高考数学专题复习：课时达标检测（二十八） 平面向量的数量积及其应用

高考数学专题复习：课时达标检测（二十八） 平面向量的数量积及其应用

课时达标检测（二十八） 平面向量的数量积及其应用 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)‎ A．12 B．‎8 ‎‎ C．－8 D．2‎ 解析：选A　∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.‎ ‎2．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)‎ A．－2 B．‎2 C．4 D．6 解析：选B　因为a＝(－2，m)，b＝(1，)，所以a－b＝(－2，m)－(1，)＝(－3，m－)．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－)·(1，)＝－3＋m－3＝m－6＝0，解得m＝2，故选B.‎ ‎3．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|‎2a＋b|＝(　　)‎ A．2 B．‎2 C．4 D．4 解析：选B　由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－‎2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.所以(‎2a＋b)2＝‎4a2＋‎4a·b＋b2＝12，所以|‎2a＋b|＝2.‎ ‎4．(2017·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以向量a与b的夹角为.‎ ‎5.如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于________．‎ 解析：因为＝＋＝＋，＝＋，所以·＝·(＋)＝||2＋||2＋·＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1.‎ 答案：1‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)‎ A．－3 B．－‎2 ‎‎ C．1 D．－1‎ 解析：选A　因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)‎ A．5 B．‎4 ‎‎ C．3 D．2‎ 解析：选A　由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.‎ ‎3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为(　　)‎ A．(3，－6) B．(－3,6) ‎ C．(6，－3) D．(－6,3)‎ 解析：选A　由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝3，则＝3，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，故选A.‎ ‎4．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－‎4 ‎‎ C. D．－ 解析：选B　∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t m·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.‎ ‎5．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－ B. C. D. 解析：选B　如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝＋ ·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.故选B.‎ ‎6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－‎ λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，A＝60°，·＝||·||cos 60°＝2，∴[(1－λ)－]·(λ－)＝－，即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.‎ 二、填空题 ‎7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.‎ 解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.‎ 答案：8 ‎8．已知向量a，b满足(‎2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．‎ 解析：∵(‎2a－b)·(a＋b)＝6，∴‎2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.‎ 答案： ‎9．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．‎ 解析：a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范围是∪∪.‎ 答案：∪∪ ‎10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．‎ 解析：设＝λ＋μ，因为N在菱形ABCD内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.＝＋＝＋.所以·＝·(λ＋μ)＝2＋ ‎·＋μ2＝×4＋×2×2×＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤·≤9，所以当λ＝μ＝1时，·有最大值9，此时，N位于C点．‎ 答案：9‎ 三、解答题 ‎11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ 解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.‎ 由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，‎ ‎∴tan x＝1.‎ ‎(2)∵m与n的夹角为，‎ ‎∴m·n＝|m||n|cos＝1×1×＝，‎ 即sin x－cos x＝，‎ ‎∴sin＝.‎ 又∵x∈，∴x－∈，‎ ‎∴x－＝，即x＝.‎ ‎12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin ‎2C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．‎ 解：(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，‎ 对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin C，‎ ‎∴m·n＝sin C，‎ 又m·n＝sin ‎2C，∴sin ‎2C＝sin C，cos C＝，C＝.‎ ‎(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得‎2c＝a＋b.‎ ‎∵·(－)＝18，‎ ‎∴·＝18，‎ 即abcos C＝18，ab＝36.‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，‎ ‎∴c2＝‎4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.‎