浙江省2021届高考数学一轮复习第四章导数及其应用阶段滚动练一第1~4章含解析

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浙江省2021届高考数学一轮复习第四章导数及其应用阶段滚动练一第1~4章含解析

阶段滚动练(一) 第1~4章 ‎(本试卷分选择题和非选择题两部分,满分150分,考试用时120分钟)‎ 选择题部分(共40分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M={x|-40,‎ ‎∵当x≥0时,f(x)=ex-1,∴f(-x)=e-x-1.‎ 又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-e-x+1.故选D.‎ 答案 D ‎6.函数y=的图象大致是(  )‎ 解析 令y=f(x)=(x≠0),所以f(-x)===f(x),即f(x)是偶函数,排除B;当x>0时,f(x)=xln x,f′(x)=ln x+1,令ln x+1>0,则x>;令ln x+1<0,则00.‎ 即k>x2-2x对任意x∈(0,2)恒成立,从而k≥0,‎ 因此由原不等式得k<+x2-2x恒成立.‎ 令f(x)=+x2-2x,则f′(x)=(x-1).‎ 令f′(x)=0,得x=1,‎ 当x∈(1,2)时,f′(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,‎ 当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)上单调递减,‎ 所以k0,a∈R).‎ ‎(1)求函数y=f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当a=1时,证明:对任意的x>0,f(x)>x2+x-ex+2.‎ ‎(1)解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f′(x)=2x-(a-2)-=,‎ 当a≤0时,f′(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以函数f(x)单调递增;‎ 当a>0时,由f′(x)>0得x>,f′(x)<0得00,设g(x)=ex-ln x-2(x>0),‎ 令g′(x)=ex-=0,‎ 此时方程有唯一解x0,满足ex0=(x0≠1).‎ 当x变化时,g′(x)和g(x)变化情况如下表 x ‎(0,x0)‎ x0‎ ‎(x0,+∞)‎ g′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎  极小值g(x0)‎  g(x)min=g(x0)=ex0-ln x0-2=+x0-2,因为x0>0,且x0≠1,‎ 所以g(x)min>2-2=0,因此不等式得证.‎ ‎20.(本小题满分15分)若关于x的不等式(acos x-1)(ax2-x+16a)<0在(0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.‎ 解 设f(x)=acos x-1,g(x)=ax2-x+16a,则关于x的不等式(acos x-1)(ax2-x+16a)<0在(0,+∞)上有解,等价于存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)·g(x0)<0成立.①当a>1时,函数f(x)=acos x-1在(0,+∞)上存在零点,即存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)<0,函数g(x)=ax2-x+16a>0在(0,+∞)上恒成立,所以此时存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)·g(x0)<0成立;②当≤a≤1时,函数f(x)=acos x-1≤0在(0,+∞)上恒成立,函数g(x)=ax2-x+16a≥0在(0,+∞)上恒成立,所以此时存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)·g(x0)<0成立;③当0<a<时,函数f(x)=acos x-1<0在(0,+∞)上恒成立,函数g(x)=ax2-x+16a=0存在两个不同的零点x1,x2(x1<x2),且所以x1,x2∈(0,+∞),所以存在x0∈(0,x1)∪(x2,+∞)使得g(x0)>0,所以此时存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)·g(x0)<0成立;④当a=0时,显然不等式不成立;⑤当-<a<0时,函数f(x)=acos x-1<0在(0,+∞)上恒成立,函数g(x)=ax2-x+16a=0存在两个不同的零点x1,x2,且所以x1,x2∈(-∞,0),所以函数g(x)=ax2-x+16a<0在(0,+∞)上恒成立,所以此时不存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)·g(x0)<0成立;⑥当-1≤a≤-时,函数f(x)=acos x-1≤0在(0,+∞)上恒成立,函数g(x)=ax2-x+16a<0在(0,+∞)上恒成立,所以此时不存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)·g(x0)<0成立;⑦当a<-1时,函数f(x)=acos ‎ x-1在(0,+∞)上存在零点,即存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)>0,函数g(x)=ax2-x+16a<0在(0,+∞)上恒成立,所以此时存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)·g(x0)<0成立.综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-1)∪(0,+∞).‎ ‎21.(本小题满分15分)(2020·杭州质检)设函数f(x)=-k(x-1)2.‎ ‎(1)若k=1,解方程f(x)=0;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)=0有四个不同的解,求k的取值范围.‎ 解 (1)当k=1时,-(x-1)2=0,‎ 所以|x-1|·=0,‎ 所以|x-1|=0或1-|x-1|(x-2)=0,‎ 解得x=1或x=.‎ ‎(2)因为|x-1|·=0,‎ 即|x-1|=0或-k|x-1|=0,‎ 当|x-1|=0时,x=1,此时k∈R;‎ 所以-k|x-1|=0有三个不等于1的解,‎ 即=|x-1|·(x-2)有三个不等于1的解,‎ 根据函数y=|x-1|·(x-2)的图象,‎ 得-<<0,即k<-4.‎ ‎22.(本小题满分15分)(2020·绍兴适应性考试)已知函数f(x)=2ln(ax+b),其中a,b∈R.‎ ‎(1)若直线y=x是曲线y=f(x)的切线,求ab的最大值;‎ ‎(2)(一题多解)设b=1,若关于x的方程f(x)=a2x2+(a2+2a)x+a+1有两个不相等的实根,求a的最大整数值.(参考数据:ln ≈0.223)‎ 解 (1)设直线y=x与y=f(x)相切于点P(x0,2ln(ax0+b)).因为f′(x)=,‎ 所以f′(x0)==1,所以ax0+b=2a(a>0).‎ 又因为P在切线y=x上,所以2ln(ax0+b)=x0,‎ 所以x0=2ln(ax0+b)=2ln2a,b=2a-ax0=2a-2aln 2a,因此ab=2a2-2a2ln 2a(a>0),‎ 设g(a)=2a2-2a2ln 2a(a>0),‎ 则由g′(a)=2a-4aln 2a=2a(1-2ln 2a)>0,‎ 解得0<a<.所以g(a)在上单调递增,‎ 在上单调递减,‎ 可知g(a)的最大值为g=,‎ 所以ab的最大值为.‎ ‎(2)法一 原方程即为2ln(ax+1)=(ax+1)2+a(ax+1),‎ 设ax+1=t,则上述方程等价于2ln t=t2+at(t>0).‎ 设p(t)=2ln t-t2-at(t>0),‎ 则函数p(t)需有两个不同的零点.‎ 因为p′(t)=-2t-a在(0,+∞)上单调递减,‎ 则p′(t)=0在(0,+∞)上存在唯一实根t0,‎ 即p′(t0)=0,即at0=2-2t.‎ 所以当t∈(0,t0)时,p′(t)>0;当t∈(t0,+∞)时,p′(t)<0.‎ 因此p(t)在(0,t0)上单调递增,在(t0,+∞)上单调递减.‎ ‎①当a>0时,由at0=2-2t>0得t0∈(0,1).‎ p(t)≤p(t0)=2ln t0-t-at0=2ln t0-t-(2-2t)‎ ‎=2ln t0+t-2<0,‎ 不合题意,舍去.‎ ‎②当a<0时,由at0=2-2t<0得t0∈(1,+∞).‎ ‎(ⅰ)当t∈(0,1)时,则p(t)=2ln t-t2-at<2ln t+|a|,‎ 取t1=e-,则p(t1)<0;‎ ‎(ⅱ)当t∈(1,+∞)时,‎ 则p(t)=2ln t-t2-at<2(t-1)-t2-at<-t2+(2-a)t,取t2=2+|a|,则p(t2)<0.‎ 因此t1<t0<t2,且p(t1)<0,p(t2)<0.‎ 要使函数p(t)=2ln t-t2-at(t>0)有两个不同的零点,‎ 则只需p(t0)=2ln t0-t-at0>0,‎ 所以只需p(t0)=2ln t0-t-(2-2t)=t+2ln t0-2>0.‎ 因为p(t0)=t+2ln t0-2是关于t0的增函数,‎ 且p(1)=-1<0,p=2ln ->0,‎ 所以存在m∈使得p(m)=0,‎ 所以当t0>m时,p(t0)>0.‎ 因为a=-2t0是关于t0的减函数,‎ 所以a=-2t0<-2m,又因为-2m∈,‎ 所以a的最大整数值为-1.‎ 法二 原方程即为2ln(ax+1)=(ax+1)2+a(ax+1),‎ 设ax+1=t,则原方程等价于关于t的方程2ln t-t2-at=0(t>0)有两个不同的解,‎ 即关于t的方程a=(t>0)有两个不同的解.‎ 设h(t)=,则h′(t)=.‎ 设m(t)=2-t2-2ln t,由t>0知m′(t)=-2t-<0,‎ 所以m(t)=2-t2-2ln t在(0,+∞)上单调递减,‎ 又m(1)=1>0,m=-2ln <0,‎ 所以存在t0∈使得m(t0)=0.‎ 当t∈(0,t0)时,m(t)>0,h′(t)>0;‎ 当t∈(t0,+∞)时,m(t)<0,h′(t)<0.‎ 所以h(t)在(0,t0)上单调递增,在(t0,+∞)上单调递减,‎ 所以h(t0)===-2t0∈.‎ 要使得关于t的方程a=(t>0)有两个不同的解,则a<h(t0).‎ 当a=-1时,设p(t)=2ln t-t2+t,‎ 则p′(t)=-2t+1,‎ 可知p(t)在上单调递增,在上单调递减.‎ 又p(1)=0,p>0,p(e)=2-e2+e<0,‎ p(t)有两个不同的零点,符合题意.‎ 所以a的最大整数值为-1.‎
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