【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)4【附详细答案和解析_可编辑】

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【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)4【附详细答案和解析_可编辑】

‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)4【附详细答案和解析_可编辑】‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. “a≤0‎”是“函数fx=|ax-1‎x|‎在区间‎0,+∞‎内单调递增”的(        ) ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎2. 坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是(        ) ‎ A.‎(1,π‎2‎)‎ B.‎(1,-π‎2‎)‎ C.‎(1, 0)‎ D.‎‎(1, π)‎ ‎ ‎ ‎3. 设f(n)=2+‎2‎‎4‎+‎2‎‎7‎+‎2‎‎10‎+...+‎2‎‎3n+1‎(n∈N)‎,则f(n)‎等于( ) ‎ A.‎2‎‎7‎‎(‎8‎n-1)‎ B.‎2‎‎7‎‎(‎8‎n+1)‎ C.‎2‎‎7‎‎(‎8‎n+1‎-1)‎ D.‎‎2‎‎7‎‎(‎8‎n+1‎+1)‎ ‎ ‎ ‎4. 下列说法正确的是( ) ‎ A.因为sin(π-x)‎=sinx,所以π是函数y=sinx的一个周期 B.因为tan(2π+x)‎=tanx,所以‎2π是函数y=tanx的最小正周期 C.因为x=‎π‎4‎时,等式sin(π‎2‎+x)=sinx成立,所以π‎2‎是函数y=sinx的一个周期 D.因为cos(x+π‎3‎)≠cosx,所以π‎3‎不是函数y=cosx的一个周期 ‎ 二、 填空题 (本题共计 14 小题 ,每题 4 分 ,共计56分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎5. 如关于x的不等式‎|x+1|-|ax-1|>0‎对任意x∈(0,1)‎恒成立,则a的取值范围为________. ‎ ‎ ‎ ‎6. i为虚数单位,若复数‎(1+mi)(1+i)‎是纯虚数,则实数m=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎7. 平行于直线‎4x+3y-10=0‎,且与其距离为‎2‎的直线方程是________. ‎ ‎ ‎ ‎8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为‎15‎,乙组数据的平均数为‎15.8‎,则x+y的值为________. ‎ ‎ ‎ ‎9. 函数y=-arccos2x的反函数为________. ‎ ‎ ‎ ‎10. 如图,三棱锥P-ABC的体积为‎24‎,又‎∠PBC=‎∠ABC=‎90‎‎∘‎,BC=‎3‎,AB=‎4‎,PB=4‎‎10‎,且‎∠PBA为锐角,则PA与平面ABC所成的角为________. ‎ ‎ ‎ ‎11. 已知α∈(-π‎2‎,π‎2‎)‎,tanα=sin‎76‎‎∘‎cos‎46‎‎∘‎-cos‎76‎‎∘‎sin‎46‎‎∘‎,则sinα=________ ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知‎(x+1‎)‎‎4‎=a‎0‎+a‎1‎(x-1)+a‎2‎(x-1‎)‎‎2‎+a‎3‎(x-1‎)‎‎3‎+a‎4‎(x-1‎‎)‎‎4‎,则a‎3‎‎=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎13. ‎△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,‎且满足‎(b+c)(b-c)=a(b-a)‎,则内角C等于________. ‎ ‎ ‎ ‎14. 已知函数f(x)‎是定义在R上的奇函数,f(1)‎=‎0‎,当x>0‎时,xf‎'‎(x)-f(x)>0‎,则不等式f(x)‎x‎>0‎的解集是________. ‎ ‎ ‎ ‎15. 无穷数列‎{an}‎由k个不同的数组成,Sn为‎{an}‎的前n项和.若对任意n∈‎N‎*‎,Sn‎∈{2, 3}‎,则k的最大值为________. ‎ ‎ ‎ ‎16. 平面向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为‎45‎‎∘‎,a‎→‎‎=(1,-1),|b‎→‎|=1‎,则‎|a‎→‎+2b‎→‎|‎=________. ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知 sinαcosα=‎‎1‎‎8‎,且 π‎4‎‎<α<‎π‎2‎,则 sinα-cosα 的值为________. ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ‎ ‎18. 已知‎|a‎→‎|=|b‎→‎|=1‎,a‎→‎与b‎→‎夹角是‎120‎‎∘‎‎,c‎→‎=2a‎→‎+3b‎→‎,d‎→‎=ka‎→‎-4‎b‎→‎且c‎→‎与d‎→‎垂直,k的值为________. ‎ ‎ 三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 14 分 ,共计70分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎19. 如图,直三棱柱的底面是等腰直角三角形,AB=AC=1‎,‎∠BAC=‎π‎2‎,高等于‎3‎,点M‎1‎、M‎2‎、N‎1‎、N‎2‎为所在线段的三等分点. ‎ ‎(1)求此三棱柱的体积和三棱锥A‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎的体积;‎ ‎ ‎ ‎(2)求异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角的大小. ‎ ‎ ‎ ‎20. 有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S‎1‎和S‎2‎,其中S‎1‎中的蔬菜运到河边较近,S‎2‎中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S‎1‎和S‎2‎的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为‎(1, 0)‎,如图 ‎ ‎(1)‎求菜地内的分界线C的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎菜农从蔬菜运量估计出S‎1‎面积是S‎2‎面积的两倍,由此得到S‎1‎面积的经验值为‎8‎‎3‎.设M是C上纵坐标为‎1‎的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S‎1‎面积的“经验值”.‎ ‎ ‎ ‎21. 已知抛物线C‎1‎‎:y‎2‎=‎9‎‎2‎x,双曲线C‎2‎‎:x‎2‎-y‎2‎‎3‎=1‎.若抛物线C‎1‎与双曲线C‎2‎在第一象限的交点是P,直线l过点P,斜率为‎2‎. ‎ ‎(1)求双曲线C‎2‎的渐近线方程及其离心率;‎ ‎ ‎ ‎(2)求直线l被抛物线C‎1‎所截得的弦长.‎ ‎ ‎ ‎22. 已知a∈R,函数f(x)=log‎2‎(‎1‎x+a)‎. ‎ ‎(1)‎当a=5‎时,解不等式f(x)>0‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若关于x的方程f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎设a>0‎,若对任意t∈[‎1‎‎2‎, 1]‎,函数f(x)‎在区间‎[t, t+1]‎上的最大值与最小值的差不超过‎1‎,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎23. 设曲线y=xn+1‎(n∈N*)‎在点‎(1, 1)‎处的切线与 x 轴交于点An‎(xn, 0)‎,设an‎=x‎1‎x‎2‎...‎xn. ‎ ‎(1)求数列‎{an}‎的通项公式;‎ ‎ ‎ ‎(2)求数列‎{‎1‎an}‎的前n项和Sn.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)4【附详细答案和解析_可编辑】‎ 一、 选择题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 ) ‎ ‎1.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 本题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断. 当a=0‎时,fx=|ax-1‎x|=|x|‎在区间‎0,+∞‎上单调递增; 当a<0‎时,结合函数fx=|ax-1‎x|=|ax‎2‎-x|‎的图象知函数在‎0,+∞‎上单调递增,如图(1)所示; 当a>0‎时,结合函数fx=|ax-1‎x|=|ax‎2‎-x|‎的图象知函数在‎0,+∞‎上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数fx=|ax-1‎x|‎在‎0,+∞‎上单调递增只需a≤0‎. 即“a≤0‎”是“函数fx=|ax-1‎x|‎在‎0,+∞‎上单调递增”的充要条件.‎ ‎2.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解:将方程ρ=-2sinθ两边都乘以p得: ρ‎2‎‎=-2ρsinθ, 化成直角坐标方程为x‎2‎‎+y‎2‎+2y=0‎, 圆心的坐标‎(0, -1)‎, ∴ 圆心的极坐标‎(1,-π‎2‎)‎. 故选B.‎ ‎3.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:由题易知f(n)‎可看作是首项为‎2‎、公比为‎2‎‎3‎‎=8‎的等比数列的前n+1‎项和, ∴ f(n)=‎2(1-‎8‎n+1‎)‎‎1-8‎=‎‎2(‎8‎n+1‎-1)‎‎7‎, 故选:C.‎ ‎4.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 由sin(x+π)‎=‎-sinx,可得π不是函数y=sinx的一个周期,故A错误; tan(2π+x)‎=tanx,所以‎2π是函数y=tanx的一个正周期,由tan(x+π)‎=tanx, 可得π是函数y=tanx的最小正周期,故B错误; x=‎π‎4‎时,等式sin(π‎2‎+x)=sinx成立,但x=‎π‎3‎,等式sin(π‎2‎+x)=sinx不成立, 所以π‎2‎不是函数y=sinx的一个周期,故C错误; 由cos(x+π‎3‎)≠cosx,由周期函数的定义,可得π‎3‎不是函数y=cosx的一个周期,故D正确.‎ 二、 填空题 (本题共计 14 小题 ,每题 4 分 ,共计56分 ) ‎ ‎5.【答案】‎ ‎-1-1,‎对任意x∈(0,1)‎恒成立 ,‎ ‎∵ ‎1+‎2‎x>1+2=3‎,‎ ‎∴ ‎-10‎, 得函数g(x)=‎f(x)‎x在‎(0, +∞)‎上为增函数 又由g(-x)=f(-x)‎‎-x=f(x)‎x=g(x)‎,得函数g(x)‎在R上为偶函数 ∴ 函数g(x)‎在‎(-∞, 0)‎上为减函数 且g(1)‎=‎0‎,g(-1)‎=‎0‎ 由图可知f(x)‎x‎>0‎的解集是‎(-∞, -1)∪(1, +∞)‎ 故答案为:‎(-∞, -1)∪(1, +∞)‎. ‎ ‎15.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解:依题意得,a‎1‎‎=S‎1‎∈{2,3}‎,Sn‎∈{2,3}‎且Sn+1‎‎∈{2,3}‎, 因此an+1‎‎=Sn+1‎-Sn∈{-1,0,1}(n∈N‎*‎)‎, 即数列‎{an}‎从第‎2‎项起的不同取值不超过‎3‎个, 进而可知数列‎{an}‎中的项的所有不同取值的个数k≤4‎, 且事实上,取数列‎{an}‎为‎2,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,⋯‎, 此时相应的k=4‎,Sn‎∈{2,3}‎. 因此k的最大值是‎4‎. 故答案为:‎4‎. ‎ ‎16.【答案】‎ ‎10‎ ‎【解答】‎ 解:‎∵ a‎→‎=(1,-1)‎, ‎∴ |a‎→‎|=‎1‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎, 又∵ 平面向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为‎45‎‎∘‎,‎|b‎→‎|=1‎, ∴ ‎(a‎→‎+2‎b‎→‎‎)‎‎2‎‎=a‎→‎‎2‎‎+4a‎→‎b‎→‎+4‎b‎→‎‎2‎=‎2+4×‎2‎×1×‎2‎‎2‎+4×1‎=‎‎10‎. 故答案为:‎10‎.‎ ‎17.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎18.【答案】‎ ‎16‎ ‎【解答】‎ 解:∵ c‎→‎‎=2a‎→‎+3b‎→‎,d‎→‎=ka‎→‎-4‎b‎→‎且c‎→‎与d‎→‎垂直, ∴ c‎→‎‎⋅d‎→‎=0‎ ∵ ‎|a‎→‎|=|b‎→‎|=1‎,a‎→‎与b‎→‎夹角是‎120‎‎∘‎ ∴ ‎2k+(-8+3k)cos‎120‎‎∘‎-12=0‎ ∴ ‎2k-‎3‎‎2‎k=8‎ ∴ k=16‎ 故答案为:‎‎16‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 14 分 ,共计70分 ) ‎ ‎19.【答案】‎ ‎∵ 直三棱柱的底面是等腰直角三角形, AB=AC=1‎,‎∠BAC=‎π‎2‎,高等于‎3‎, ∴ 此三棱柱的体积V=S‎△BAC×AA‎1‎=‎1‎‎2‎×1×1×3=‎‎3‎‎2‎. ∵ 点M‎1‎、M‎2‎、N‎1‎、N‎2‎为所在线段的三等分点. M‎1‎到平面AA‎1‎N‎2‎的距离d=AB=1‎, ∴ 三棱锥A‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎的体积: VA‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎‎=VM‎1‎‎-A‎1‎AN‎2‎=‎1‎‎3‎×S‎△AA‎1‎N‎2‎×d =‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×3×1×1=‎‎1‎‎2‎.‎ 以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA‎1‎为z轴, 建立空间直角坐标系, A‎1‎‎(0, 0, 3)‎,N‎2‎‎(0, 1, 2)‎,A(0, 0, 0)‎,M‎1‎‎(1, 0, 1)‎, A‎1‎N‎2‎‎→‎‎=(0, 1, -1)‎,AM‎1‎‎→‎‎=(1, 0, 1)‎, 设异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为θ, 则cosθ=‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎*AM‎1‎‎→‎|‎‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎|*|AM‎1‎‎→‎|‎=‎1‎‎2‎‎*‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,∴ θ=‎π‎3‎, ∴ 异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为π‎3‎. ‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 直三棱柱的底面是等腰直角三角形, AB=AC=1‎,‎∠BAC=‎π‎2‎,高等于‎3‎, ∴ 此三棱柱的体积V=S‎△BAC×AA‎1‎=‎1‎‎2‎×1×1×3=‎‎3‎‎2‎. ∵ 点M‎1‎、M‎2‎、N‎1‎、N‎2‎为所在线段的三等分点. M‎1‎到平面AA‎1‎N‎2‎的距离d=AB=1‎, ∴ 三棱锥A‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎的体积: VA‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎‎=VM‎1‎‎-A‎1‎AN‎2‎=‎1‎‎3‎×S‎△AA‎1‎N‎2‎×d =‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×3×1×1=‎‎1‎‎2‎.‎ 以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA‎1‎为z轴, 建立空间直角坐标系, A‎1‎‎(0, 0, 3)‎,N‎2‎‎(0, 1, 2)‎,A(0, 0, 0)‎,M‎1‎‎(1, 0, 1)‎, A‎1‎N‎2‎‎→‎‎=(0, 1, -1)‎,AM‎1‎‎→‎‎=(1, 0, 1)‎, 设异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为θ, 则cosθ=‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎*AM‎1‎‎→‎|‎‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎|*|AM‎1‎‎→‎|‎=‎1‎‎2‎‎*‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,∴ θ=‎π‎3‎, ∴ 异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为π‎3‎. ‎ ‎20.【答案】‎ 解:‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎, 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎, 整理得:y‎2‎‎=4x,‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图,过M作MD⊥x轴, 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点, 设M(x‎0‎, 1)‎,则y‎0‎‎=1‎, ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎,‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎,则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎, 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎, 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎, S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎,S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎, ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎, 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎, 整理得:y‎2‎‎=4x,‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图,过M作MD⊥x轴, 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点, 设M(x‎0‎, y‎0‎)‎,则y‎0‎‎=1‎, ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎, ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎,则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎, 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎, 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎, S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎,S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎, ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积.‎ ‎21.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎22.【答案】‎ 解:‎(1)‎当a=5‎时,f(x)=log‎2‎(‎1‎x+5)‎, 由f(x)>0‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎, 即‎1‎x‎+5>1‎,则‎1‎x‎>-4‎,则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎, 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎, 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎.‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎, 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎. 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎, 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎,① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎, 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎,② 当a=4‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a=3‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a≠4‎且a≠3‎时,方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎, 若x=-1‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=a-1>0‎,即a>1‎, 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎,即a>2‎, 则要使方程①有且仅有一个解,则‎10‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎, 即‎1‎x‎+5>1‎,则‎1‎x‎>-4‎,则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎, 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎, 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎.‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎, 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎. 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎, 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎,① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎, 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎,② 当a=4‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a=3‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a≠4‎且a≠3‎时,方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎, 若x=-1‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=a-1>0‎,即a>1‎, 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎,即a>2‎, 则要使方程①有且仅有一个解,则‎1
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