江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

1 江苏省苏州市 2020—2021 学年度第一学期期中考试 高三数学 2020．11 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合 A＝ 2 6 0x x x   ，B＝ 2 4x x  ，则 A  B＝ A．(2，3) B．[2，3] C．(2，3] D．[2，3]  {﹣2} 2．角 的终边经过点(3﹣sin ，cos )，则 sin 的值为 A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 3 4 3．等差数列 na 中， 1 2 3 24a a a    ， 18 19 20 78a a a   ，则此数列的前 20 项和等于 A．160 B．180 C．200 D．220 4．函数“ 2( ) 2 1f x x x a    的定义域为 R”是“a≥1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数 2 (e e )cos( ) x x xf x x  的部分图像大致是 6．已知函数 ( ) lnf x x x ，若直线 l 过点(0，﹣e)，且与曲线 C： ( )y f x 相切，则直线 l 的斜率为 A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e 7．衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为 a， 经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为： e ktV a   ．已知新丸经过 50 天后，体积变为 4 9 a．若一个新丸体积变为 8 27 a，则需经过的天数为 A．125 B．100 C．75 D．50 8．设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，若 0na  ， 1 1 2a  ， 2nS  ，则等比数列 na 的公 比的取值范围是 2 A．(0， 3 4 ] B．(0， 2 3 ] C．(0， 3 4 ) D．(0， 2 3 ) 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知函数 ( ) cos 3sinf x x x  ， ( ) ( )g x f x ，则 A． ( )g x 的图像关于点(2，0)对称 B． ( )g x 的图像的一条对称轴是 x＝ 6  C． ( )g x 在( 5 6  ， 6  )上递减 D． ( )g x 在( 3  ， 3  )值域为(0，1) 10．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 0a  ，公差 d≠0，则 A．若 5 9S S ，则 15 0S  B．若 5 9S S ，则 7S 是 nS 中最大的项 C．若 6 7S S ，则 7 8S S D．若 6 7S S ，则 5 6S S 11．已知函数 ( ) lg( 1)f x x  ， 1b a  且 ( ) ( )f a f b ，则 A．1＜a＜2 B．a＋b＝ab C．ab 的最小值为 1＋ 2 D． 1 1 21 1a b    12．函数 ln( ) e 1x x kf x x    在(0，  )上有唯一零点 0x ，则 A． 0 0e 1xx  B． 0 1 12 x  C． 1k  D． 1k  三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．已知函数 2 2( ) ( 2)f x ax a x a    为偶函数，则不等式 ( 2) ( ) 0x f x  的解集为 ． 14．对任意正数 x，满足 22 4yxy yx    ，则正实数 y 的最大值为 ． 15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元， 用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不 应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 20%，每月底街缴房租 600 元和 水电费 400 元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计 2020 年小王的农产品 加工厂的年利润为 ．（取 1.211＝7.5，1.212＝9） 16．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 关于 y 轴对称，其导函数为 ( )f x ，当 x≥0 时， ( ) 1xf x  ( )f x ．若对任意 xR，不等式 e (e ) e ( ) 0x x xf ax axf ax    恒成立， 则正整数 a 的最大值为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 3 17．（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) sin( )f x x   ( ＞0，  ≤ 2  )的最小正周期为 ． （1）求 的值及 ( ) ( )6g f   的值域； （2）若 3   ，sin 2cos 0   ，求 ( )f  的值． 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 3 21( ) 23 2 af x x x x    (aR)． （1）当 a＝3 时，求函数 ( )f x 的单调递减区间； （2）若对于任意 x[1，  )都有 ( ) 2( 1)f x a  成立，求实数 a 的取值范围． 19．（本小题满分 12 分） 在①csin B C 2  ＝asinC，②2cosA(bcosC＋ccosB)＝a，③(sinB﹣sinC)2＝sin2A﹣sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 在△ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c＝( 3 ﹣1)b， ． （1）求 C 的值； （2）若△ABC 的面积为3 3 ，求 b 的值． 20．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 是等差数列，数列 nb 是等比数列，且满足 1 1 2a b  ， 3 5 7 30a a a   ， 2 3 16b b a ． （1）求数列 na 与 nb 的通项公式； （2）设数列  na ，  nb 的前 n 项和分别为 nS ， nT ．①是否存在正整数 k，使得 1kT   32k kT b  成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于 n 的不 等式 n nS b ． 4 21．（本小题满分 12 分） 若函数 ( )f x 在 x[a，b]时，函数值 y 的取值区间恰为[ k b ，k a ](k＞0)，则称[a，b]为 ( )f x 的一个“k 倍倒域区间”．定义在[﹣4，4]上的奇函数 ( )g x ，当 x[0，4]时， 2( )g x x  4x ． （1）求 ( )g x 的解析式； （2）求 ( )g x 在[2，4]内的“8 倍倒域区间”； （3）若 ( )g x 在定义域内存在“k(k≥8)倍倒域区间”，求 k 的取值范围． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) e sinxf x ax x   ． （1）求曲线 C： ( )y f x 在 x＝0 处的切线方程； （2）当 a＝﹣2 时，设函数 ( )( ) f xg x x  ，若 0x 是 ( )g x 在(﹣ ，0)上的一个极值点， 求证： 0x 是函数 ( )g x 在(﹣ ，0)上的唯一极大值点，且 0＜ 0( )g x ＜2． 江苏省苏州市 2020—2021 学年度第一学期期中考试 5 高三数学 2020．11 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合 A＝ 2 6 0x x x   ，B＝ 2 4x x  ，则 A  B＝ A．(2，3) B．[2，3] C．(2，3] D．[2，3]  {﹣2} 答案：C 解析：集合 A＝ 2 6 0x x x   ＝[﹣2，3]，B＝ 2 4x x  ＝(  ，﹣2)  (2，  )， 故 A  B＝(2，3]． 2．角 的终边经过点(3﹣sin ，cos )，则 sin 的值为 A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 3 4 答案：C 解析：sin 2 2 cos 0 (3 sin ) cos         sin ＝ 1 3 ． 3．等差数列 na 中， 1 2 3 24a a a    ， 18 19 20 78a a a   ，则此数列的前 20 项和等于 A．160 B．180 C．200 D．220 答案：B 解析： 20 24 78 20 1803 2S     ． 4．函数“ 2( ) 2 1f x x x a    的定义域为 R”是“a≥1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析： 2( ) 2 1f x x x a    的定义域为 R 0a  ，故必要不充分条件． 5．函数 2 (e e )cos( ) x x xf x x  的部分图像大致是 答案：A 解析： ( )f x 为奇函数，x≠0， ( ) 0f   ． 6 6．已知函数 ( ) lnf x x x ，若直线 l 过点(0，﹣e)，且与曲线 C： ( )y f x 相切，则直线 l 的斜率为 A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e 答案：B 解析： 0 0 0 0 0 ln e 1 ln e 2x xk x x kx        ． 7．衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为 a， 经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为： e ktV a   ．已知新丸经过 50 天后，体积变为 4 9 a．若一个新丸体积变为 8 27 a，则需经过的天数为 A．125 B．100 C．75 D．50 答案：C 解析： 504 e9 ka a  ， 8 e27 tka a  ，两式相比得 t＝75． 8．设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，若 0na  ， 1 1 2a  ， 2nS  ，则等比数列 na 的公 比的取值范围是 A．(0， 3 4 ] B．(0， 2 3 ] C．(0， 3 4 ) D．(0， 2 3 ) 答案：A 解析： 1 1 2 1 n n qS q    (0，2)，代入验证选 A 最合适． 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知函数 ( ) cos 3sinf x x x  ， ( ) ( )g x f x ，则 A． ( )g x 的图像关于点(2，0)对称 B． ( )g x 的图像的一条对称轴是 x＝ 6  C． ( )g x 在( 5 6  ， 6  )上递减 D． ( )g x 在( 3  ， 3  )值域为(0，1) 答案：BC 解析： ( ) sin 3cos 2sin( )3g x x x x       ，利用完美区间法代入验证． 10．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 0a  ，公差 d≠0，则 A．若 5 9S S ，则 15 0S  B．若 5 9S S ，则 7S 是 nS 中最大的项 C．若 6 7S S ，则 7 8S S D．若 6 7S S ，则 5 6S S 7 答案：B C 解析：A 错： 5 9 1 14 150 0S S a a S      ；B 对： nS 对称轴为 7； C 对： 6 7S S ， 8 7 7 80a a S S    ；D 错：由 C 可知 D 选项不一定成立． 11．已知函数 ( ) lg( 1)f x x  ， 1b a  且 ( ) ( )f a f b ，则 A．1＜a＜2 B．a＋b＝ab C．ab 的最小值为 1＋ 2 D． 1 1 21 1a b    答案：ABD 解析：由题意知 1＜a＜2＜b，(a﹣1)(b﹣1)＝1，故 a＋b＝ab， 1 1 21 1a b    ． 12．函数 ln( ) e 1x x kf x x    在(0，  )上有唯一零点 0x ，则 A． 0 0e 1xx  B． 0 1 12 x  C． 1k  D． 1k  答案：ABC 解析： 0 0( ) 0 ln( e ) e e 1xx xf x x x k x k       ， 0 0 0 e 1e e 12 2 xx x     ． 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．已知函数 2 2( ) ( 2)f x ax a x a    为偶函数，则不等式 ( 2) ( ) 0x f x  的解集为 ． 答案：( 2 ， 2 )  (2，  ) 解析：a＝﹣2，( 2) ( ) 2( 2)( 2)( 2) 0x f x x x x       ，故解集为( 2 ， 2 )  (2，  )． 14．对任意正数 x，满足 22 4yxy yx    ，则正实数 y 的最大值为 ． 答案： 1 2 解析： 2 1 14 2 0 2y x yy x        ． 15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元， 用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不 应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 20%，每月底街缴房租 600 元和 水电费 400 元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计 2020 年小王的农产品 加工厂的年利润为 ．（取 1.211＝7.5，1.212＝9） 8 答案：40000 解析： 1 1 6(1 20%) 400 600 ( 5000) ( 5000)5n n n na a a a          1 12 65000 ( ) 5000 500005 n na a      利润为 40000． 16．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 关于 y 轴对称，其导函数为 ( )f x ，当 x≥0 时， ( ) 1xf x  ( )f x ．若对任意 xR，不等式 e (e ) e ( ) 0x x xf ax axf ax    恒成立， 则正整数 a 的最大值为 ． 答案：2 解析：根据题意构造，为偶函数且先减后增，故 (e ) ( ) e e 0 ex x xF F ax ax a        ， 故正整数 a 的最大值为 2． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) sin( )f x x   ( ＞0，  ≤ 2  )的最小正周期为 ． （1）求 的值及 ( ) ( )6g f   的值域； （2）若 3   ，sin 2cos 0   ，求 ( )f  的值． 解：（1） ，则 所以， ， 所以 ，即 的值域为 ； （2） ，则 ，若 ，则 ，与 矛盾， 故 ，所以， ，即 9 所以， ． 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 3 21( ) 23 2 af x x x x    (aR)． （1）当 a＝3 时，求函数 ( )f x 的单调递减区间； （2）若对于任意 x[1，  )都有 ( ) 2( 1)f x a  成立，求实数 a 的取值范围． 解：（1）a＝3 时， ， ， 时， ； 时， 所以， 的单调减区间为 和 ； （2） ， 恒成立 即 ， 恒成立 ①x＝2 时，8＞0，aR； ② 时， ，令 ， ，则 ，故 在[1，2)递减，所以， ； ③ 时， ，令 ， ，则 ， 时， ， 递减； 时， ， 递增； 所以， ； 综上， ． 19．（本小题满分 12 分） 10 在①csin B C 2  ＝asinC，②2cosA(bcosC＋ccosB)＝a，③(sinB﹣sinC)2＝sin2A﹣sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 在△ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c＝( 3 ﹣1)b， ． （1）求 C 的值； （2）若△ABC 的面积为3 3 ，求 b 的值． 解：（1） 由正弦定理： 得： 即 ，因此， 又 A 为△ABC 内角，所以， ，则 又 ，由正弦定理得： 即 得： 又 ，所以， ，所以， ，即 ； （2） ． 20．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 是等差数列，数列 nb 是等比数列，且满足 1 1 2a b  ， 3 5 7 30a a a   ， 2 3 16b b a ． （1）求数列 na 与 nb 的通项公式； （2）设数列  na ，  nb 的前 n 项和分别为 nS ， nT ．①是否存在正整数 k，使得 1kT   32k kT b  成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于 n 的不 等式 n nS b ． 11 解：（1）设数列 na 的公差为 d，数列 nb 的公比为 q ，则 ，则 ； （2）①假设存在， 即 ，即 即 ，解得： 故存在 符合题意； ②令 ，即解不等式 令 当 时， ，即 当 时， ，即 因此， 时， ； 时， ； n≥4 时， 又 所以， 因此 即 的解为 ． 21．（本小题满分 12 分） 若函数 ( )f x 在 x[a，b]时，函数值 y 的取值区间恰为[ k b ，k a ](k＞0)，则称[a，b]为 ( )f x 的一个“k 倍倒域区间”．定义在[﹣4，4]上的奇函数 ( )g x ，当 x[0，4]时， 2( )g x x  4x ． （1）求 ( )g x 的解析式； 12 （2）求 ( )g x 在[2，4]内的“8 倍倒域区间”； （3）若 ( )g x 在定义域内存在“k(k≥8)倍倒域区间”，求 k 的取值范围． 解：（1） 时， ， 因为 时， ，所以， 因为 为奇函数，所以 时， 因此， ； （2）设该区间为 ，则 在[a，b]递减，由题意知： 因此 ( )g x 在[2，4]内的“8 倍倒域区间”为[2， ]； （3） ， ( )g x 在[﹣4，﹣2]递减，[﹣2，2]递增，[2，4]递减 设 ( )g x 的“k 倍倒域区间”为[a，b]， ① 时， ，即方程 在[2，4]上有两个不同的解 令 ， 时， ， 递减， 时， ， 递增 要使得 ( )f x 在[2，4]上有两个不同的零点，则： 同理可得： 时， ； ② 时， ，矛盾，舍去； 13 ③ 时， ，矛盾，舍去； ④ 时， 在 递增，则： 两式相减得： ，又 ，故 ，代入 ，得 ，矛盾，舍去； 同理， 也不符，舍去 综上， ． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) e sinxf x ax x   ． （1）求曲线 C： ( )y f x 在 x＝0 处的切线方程； （2）当 a＝﹣2 时，设函数 ( )( ) f xg x x  ，若 0x 是 ( )g x 在(﹣ ，0)上的一个极值点， 求证： 0x 是函数 ( )g x 在(﹣ ，0)上的唯一极大值点，且 0＜ 0( )g x ＜2． 解：（1） 因此，所求切线方程为： ； （2） 时， ，故 在 递减 令 时， ，故 在 递减 ，由零点存在性定理知： 在 上有唯一零点 14 即 在 上有唯一零点，该零点即为 时， ，即 ， 时， ，即 又 时， ，故 在 递增， 递减 因为 ，所以， 因为 ，所以， 因此， 是函数 在(﹣ ，0)上的唯一极大值点，且 ．