专题10 导数的概念及运算-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍
1．了解导数概念的实际背景。
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义。
3．能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝1
x
，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数。
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
热点题型一 导数的计算
例 1、求下列函数的导数
(1)y＝exsinx；(2)y＝x
x2＋1
x
＋1
x3 ；
(3)y＝x－sinx
2
cosx
2
。(4)y＝ln(1－2x)。
【提分秘籍】导数计算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。
(2)方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。
【举一反三】
求下列函数的导数
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝ x＋x5＋sinx
x2 ；
(3)y＝－sinx
2
1－2cos2x
4 。
热点题型二 导数的几何意义及应用
例 2、【2017 课标 1，文 14】曲线 2 1y x x
在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】 1y x
【解析】设 y f x ，则 2
12f x x x
，所以 1 2 1 1f ，
所以曲线 2 1y x x
在点 1,2 处的切线方程为 2 1 1y x ，即 1y x ．
【提分秘籍】 导数几何意义的应用及解决
(1)已知切点 A(x0，y0)求斜率 k，即求该点处的导数值 k＝f′(x0)。
(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k。
(3)求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点 A(x0，f(x0))，则切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x
－x0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0。
(4)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组
求解。
提醒：当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点。
【举一反三】
设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】y′＝a－ 1
x＋1
，由题意得 y′|x＝0＝2，
即 a－1＝2，所以 a＝3。
1.【2017 课标 1，文 14】曲线 2 1y x x
在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】 1y x
2.【2017 课标 1，文 21】已知函数 ( )f x =ex(ex﹣a)﹣a2x．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若 ( ) 0f x ，求 a 的取值范围．
【答案】（1）当 0a ， )(xf 在 ( , ) 单调递增；当 0a ， ( )f x 在 ( ,ln )a 单调递减，在 (ln , )a
单调递增；当 0a ， ( )f x 在 ( ,ln( ))2
a 单调递减，在 (ln( ), )2
a 单调递增；（2）
3
4[ 2e ,1] ．
3.【2017 山东，文 20】（本小题满分 13 分）已知函数 3 21 1 ,3 2f x x ax a R .,
(I)当 a=2 时,求曲线 y f x 在点 3, 3f 处的切线方程；
(II)设函数 cos sing x f x x a x x ,讨论 g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极
值.
【答案】(I)3 9 0x y ,（2）(II)⑴ 0a 无极值；⑵ 0a 极大值为 31 sin6 a a ,极小值为 a ；
⑶ 0a 极大值为 a ,极小值为 31 sin6 a a .
【解析】
（Ⅰ）由题意 2f x x ax ，
所以，当 2a 时， 3 0f ， 2 2f x x x ，
所以 3 3f ，
因为 0 0h ，
所以，当 0x 时， 0h x ；当 0x 时， 0h x .
（1）当 0a 时， sing x x a x x ，
当 ,x a 时， 0x a ， 0g x ， g x 单调递增；
当 ,0x a 时， 0x a ， 0g x ， g x 单调递减；
当 0,x 时， 0x a ， 0g x ， g x 单调递增.
所以当 x a 时 g x 取到极大值，极大值是 31 sin6g a a a ，
当 0x 时 g x 取到极小值，极小值是 0g a .
（2）当 0a 时， sing x x x x ，
当 ,x 时， 0g x ， g x 单调递增；
所以 g x 在 , 上单调递增， g x 无极大值也无极小值.
（3）当 0a 时， sing x x a x x ，
当 ,0x 时， 0x a ， 0g x ， g x 单调递增；
当 0,x a 时， 0x a ， 0g x ， g x 单调递减；
当 ,x a 时， 0x a ， 0g x ， g x 单调递增.
所以当 0x 时 g x 取到极大值，极大值是 0g a ；
当 x a 时 g x 取到极小值，极小值是 31 sin6g a a a .
综上所述：
1.【2016 高考新课标 1 文数】若函数 1( ) sin 2 sin3f x x - x a x 在 , 单调递增,则 a 的取值范
围是（ ）
（A） 1,1 （B） 11, 3
（C） 1 1,3 3
（D） 11, 3
【答案】C
【解析】 21 cos2 cos 03f x x a x
对 xR 恒成立，
故 221 2cos 1 cos 03 x a x
，即 24 5cos cos 03 3a x x
恒成立，
即 24 5 03 3t at
对 1,1t 恒成立，构造 24 5
3 3f t t at ，开口向下的二次函数 f t 的
最小值的可能值为端点值，故只需保证
11 03
11 03
f a
f a
，解得 1 1
3 3a ．故选 C
2.【2016 高考四川文科】设直线 l1，l2 分别是数 f(x)= ln ,0 1,
ln , 1,
x x
x x
图象上点 P1，P2 处的切线，
l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是( )
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
【答案】A
3.【2016 高考四川文科】已知 a 函数 3( ) 12f x x x 的极小值点，则 a =( )
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 23 12 3 2 2f x x x x ，令 0f x 得 2x 或 2x ，易得 f x 在 2 , 2
上单调递减，在 2 , 上单调递增，故 f x 的极小值点为 2，即 2a ，故选 D.
【2015 高考新课标 1，文 14】已知函数 3 1f x ax x 的图像在点 1, 1f 的处的切线过点 2,7 ，
则 a .
【答案】1
【解析】∵ 2( ) 3 1f x ax ，∴ (1) 3 1f a ，即切线斜率 3 1k a ，
又∵ (1) 2f a ，∴切点为（1， 2a ），∵切线过（2,7），∴ 2 7 3 11 2
a a
，解得 a 1.
【2015 高考天津，文 11】已知函数 ln , 0,f x ax x x ,其中 a 为实数, f x 为 f x 的导
函数,若 1 3f ,则 a 的值为 ．
【答案】3
【解析】因为 1 lnf x a x ,所以 1 3f a .
【2015 高考陕西，文 15】函数 xy xe 在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】 1y e
【解析】 ( ) ( ) (1 )x xy f x xe f x x e ，令 ( ) 0 1f x x ，此时 1( 1)f e
函数 xy xe 在其极值点处的切线方程为 1y e
（2014·陕西卷） 设函数 f(x)＝ln x＋m
x
，m∈R.
(1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；
(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－x
3
零点的个数；
(3)若对任意 b＞a＞0，f（b）－f（a）
b－a
＜1 恒成立，求 m 的取值范围．
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝2
3
.
又φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
（2014·安徽卷） 设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a>0.
(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当 x∈[0，1]时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值．
【解析】解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令 f′(x)＝0，得 x1＝－1－ 4＋3a
3
，
x2＝－1＋ 4＋3a
3
，且 x1
x2 时，f′(x)<0；
当 x10.
故 f(x)在
－∞，－1－ 4＋3a
3 和
－1＋ 4＋3a
3
，＋∞
内单调递减，
在
－1－ 4＋3a
3
，－1＋ 4＋3a
3 内单调递增．
(2)因为 a>0，所以 x1<0，x2>0，
①当 a≥4 时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以 f(x)在 x＝0 和 x＝1 处分别取得最小
值和最大值．
（2014·北京卷） 已知函数 f(x)＝2x3－3x.
(1)求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值范围；
(3)问过点 A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线 y＝f(x)相切？(只需写出结论)
【解析】解：(1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.
令 f′(x)＝0，得 x＝－ 2
2
或 x＝ 2
2
.
因为 f(－2)＝－10，f
－ 2
2 ＝ 2，f
2
2 ＝－ 2，f(1)＝－1，
所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值为 f
－ 2
2 ＝ 2.
(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则 y0＝2x3
0－3x0，且切线斜率为 k＝6x2
0－3，
所以切线方程为 y－y0＝(6x2
0－3)(x－x0)，
因此 t－y0＝(6x2
0－3)(1－x0)，
整理得 4x3
0－6x2
0＋t＋3＝0，
设 g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当 x 变化时，g(x)与 g′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) t＋3 t＋1
（2014·福建卷） 已知函数 f(x)＝ex－ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A，曲线 y＝f(x)在点 A 处的
切线斜率为－1.
(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；
(2)证明：当 x＞0 时，x2＜ex；
(3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x∈(x0，＋∞)时，恒有 x＜cex.
【解析】解：方法一：(1)由 f(x)＝ex－ax，
得 f′(x)＝ex－a.
又 f′(0)＝1－a＝－1，得 a＝2.
所以 f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
令 f′(x)＝0，得 x＝ln 2.
当 x＜ln 2 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当 x＞ln 2 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当 x＝ln 2 时，f(x)有极小值，
且极小值为 f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，
f(x)无极大值．
(2)证明：令 g(x)＝ex－x2，则 g′(x)＝ex－2x.
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，
即 g′(x)＞0.
所以 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0)＝1＞0，
所以当 x＞0 时，g(x)＞g(0)＞0，即 x2＜ex.
(3)证明：对任意给定的正数 c，取 x0＝1
c
，
由(2)知，当 x＞0 时，x2＜ex.
所以当 x＞1 时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
取 x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)，
易知 k＞ln k，k＞ln 2，所以 h(x0)＞0.
因此对任意 c∈(0，1)，取 x0＝4
c
，当 x∈(x0，＋∞)时，恒有 x＜cex.
综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x∈(x0，＋∞)时，恒有 x＜cex.
方法三：(1)同方法一．
(2)同方法一．
(3)证明：①若 c≥1，取 x0＝0，
（2014·广东卷） 曲线 y＝－5ex＋3 在点(0，－2)处的切线方程为________．
【答案】5x＋y＋2＝0
【解析】∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是 k＝－5e0＝－5，∴切线方程是 y－(－2)＝－5(x－0)，即 5x
＋y＋2＝0.
（2014·江苏卷） 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋b
x
(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该
曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是________．
【答案】－3
【解析】易知 y′＝2ax－b
x2.根据题意有
－5＝4a＋b
2
，
4a－b
4
＝－7
2
，
解得
a＝－1，
b＝－2，
故 a＋b＝－3.
（2014·江苏卷） 已知函数 f0(x)＝sin x
x
(x>0)，设 fn(x)为 fn－1(x)的导数，n∈N*.
(1)求 2f1
π
2 ＋π
2
f2
π
2 的值；
(2)证明：对任意的 n∈N*，等式|nfn－1
π
4 ＋π
4
fn
π
4 |＝ 2
2
都成立．
所以|nfn－1
π
4 ＋π
4
fn
π
4 |＝ (n∈N*)．
（2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)＝aln x＋1－a
2
x2－bx(a≠1)，曲线 y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为 0.
(1)求 b；
(2)若存在 x0≥1，使得 f(x0)＜ a
a－1
，求 a 的取值范围．
（2014·山东卷） 设函数 f(x)＝aln x＋x－1
x＋1
，其中 a 为常数．
(1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数 f(x)的单调性．
【解析】解：(1)由题意知，当 a＝0 时，f(x)＝x－1
x＋1
，x∈(0，＋∞)．
此时 f′(x)＝ 2
（x＋1）2，所以 f′(1)＝1
2
.
又 f(1)＝0，所以曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0.
(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝a
x
＋ 2
（x＋1）2＝ax2＋（2a＋2）x＋a
x（x＋1）2 .
当 a≥0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当 a＜0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当 a＝－1
2
时，Δ＝0，
f′(x)＝
－1
2
（x－1）2
x（x＋1）2
≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当 a＜－1
2
时，Δ＜0，g(x)＜0，
减；当－1
2
＜a<0 时，f(x)在
0，－（a＋1）＋ 2a＋1
a ，
－（a＋1）－ 2a＋1
a
，＋∞
上单调递减，
在
－（a＋1）＋ 2a＋1
a
，－（a＋1）－ 2a＋1
a 上单调递增．
（2014·四川卷） 设等差数列{an}的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)＝2x 的图像上(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)若 a1＝1，函数 f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2－ 1
ln 2
，求数列{anb2
n}的前 n
项和 Sn.
（2014·天津卷） 已知函数 f(x)＝x2－2
3
ax3(a＞0)，x∈R.
(1)求 f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意的 x1∈(2，＋∞)，都存在 x2∈(1，＋∞)，使得 f(x1)·f(x2)＝1，求 a 的取值范围．
【解析】解：(1)由已知，有 f′(x)＝2x－2ax2(a>0)．令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝1
a
.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 0，1
a
1
a
1
a
，＋∞
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 0 1
3a2
所以，f(x)的单调递增区间是
0，1
a ；单调递减区间是(－∞，0)，
1
a
，＋∞
.
当 x＝0 时，f(x)有极小值，且极小值 f(0)＝0；
当 x＝1
a
时，f(x)有极大值，且极大值 f
1
a ＝ 1
3a2.
(2)由 f(0)＝f
3
2a ＝0 及(1)知，当 x∈
0， 3
2a 时，f(x)>0；当 x∈
3
2a
，＋∞
时，f(x)<0.
设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝
1
f（x）
x∈（1，＋∞），f（x）≠0
，则“对于任意的x1∈(2，
1．已知函数 y＝xlnx，则这个函数在点 x＝1 处的切线方程是( )
A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
【答案】C
【解析】∵y′＝lnx＋1，∴x＝1 时，y′|x＝1＝1，
∵x＝1 时，y＝0，∴切线方程为 y＝x－1.
2．函数 f(x)＝excosx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.π
4
B．0
C.3π
4
D．1
【答案】A
【解析】由 f′(x)＝ex(cosx－sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率 k＝f′(0)＝1，故倾斜角为π
4
，
选 A.
3．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
【答案】B
【解析】f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且 f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.
4．若曲线 f(x)＝x4－x 在点 P 处的切线平行于直线 3x－y＝0，则点 P 的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
【答案】C
【解析】设点 P 的坐标为(x0，y0)，因为 f′(x)＝4x3－1，所以 f′(x0)＝4x3
0－1＝3，即 x0＝1.把 x0＝1
代入函数 f(x)＝x4－x 得 y0＝0，所以点 P 的坐标为(1,0)．
5．若点 P 是函数 y＝ex－e－x－3x(－1
2
≤x≤1
2
)图象上任意一点，且在点 P 处切线的倾斜角为α，则α的
最小值是( )
A.5π
6
B.3π
4
C.π
4
D.π
6
【答案】B
6．已知函数 f(x)＝－1
3
x3＋2x2＋2x，若存在满足 0≤x0≤3 的实数 x0，使得曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))
处的切线与直线 x＋my－10＝0 垂直，则实数 m 的取值范围是( )
A．[6，＋∞) B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[5,6]
【答案】C
【解析】f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为 x0∈[0,3]，所以 f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与
直线 x＋my－10＝0 垂直，所以切线的斜率为 m，所以 m 的取值范围是[2,6]．
7．曲线 y＝ sinx
sinx＋cosx
－1
2
在点 M(π
4
，0)处的切线的斜率为( )
A．－1
2
B.1
2
C．－ 2
2
D. 2
2
【答案】B
【解析】∵y′＝ 1
sinx＋cosx 2·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝ 1
sinx＋cosx 2，
∴y′x＝π
4
＝1
2
，∴k＝y′| x＝π
4
＝1
2
.
8．已知 y＝f(x)是可导函数，如图，直线 y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，
g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－1
3
，∴f′(3)＝－1
3
，∵g(x)＝xf(x)，∴
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知 f(3)＝1，所以 g′(3)＝1＋3×
－1
3 ＝
0.
9．若 P 为曲线 y＝lnx 上一动点，Q 为直线 y＝x＋1 上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B. 2
2
C. 2 D．2
【答案】C
【解析】如图所示，直线 l 与 y＝lnx 相切且与 y＝x＋1 平行时，切点 P 到直线 y＝x＋1 的距离|PQ|即
为所求最小值．(lnx)′＝1
x
，令1
x
＝1，得 x＝1.故 P(1,0)．故|PQ|min＝ 2
2
＝ 2，故选 C.
10．过点(1，－1)且与曲线 y＝x3－2x 相切的切线方程为( )
A．x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y＋2＝0
D．x－y－2＝0 或 4x＋5y＋1＝0
【答案】A
11．已知函数 y＝f(x)的图象在 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝1
2
x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝________.
【答案】3
【解析】由题设知，点 M(1，f(1))既在函数 y＝f(x)的图象上，又在切线 y＝1
2
x＋2 上，所以 f(1)＝1
2
＋
2＝5
2
，又 f′(1)＝1
2
，所以 f(1)＋f′(1)＝5
2
＋1
2
＝3.
12．若抛物线 y＝x2－x＋c 上的一点 P 的横坐标是－2，抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点，则实数
c 的值为________．
【答案】4
【解析】∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.
又 P(－2,6＋c)，∴6＋c
－2
＝－5，∴c＝4.
13．已知函数 f(x)＝f′(π
4
)cosx＋sinx，所以 f(π
4
)的值为________．
【答案】1
【解析】因为 f′(x)＝－f′(π
4
)sinx＋cosx，所以 f′(π
4
)＝－f′(π
4
)sinπ
4
＋cosπ
4
，所以 f′(π
4
)
＝ 2－1，故 f(π
4
)＝f′(π
4
)cosπ
4
＋sinπ
4
＝1.
14．若对于曲线 f(x)＝－ex－x(e 为自然对数的底数)的任意切线 l1，总存在曲线 g(x)＝ax＋2cosx 的
切线 l2，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范围为________．
【答案】[－1,2]
15．已知函数 f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－1
4
x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)，即 y＝13x－32.
(2)∵切线与直线 y＝－1
4
x＋3 垂直，
∴切线的斜率为 k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x2
0＋1＝4.
∴x0＝±1.
∴
x0＝1，
y0＝－14，
或
x0＝－1，
y0＝－18.
∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18.
即 y＝4x－18 或 y＝4x－14.
16．已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12 和直线 m：y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0.
(1)求 a 的值；
(2)是否存在 k 的值，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是曲线 y＝g(x)的切线？如果存在，求出 k
的值；如果不存在，说明理由．
∴公切线是 y＝9.
又令 f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
∴x＝0 或 x＝1.
当 x＝0 时，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－11；
当 x＝1 时，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－10，
∴公切线不是 y＝12x＋9.
综上所述公切线是 y＝9，此时 k＝0.
