟩|=23(t+1)2+3×5≤255， 当且仅当t=-1时，即点P的坐标为(-1, 0, 0) 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 时等号成立， 所以直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值为255． 19.【答案】 解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1， 由已知可得， 点A的坐标为1,22或1,-22． 所以AM的方程为 y=-22x+2或y=22x-2． （2）由题意知直线l的斜率不为0， 当l与x轴不垂直时， 设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)， Ax1,y1，Bx2,y2， 直线MA，MB的斜率之和为 kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2， 由y1=kx1-1，y2=kx2-1得 kMA+kMB=2kx1x2-3kx1+x2+4kx1-2x2-2， 将y=k(x-1)代入x22+y2=1 得2k2+1x2-4k2x+2k2-2=0， 所以x1+x2=4k22k2+1， x1x2=2k2-22k2+1． 则2kx1x2-3kx1+x2+4k =4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0， 从而kMA+kMB=0， 故MA，MB的倾斜角互补， 所以∠OMA=∠OMB． 当l与x轴垂直时， 由椭圆方程的对称性可知， ∠OMA=∠OMB． 所以∠OMA∠OMB=1． 【解答】 解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1， 由已知可得， 点A的坐标为1,22或1,-22． 所以AM的方程为 y=-22x+2或y=22x-2． （2）由题意知直线l的斜率不为0， 当l与x轴不垂直时， 设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)， Ax1,y1，Bx2,y2， 直线MA，MB的斜率之和为 kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2， 由y1=kx1-1，y2=kx2-1得 kMA+kMB=2kx1x2-3kx1+x2+4kx1-2x2-2， 将y=k(x-1)代入x22+y2=1 得2k2+1x2-4k2x+2k2-2=0， 所以x1+x2=4k22k2+1， x1x2=2k2-22k2+1． 则2kx1x2-3kx1+x2+4k =4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0， 从而kMA+kMB=0， 故MA，MB的倾斜角互补， 所以∠OMA=∠OMB． 当l与x轴垂直时， 由椭圆方程的对称性可知， ∠OMA=∠OMB． 所以∠OMA∠OMB=1． 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 20.【答案】 解：(1)日销售量为25，26，27，28，29时， 对应的频率分别为0.2，0.05，0.4，0.25，0.1， 则x¯=25×0.2+26×0.05+27×0.4+28×0.25+29×0.1=27， 故s2=(25-27)2×0.2+(26-27)2×0.05+ (28-27)2×0.25+(29-27)2×0.1=1.5． (2)依题意，连续两天需求量的可能情况如下表： 两天需求量/盒 50 51 52 53 54 55 56 57 58 概率 0.04 0.02 0.1625 0.14 0.225 0.21 0.1425 0.05 0.01 设当n=52和n=53时连续两天的销售总利润分别为Y1，Y2元， 当n=52时，连续两天的销售总利润Y1的分布列如下所示： Y1 260 245 230 P 0.94 0.02 0.04 故E(Y1)=260×0.94+245×0.02+230×0.04=258.5， 当n=53时，连续两天的销售总利润Y2的分布列如下所示： Y2 265 250 235 220 P 0.7775 0.1625 0.02 0.04 故E(Y2)=265×0.7775+250×0.1625+235×0.02+220×0.04=260.1625， 因为E(Y2)>E(Y1)，故n=53更加合适． 【解答】 解：(1)日销售量为25，26，27，28，29时， 对应的频率分别为0.2，0.05，0.4，0.25，0.1， 则x¯=25×0.2+26×0.05+27×0.4+28×0.25+29×0.1=27， 故s2=(25-27)2×0.2+(26-27)2×0.05+ (28-27)2×0.25+(29-27)2×0.1=1.5. (2)依题意，连续两天需求量的可能情况如下表： 两天需求量/盒 50 51 52 53 54 55 56 57 58 概率 0.04 0.02 0.1625 0.14 0.225 0.21 0.1425 0.05 0.01 设当n=52和n=53时连续两天的销售总利润分别为Y1，Y2元， 当n=52时，连续两天的销售总利润Y1的分布列如下所示： Y1 260 245 230 P 0.94 0.02 0.04 故E(Y1)=260×0.94+245×0.02+230×0.04=258.5， 当n=53时，连续两天的销售总利润Y2的分布列如下所示： Y2 265 250 235 220 P 0.7775 0.1625 0.02 0.04 故E(Y2)=265×0.7775+250×0.1625+235×0.02+220×0.04=260.1625， 因为E(Y2)>E(Y1)，故n=53更加合适． 21.【答案】 由题意f'(x)＝1+1x2+ax，(x>0)． f'(1)＝1+1+a＝1， ∴ a＝-1． f'(x)＝1+1x2+ax=x2+ax+1x2，(x>0)． 设h(x)＝x2+ax+1，(x>0)． 根据题意函数f(x)在区间[1, 2]上存在极小值， 即f'(x)在区间[1, 2]上存在零点，且f'(1)≤0f'(2)≥0 ， ∵ x>0，∴ h(1)≤0h(2)≥0 ， 即1+a+1≤04+2a+1≥0 ， 解得-52≤a≤-2． ∴ 实数a的取值范围为：[-52, -2]． 当a＝1时，f(x)＝x-1x+lnx，(x>0)． 设F(x)＝g(x)-f(x)＝xex+1-x-lnx，(x>0)． 则F'(x)＝ex+xex-1-1x=(x+1)(ex-1x)． 解方程ex-1x=0，转化为ex=1x，大致图象如下： 根据图形，设交点横坐标为x0， 当x＝1时，e>1， 当x=12时，e12<2， ∴ 12查看更多