江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

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江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

1 江苏省苏州市 2020—2021 学年度第一学期期中考试 高三数学 2020.11 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.已知集合 A= 2 6 0x x x   ,B= 2 4x x  ,则 A  B= A.(2,3) B.[2,3] C.(2,3] D.[2,3]  {﹣2} 2.角 的终边经过点(3﹣sin ,cos ),则 sin 的值为 A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 3 4 3.等差数列 na 中, 1 2 3 24a a a    , 18 19 20 78a a a   ,则此数列的前 20 项和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 4.函数“ 2( ) 2 1f x x x a    的定义域为 R”是“a≥1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数 2 (e e )cos( ) x x xf x x  的部分图像大致是 6.已知函数 ( ) lnf x x x ,若直线 l 过点(0,﹣e),且与曲线 C: ( )y f x 相切,则直线 l 的斜率为 A.﹣2 B.2 C.﹣e D.e 7.衣棚里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的新丸体积为 a, 经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为: e ktV a   .已知新丸经过 50 天后,体积变为 4 9 a.若一个新丸体积变为 8 27 a,则需经过的天数为 A.125 B.100 C.75 D.50 8.设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和,若 0na  , 1 1 2a  , 2nS  ,则等比数列 na 的公 比的取值范围是 2 A.(0, 3 4 ] B.(0, 2 3 ] C.(0, 3 4 ) D.(0, 2 3 ) 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9.已知函数 ( ) cos 3sinf x x x  , ( ) ( )g x f x ,则 A. ( )g x 的图像关于点(2,0)对称 B. ( )g x 的图像的一条对称轴是 x= 6  C. ( )g x 在( 5 6  , 6  )上递减 D. ( )g x 在( 3  , 3  )值域为(0,1) 10.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 1 0a  ,公差 d≠0,则 A.若 5 9S S ,则 15 0S  B.若 5 9S S ,则 7S 是 nS 中最大的项 C.若 6 7S S ,则 7 8S S D.若 6 7S S ,则 5 6S S 11.已知函数 ( ) lg( 1)f x x  , 1b a  且 ( ) ( )f a f b ,则 A.1<a<2 B.a+b=ab C.ab 的最小值为 1+ 2 D. 1 1 21 1a b    12.函数 ln( ) e 1x x kf x x    在(0,  )上有唯一零点 0x ,则 A. 0 0e 1xx  B. 0 1 12 x  C. 1k  D. 1k  三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上) 13.已知函数 2 2( ) ( 2)f x ax a x a    为偶函数,则不等式 ( 2) ( ) 0x f x  的解集为 . 14.对任意正数 x,满足 22 4yxy yx    ,则正实数 y 的最大值为 . 15.在“全面脱贫”行动中,贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元, 用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不 应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的 20%,每月底街缴房租 600 元和 水电费 400 元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续,预计 2020 年小王的农产品 加工厂的年利润为 .(取 1.211=7.5,1.212=9) 16.已知定义在 R 上的函数 ( )f x 关于 y 轴对称,其导函数为 ( )f x ,当 x≥0 时, ( ) 1xf x  ( )f x .若对任意 xR,不等式 e (e ) e ( ) 0x x xf ax axf ax    恒成立, 则正整数 a 的最大值为 . 四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 3 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 ( ) sin( )f x x   ( >0,  ≤ 2  )的最小正周期为 . (1)求 的值及 ( ) ( )6g f   的值域; (2)若 3   ,sin 2cos 0   ,求 ( )f  的值. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 3 21( ) 23 2 af x x x x    (aR). (1)当 a=3 时,求函数 ( )f x 的单调递减区间; (2)若对于任意 x[1,  )都有 ( ) 2( 1)f x a  成立,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 在①csin B C 2  =asinC,②2cosA(bcosC+ccosB)=a,③(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsinC 中任选一个,补充在横线上,并回答下面问题. 在△ABC 中,已知内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c=( 3 ﹣1)b, . (1)求 C 的值; (2)若△ABC 的面积为3 3 ,求 b 的值. 20.(本小题满分 12 分) 已知数列 na 是等差数列,数列 nb 是等比数列,且满足 1 1 2a b  , 3 5 7 30a a a   , 2 3 16b b a . (1)求数列 na 与 nb 的通项公式; (2)设数列  na ,  nb 的前 n 项和分别为 nS , nT .①是否存在正整数 k,使得 1kT   32k kT b  成立?若存在,求出 k 的值,若不存在,请说明理由;②解关于 n 的不 等式 n nS b . 4 21.(本小题满分 12 分) 若函数 ( )f x 在 x[a,b]时,函数值 y 的取值区间恰为[ k b ,k a ](k>0),则称[a,b]为 ( )f x 的一个“k 倍倒域区间”.定义在[﹣4,4]上的奇函数 ( )g x ,当 x[0,4]时, 2( )g x x  4x . (1)求 ( )g x 的解析式; (2)求 ( )g x 在[2,4]内的“8 倍倒域区间”; (3)若 ( )g x 在定义域内存在“k(k≥8)倍倒域区间”,求 k 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) e sinxf x ax x   . (1)求曲线 C: ( )y f x 在 x=0 处的切线方程; (2)当 a=﹣2 时,设函数 ( )( ) f xg x x  ,若 0x 是 ( )g x 在(﹣ ,0)上的一个极值点, 求证: 0x 是函数 ( )g x 在(﹣ ,0)上的唯一极大值点,且 0< 0( )g x <2. 江苏省苏州市 2020—2021 学年度第一学期期中考试 5 高三数学 2020.11 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.已知集合 A= 2 6 0x x x   ,B= 2 4x x  ,则 A  B= A.(2,3) B.[2,3] C.(2,3] D.[2,3]  {﹣2} 答案:C 解析:集合 A= 2 6 0x x x   =[﹣2,3],B= 2 4x x  =(  ,﹣2)  (2,  ), 故 A  B=(2,3]. 2.角 的终边经过点(3﹣sin ,cos ),则 sin 的值为 A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 3 4 答案:C 解析:sin 2 2 cos 0 (3 sin ) cos         sin = 1 3 . 3.等差数列 na 中, 1 2 3 24a a a    , 18 19 20 78a a a   ,则此数列的前 20 项和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 答案:B 解析: 20 24 78 20 1803 2S     . 4.函数“ 2( ) 2 1f x x x a    的定义域为 R”是“a≥1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析: 2( ) 2 1f x x x a    的定义域为 R 0a  ,故必要不充分条件. 5.函数 2 (e e )cos( ) x x xf x x  的部分图像大致是 答案:A 解析: ( )f x 为奇函数,x≠0, ( ) 0f   . 6 6.已知函数 ( ) lnf x x x ,若直线 l 过点(0,﹣e),且与曲线 C: ( )y f x 相切,则直线 l 的斜率为 A.﹣2 B.2 C.﹣e D.e 答案:B 解析: 0 0 0 0 0 ln e 1 ln e 2x xk x x kx        . 7.衣棚里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的新丸体积为 a, 经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为: e ktV a   .已知新丸经过 50 天后,体积变为 4 9 a.若一个新丸体积变为 8 27 a,则需经过的天数为 A.125 B.100 C.75 D.50 答案:C 解析: 504 e9 ka a  , 8 e27 tka a  ,两式相比得 t=75. 8.设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和,若 0na  , 1 1 2a  , 2nS  ,则等比数列 na 的公 比的取值范围是 A.(0, 3 4 ] B.(0, 2 3 ] C.(0, 3 4 ) D.(0, 2 3 ) 答案:A 解析: 1 1 2 1 n n qS q    (0,2),代入验证选 A 最合适. 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9.已知函数 ( ) cos 3sinf x x x  , ( ) ( )g x f x ,则 A. ( )g x 的图像关于点(2,0)对称 B. ( )g x 的图像的一条对称轴是 x= 6  C. ( )g x 在( 5 6  , 6  )上递减 D. ( )g x 在( 3  , 3  )值域为(0,1) 答案:BC 解析: ( ) sin 3cos 2sin( )3g x x x x       ,利用完美区间法代入验证. 10.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 1 0a  ,公差 d≠0,则 A.若 5 9S S ,则 15 0S  B.若 5 9S S ,则 7S 是 nS 中最大的项 C.若 6 7S S ,则 7 8S S D.若 6 7S S ,则 5 6S S 7 答案:B C 解析:A 错: 5 9 1 14 150 0S S a a S      ;B 对: nS 对称轴为 7; C 对: 6 7S S , 8 7 7 80a a S S    ;D 错:由 C 可知 D 选项不一定成立. 11.已知函数 ( ) lg( 1)f x x  , 1b a  且 ( ) ( )f a f b ,则 A.1<a<2 B.a+b=ab C.ab 的最小值为 1+ 2 D. 1 1 21 1a b    答案:ABD 解析:由题意知 1<a<2<b,(a﹣1)(b﹣1)=1,故 a+b=ab, 1 1 21 1a b    . 12.函数 ln( ) e 1x x kf x x    在(0,  )上有唯一零点 0x ,则 A. 0 0e 1xx  B. 0 1 12 x  C. 1k  D. 1k  答案:ABC 解析: 0 0( ) 0 ln( e ) e e 1xx xf x x x k x k       , 0 0 0 e 1e e 12 2 xx x     . 三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上) 13.已知函数 2 2( ) ( 2)f x ax a x a    为偶函数,则不等式 ( 2) ( ) 0x f x  的解集为 . 答案:( 2 , 2 )  (2,  ) 解析:a=﹣2,( 2) ( ) 2( 2)( 2)( 2) 0x f x x x x       ,故解集为( 2 , 2 )  (2,  ). 14.对任意正数 x,满足 22 4yxy yx    ,则正实数 y 的最大值为 . 答案: 1 2 解析: 2 1 14 2 0 2y x yy x        . 15.在“全面脱贫”行动中,贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元, 用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不 应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的 20%,每月底街缴房租 600 元和 水电费 400 元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续,预计 2020 年小王的农产品 加工厂的年利润为 .(取 1.211=7.5,1.212=9) 8 答案:40000 解析: 1 1 6(1 20%) 400 600 ( 5000) ( 5000)5n n n na a a a          1 12 65000 ( ) 5000 500005 n na a      利润为 40000. 16.已知定义在 R 上的函数 ( )f x 关于 y 轴对称,其导函数为 ( )f x ,当 x≥0 时, ( ) 1xf x  ( )f x .若对任意 xR,不等式 e (e ) e ( ) 0x x xf ax axf ax    恒成立, 则正整数 a 的最大值为 . 答案:2 解析:根据题意构造,为偶函数且先减后增,故 (e ) ( ) e e 0 ex x xF F ax ax a        , 故正整数 a 的最大值为 2. 四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 ( ) sin( )f x x   ( >0,  ≤ 2  )的最小正周期为 . (1)求 的值及 ( ) ( )6g f   的值域; (2)若 3   ,sin 2cos 0   ,求 ( )f  的值. 解:(1) ,则 所以, , 所以 ,即 的值域为 ; (2) ,则 ,若 ,则 ,与 矛盾, 故 ,所以, ,即 9 所以, . 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 3 21( ) 23 2 af x x x x    (aR). (1)当 a=3 时,求函数 ( )f x 的单调递减区间; (2)若对于任意 x[1,  )都有 ( ) 2( 1)f x a  成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)a=3 时, , , 时, ; 时, 所以, 的单调减区间为 和 ; (2) , 恒成立 即 , 恒成立 ①x=2 时,8>0,aR; ② 时, ,令 , ,则 ,故 在[1,2)递减,所以, ; ③ 时, ,令 , ,则 , 时, , 递减; 时, , 递增; 所以, ; 综上, . 19.(本小题满分 12 分) 10 在①csin B C 2  =asinC,②2cosA(bcosC+ccosB)=a,③(sinB﹣sinC)2=sin2A﹣sinBsinC 中任选一个,补充在横线上,并回答下面问题. 在△ABC 中,已知内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c=( 3 ﹣1)b, . (1)求 C 的值; (2)若△ABC 的面积为3 3 ,求 b 的值. 解:(1) 由正弦定理: 得: 即 ,因此, 又 A 为△ABC 内角,所以, ,则 又 ,由正弦定理得: 即 得: 又 ,所以, ,所以, ,即 ; (2) . 20.(本小题满分 12 分) 已知数列 na 是等差数列,数列 nb 是等比数列,且满足 1 1 2a b  , 3 5 7 30a a a   , 2 3 16b b a . (1)求数列 na 与 nb 的通项公式; (2)设数列  na ,  nb 的前 n 项和分别为 nS , nT .①是否存在正整数 k,使得 1kT   32k kT b  成立?若存在,求出 k 的值,若不存在,请说明理由;②解关于 n 的不 等式 n nS b . 11 解:(1)设数列 na 的公差为 d,数列 nb 的公比为 q ,则 ,则 ; (2)①假设存在, 即 ,即 即 ,解得: 故存在 符合题意; ②令 ,即解不等式 令 当 时, ,即 当 时, ,即 因此, 时, ; 时, ; n≥4 时, 又 所以, 因此 即 的解为 . 21.(本小题满分 12 分) 若函数 ( )f x 在 x[a,b]时,函数值 y 的取值区间恰为[ k b ,k a ](k>0),则称[a,b]为 ( )f x 的一个“k 倍倒域区间”.定义在[﹣4,4]上的奇函数 ( )g x ,当 x[0,4]时, 2( )g x x  4x . (1)求 ( )g x 的解析式; 12 (2)求 ( )g x 在[2,4]内的“8 倍倒域区间”; (3)若 ( )g x 在定义域内存在“k(k≥8)倍倒域区间”,求 k 的取值范围. 解:(1) 时, , 因为 时, ,所以, 因为 为奇函数,所以 时, 因此, ; (2)设该区间为 ,则 在[a,b]递减,由题意知: 因此 ( )g x 在[2,4]内的“8 倍倒域区间”为[2, ]; (3) , ( )g x 在[﹣4,﹣2]递减,[﹣2,2]递增,[2,4]递减 设 ( )g x 的“k 倍倒域区间”为[a,b], ① 时, ,即方程 在[2,4]上有两个不同的解 令 , 时, , 递减, 时, , 递增 要使得 ( )f x 在[2,4]上有两个不同的零点,则: 同理可得: 时, ; ② 时, ,矛盾,舍去; 13 ③ 时, ,矛盾,舍去; ④ 时, 在 递增,则: 两式相减得: ,又 ,故 ,代入 ,得 ,矛盾,舍去; 同理, 也不符,舍去 综上, . 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) e sinxf x ax x   . (1)求曲线 C: ( )y f x 在 x=0 处的切线方程; (2)当 a=﹣2 时,设函数 ( )( ) f xg x x  ,若 0x 是 ( )g x 在(﹣ ,0)上的一个极值点, 求证: 0x 是函数 ( )g x 在(﹣ ,0)上的唯一极大值点,且 0< 0( )g x <2. 解:(1) 因此,所求切线方程为: ; (2) 时, ,故 在 递减 令 时, ,故 在 递减 ,由零点存在性定理知: 在 上有唯一零点 14 即 在 上有唯一零点,该零点即为 时, ,即 , 时, ,即 又 时, ,故 在 递增, 递减 因为 ,所以, 因为 ,所以, 因此, 是函数 在(﹣ ,0)上的唯一极大值点,且 .
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