江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com ‎2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考试卷 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1.若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，复数z满足，可得，‎ 所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，利用交集的定义可求得集合.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 因此，.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎3.若点在直线上，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点在直线上，，，故选B.‎ ‎4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )‎ A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌 B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高 C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增 D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.‎ ‎【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B不正确；‎ - 24 -‎ ‎2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了04个百分点，故D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，寻找规律，直到输出结果即可.‎ ‎【详解】按照程序框图运行程序，‎ 输入，，，则，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；，，不满足，循环；‎ 以此类推，，，满足，则，‎ - 24 -‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于常考题型.‎ ‎6.已知实数满足约束条件，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设，则，平移该直线，当直线经过点时，z取到最大值，由得，即，则；当直线经过点时，z取到最小值，易得，则，所以的取值范围是.故选B．‎ ‎7.在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 求出、关于、的表达式，设，可得出关于、的方程组，由此可解得实数的值.‎ ‎【详解】，，则，‎ ‎，‎ 由于为上一点，则，‎ 设，则，‎ 所以，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用向量共线求参数，考查平面向量基本定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断出函数为奇函数,即排除B;代入特殊点后又能排除两个选项,即可得到正确答案.‎ ‎【详解】由题可得函数的定义域为.因为 - 24 -‎ 所以函数为奇函数,排除选项B;又,，所以排除选项A、C 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图像,考查了对数的运算.在选择正确的函数图像时,一般都不是直接画函数图像,而是运用排除法.首先判断函数的定义域、奇偶性、单调性进行排除,然后代入特殊点,进行排除.‎ ‎9.将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数图象变换求得，可得，由得出，由函数单调递增可得出关于的不等式组，即可解得正数的最大值.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，‎ 再将所得函数图象向下平移个单位长度后，得到函数的图象，‎ 则，‎ 当时，，‎ 由于函数在区间上单调递增，所以，‎ - 24 -‎ ‎，‎ 所以，，解得，‎ 由，解得，，当时，，‎ 因此，正数的最大值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎10.若将双曲线绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况分类讨论，结合题意得出的值，再由离心率公式可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】若，则双曲线的焦点在轴上，，，‎ 所以，双曲线的一条渐近线方程为，‎ 由题意可知，直线的倾斜角为，则，‎ 此时，双曲线的离心率为；‎ 若，则双曲线的焦点在轴上，则，，‎ - 24 -‎ 所以，双曲线的一条渐近线方程为，‎ 由题意可知，直线的倾斜角为，则，可得，‎ 此时，双曲线的离心率为.‎ 因此，双曲线的离心率为或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线求离心率，一般利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.某同学自制了一套数学实验模型，该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了个玻璃球，请你估算落在球内的玻璃球数量（其中）( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出几何体的直观图，并计算出几何体的体积及其内切球的体积，然后利用几何概型的概率公式可计算得出结果.‎ ‎【详解】由三视图还原该几何体的直观图如下图所示：‎ - 24 -‎ 该几何体是棱长为的正四面体，其体积为，‎ 表面积，‎ 正四面体的内切球半径为，内切球体积为，‎ 设个玻璃球落在球内的玻璃球数量为个，‎ 由几何概型的概率公式可得，得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用，同时也考查了利用三视图求几何体的体积以及几何体内切球体积的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知数列各项为正，，，记，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得出，可推导出、，由此可得出，，并推导出，由此可得出合适的选项.‎ ‎【详解】，且，，则，，依次类推，‎ 由可得，，‎ ‎，且，‎ ‎，所以，数列为单调递增数列，‎ ‎，，，所以，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推公式的应用，根据题中条件推导出、是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ - 24 -‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.的内角的对边分别为，已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理求得,再根据同角三角函数公式求解得,再利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】由余弦定理,得.所以.又由,得.由正弦定理得.解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理､余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力.‎ ‎14.已知正实数、满足，，且，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等式变形为，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.‎ ‎【详解】，，则，，由得，‎ ‎，‎ - 24 -‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.已知、分别是椭圆的左右顶点，是的右焦点，点在上且满足（为坐标原点），线段交轴于点，连线段交于点，且，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出轴，可得，可求出的值，即为椭圆的离心率.‎ ‎【详解】作出图形如下图所示，‎ ‎，则轴，所以，，‎ ‎，所以，，因此，椭圆离心率为.‎ 故答案为：.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查平行线分线段成比例定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，由化简可得，利用可得出，结合基本不等式可求得的取值范围.‎ ‎【详解】，，‎ 由题意可得，即，‎ ‎，化简可得，即，‎ 而，，则，‎ 当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，‎ 所以，，因此，的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用切线斜率相等求参数的取值范围，涉及导数几何意义以及基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ - 24 -‎ ‎17.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，在高三年级中随机选取名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于小时的有人，在这人中分数不足分的有人；在每周线上学习数学时间不足于小时的人中，在检测考试中数学平均成绩不足分的占.‎ ‎（1）请完成列联表；并判断是否有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；‎ 分数不少于分 分数不足分 合计 线上学习时间不少于小时 线上学习时间不足小时 合计 ‎（2）在上述样本中从分数不足于分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于小时和线上学习时间不足小时的学生共名，若在这名学生中随机抽取人，求这人每周线上学习时间都不足小时的概率.（临界值表仅供参考）‎ ‎（参考公式，其中）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题干信息可完善列联表，并计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；‎ ‎（2）设抽到线上学习时间不足于小时的个学生分别记为、、、‎ - 24 -‎ ‎，线上学习时间不足小时的个学生记为，列举出所有的基本事件，并确定事件“抽到的人每周线上学习时间都不足小时”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）列联表如下：‎ 分数不少于分 分数不足分 合计 线上学习时间不少于小时 线上学习时间不足小时 合计 ‎，‎ 有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；‎ ‎（2）抽到线上学习时间不足于小时的学生人，设为、、、，‎ 线上学习时间不足小时的学生人，设为，‎ 所有基本事件有：、、、、、、、、、，共种，‎ 其中人每周线上学习时间都不足小时有：、、、、、，共种，‎ 故人每周线上学习时间都不足小时的概率为（或）.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验的基本思想的应用，同时也考查利用古典概型概率的计算，考查学生数据处理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知正项单调递增的等比数列中，且、、依次构成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，，求数列的前 - 24 -‎ 项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，根据题意建立有关、的方程组，解出这两个量，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）由得出，利用累加法可求得数列的通项公式，然后利用分组求和法可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，‎ 由题可知，所以，解得.‎ 所以；‎ ‎（2）当时，由知.‎ 所以，，‎ 所以，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了累加法求通项、分组求和法，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.如图，是边长为的正方形，平面，平面，.‎ - 24 -‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）点在上，且，求平面将几何体分成上下两部分的体积之比？‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直的性质定理可得出，进而可得出平面，再推导出平面，由面面平行的判定定理可得出结论；‎ ‎（2）将截面延展，求出四棱锥的体积，进而可求得平面将几何体分成上下两部分的体积之比.‎ ‎【详解】（1）平面，平面，，‎ 平面，平面，平面，‎ 是正方形，则，平面，‎ ‎，平面，平面，平面平面；‎ ‎（2）过作交于，连接、，‎ ‎，‎ 取中点，连，则，且，则为中点，，‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎ ， .‎ ‎【点睛】本题考查面面平行的证明，同时也考查了几何体体积之比的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知抛物线上一点到其准线的距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）如图、、为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义求出的值，进而可得出抛物线的方程；‎ ‎（2）设点、，并设菱形的中心为，分轴和与轴不垂直两种情况讨论，在轴时，求出和，进而可求得菱形的面积，在与轴不垂直时，设直线方程，可求得点的坐标，由此得出点的坐标，结合已知条件求出和的值，进而求得和，由此得出菱形的面积.‎ ‎【详解】（1）由已知可得，得，抛物线的方程为；‎ ‎（2）设、，菱形的中心，‎ 当轴，则在原点，，‎ - 24 -‎ 此时，，菱形的面积；‎ 当与轴不垂直时，设直线方程，则直线的斜率为 联立，消去得，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 为的中点，，‎ 点在抛物线上，且直线的斜率为.‎ 解得：，，‎ 则，，，‎ ‎. ‎ 综上，或.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义求抛物线方程，同时也考查了抛物线中四边形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知，.‎ ‎（1）若，证明函数在单调递增；‎ ‎（2）设 ，对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）计算，求导函数，判断符号，得到原函数单调性，即可．（2）对，恒成立，构造函数，求函数导数分析函数单调性即可．‎ ‎【详解】解：（1） ，‎ ‎ ，‎ 由于，所以，‎ 又，，因此，‎ 所以，即在上恒成立，‎ 故在上单调递增.‎ ‎（2），‎ 由题意：对，恒成立，‎ 设，‎ 又设 则 ，‎ 因此在单调递增，‎ 所以，‎ 当时，，即，‎ 在单调递增，‎ 故有，即适合题意.‎ - 24 -‎ 当时，，，‎ 若，则取，时，，‎ 若，则在上存在唯一零点，记为，‎ 当时，，‎ 总之，存在使时，，‎ 即，所以单调递减，，‎ 故时存在使不合适题意，‎ 综上，为所求.‎ ‎【点睛】本道题考查了利用导数判定原函数的单调性问题，难度较难．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线（）与直线和曲线分别交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的参数方程消参，即可得直线的普通方程，要注意；将曲线的极坐标方程两边同乘，再将，代入，即可得曲线的直角坐标方程；‎ - 24 -‎ ‎（2）先将直线直角坐标方程化为极坐标方程，再将（）代入直线和曲线的极坐标方程中，可得点，对应的极径，利用计算，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 将（为参数）消去参数，‎ 得直线的普通方程为（）.‎ 由得，‎ 将，代入上式，‎ 得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）可知直线的普通方程为（），‎ 化为极坐标方程得（），‎ 当（）时，设，两点的极坐标分别为，，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为M，且，求证：.‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分、和三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；‎ ‎（2）先求出的最小值，可求出的M的值，再结合柯西不等式，可证明结论.‎ ‎【详解】（1）当时，等价于，该不等式恒成立；‎ 当时，，则等价于，该不等式不成立；‎ 当时，，则等价于，解得，‎ 所以不等式的解集为：.‎ ‎（2）因为，当时取等号，所以，，‎ 由柯西不等式可得，‎ 当且仅当时等号成立，所以.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎